第二十一章 一元二次方程 质量评估（含答案） 2025-2026学年数学人教版九年级上册

第二十一章 一元二次方程 质量评估
［时间:120分钟 分值:120分］
一、选择题（共10个小题,每小题3分,共30分）
1．若关于的方程是是一元二次方程,则（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解一元二次方程,配方后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．关于的一元二次方程根的情况,下列说法正确的是（ ）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．若关于的一元二次方程有两个实数根,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．学校进行足球比赛,每两个班比一场,计划安排15场比赛,请问共有几个班参加比赛？设有个班级参加比赛,则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．关于的一元二次方程有两根,其中一根为,则这两根之积为（ ）
A． B． C．1 D．
7．在实数范围内定义一种运算“*”,使,则方程的解为（ ）
A． B．,
C． D．
8．若一元二次方程的两个根分别为,,则的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
9．如图,某农家乐老板计划在一块长,宽的空地开挖两块形状、大小相同的垂钓鱼塘,它们的面积之和为,两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道,则垂钓通道的宽度为（ ）
A． B． C． D．
10．如图,在中, ,,,一动点从点出发沿着方向以的速度向点运动,另一动点从点出发沿着方向以的速度向点运动,,两点同时出发,运动时间为.当的面积是面积的时,的值为（ ）
A．1.5 B．2
C．3或者1.5 D．以上都不对
二、填空题（共6个小题,每小题3分,共18分）
11．关于的一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是_ _ _ _ _ _ _ _ .
12．一元二次方程的解是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
13．若关于的一元二次方程有两个不等的实数根,则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
14．如图,数轴上点表示的数为,点表示的数为.若,且点在数轴的正半轴上,则的值为_ _ .
15．诺如病毒是一种传染性比较强的病毒,会引起病毒性胃肠疾病,具有发病急、传播速度快、涉及范围广等特点,在学校、游戏厅等聚集性场所易引起暴发.假设有一个人感染了该病毒,经过两轮传染后共有49人感染该病毒,则每轮传染中平均一个人传染了_ _ 人.
16．已知,是关于的方程的两实数根,且,则的值为_ _ .
三、解答题（共9个题,共72分）
17．（6分）把下列方程化成一般式,并写出二次项、一次项和常数项.
（1） ;
（2） .
18．（6分）用适当的方法解下列方程:
（1） ;
（2） .
19．（6分）阅读材料,并回答问题.
小明在学习一元二次方程时,解方程的过程如下:
解:.
.①
.③
（1） 上述过程中,从第_ _ 步开始出现了错误（填序号）;
（2） 写出这个方程的解:_ _ _ _ _ _ _ _ .
20．（8分）如图,老李计划用长为的栅栏,再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈,并在边上留一个宽的门（建在处,另用其他材料）.当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为的羊圈？
21．（8分）已知关于的一元二次方程.
（1） 求证:方程总有两个不等的实数根;
（2） 若方程的两个实数根分别为 , ,且,求的值.
22．（9分）已知关于的一元二次方程,其中,,分别为三边的长.
（1） 如果是方程的根,试判断的形状,并说明理由;
（2） 如果是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
23．（9分）定义:若,是方程的两个整数根,且满足,则称此类方程为“差1方程”.例如:是“差1方程”.
（1） 下列方程是“差1方程”的是_ _ （填序号）;
;;.
（2） 若方程是“差1方程”,求的值.
24．（10分）某商场服装部销售一种名牌衬衫,平均每天可售出30件,每件盈利40元.为了扩大销售,减少库存,商场决定降价销售,经调查发现,每件衬衫每降价3元,平均每天可多卖出6件.
（1） 设降价元,则现在每天可销售衬衫_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 件,每件的利润是_ _ _ _ _ _ _ _ 元（用含的代数式表示）.
（2） 若商场要求该服装部每天盈利1 400元,问每件衬衫要降价多少元？
（3） 若商场要求该服装部每天盈利1 600元,问这个要求能否实现？请说说你的理由.
25．（10分）如图,在中, ,,,所对的边分别为,,.将形如的一元二次方程称为“直系一元二次方程”.
（1） 请直接写出一个“直系一元二次方程”;
（2） 求证:关于的“直系一元二次方程”必有实数根;
（3） 若是“直系一元二次方程”的一个根,且,求的值.
第二十一章质量评估
一、选择题（共10个小题,每小题3分,共30分）
1．D 2．D 3．C 4．B 5．C 6．D 7．D 8．D 9．B 10．B
二、填空题（共6个小题,每小题3分,共18分）
11．2,
12．,
13．且
14．3
15．6
16．2
三、解答题（共9个题,共72分）
17．（1） 解:化为一般式,
得,
二次项为,一次项为,常数项为.
（2） ,化为一般式,
得,
二次项为,一次项为,常数项为.
18．（1） 解:方程可化为,
,解得,.
（2） ,,,
,
,
解得,.
19．（1） ⑤
（2）
20．解:设矩形的边,
则边.
由题意,得.
化简,得,
解得,,
当时,;
当时,.
答:当羊圈的长为,宽为或长为,宽为时,能围成一个面积为的羊圈.
21．（1） 证明:,,,
,
方程总有两个不等的实数根.
（2） 解:由题意,得解得
,,
,的值为.
22．（1） 解:是等腰三角形.理由如下:
把代入方程,
得,
,,
是等腰三角形.
（2） 是等边三角形,.
,
,即,
解得,,
即这个一元二次方程的根是,.
23．（1） ②
（2） 解:方程左边因式分解,得,
解得,.
方程为“差1方程”,,
解得或.
24．（1） ；
（2） 解:由题意,得,
解得,,
为了扩大销售量,减少库存,的值应为20.
答:若商场要求该服装部每天盈利1 400元,每件衬衫要降价20元.
（3） 假设能达到.
由题意,得,
整理,得,
,即该方程无解.
商场要求该服装部每天盈利1 600元,这个要求不能实现.
25．（1） 解:（答案不唯一）.
（2） 证明:.
,,
该一元二次方程必有实数根.
（3） 解:是方程的一个根,
,
,,
,即.
由,得,即,
（负值已舍去）,,
.