21.1 一元二次方程-21.2.3 因式分解法 提能集训（含答案） 2025-2026学年数学人教版九年级上册

21.1 一元二次方程-21.2.3 因式分解法
提能集训
［测试时间:45分钟 测试范围:21.1~21.2.3分值:100分］
一、选择题（每小题5分,共30分）
1．[2024津市模拟]一元二次方程的一次项系数为（ ）
A． B． C．3 D．6
2．用配方法解方程时,配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．[2024永州模拟]关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．[2024衡阳模拟]若关于的一元二次方程的一个根是,则代数式的值为（ ）
A． B．2 023 C． D．2 024
5．[2024岳阳模拟]已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根,则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
6．已知方程的解为,,若方程,则它的解是（ ）
A．, B．,
C．, D．,
二、填空题（每小题5分,共30分）
7．方程的解是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
8．一元二次方程的解为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
9．当_ _ _ _ _ _ _ _ 时,代数式与的值相等.
10．若关于的方程有两个相等的实数根,则_ _ _ _ _ _ .
11．若关于的一元二次方程没有实数根,则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
12．定义新运算“ ”:对于非零的实数,,规定.若,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
三、解答题（共40分）
13．（10分）解下列一元二次方程:
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
14．（10分）已知关于的方程.
（1） 求证:无论k为何值,该方程总有实数根；
（2） 若为整数,且此方程有两个不等的整数根,求的值.
15．（10分）对于实数,,定义一种运算“*”:.若关于的方程有两个相等的实数根,求满足条件的实数的值.
16．[2024衡阳模拟]（10分）已知,是关于的方程的两个实数根.
（1） 求实数的取值范围;
（2） 已知等腰的一边长为3,若,恰好是另外两边长,求这个三角形的周长.
一、选择题（每小题5分,共30分）
1．B
2．D
3．B
[解析],
方程有两个不等的实数根.故选.
4．B
[解析]将代入,得,
,
.故选.
5．C
[解析] 关于的一元二次方程有两个不等的实数根,
且,
即,
解得且.故选.
6．D
二、填空题（每小题5分,共30分）
7．,
8．,
9．1或
10．
11．
12．或
三、解答题（共40分）
13．（1） 解:,.
（2） ,.
（3） ,.
（4） ,.
14．（1） 证明:
当k=0时，该方程为一元一次方程，有实数根.
综上所述，无论k为何值，该方程总有实数根.
（2）解：∵关于 的方程 2+( 2) 2=0有两个不等的实数根,
∴( 2)( +1)=0（ ≠0） , =（ +2）2
解得 1=, 2= 1 ,k≠-2.
又∵ 该方程的两根均为整数,
∴,为整数.
∴整数 为±1 或2.
15．解:由题意,得,
即.
关于的方程有两个相等的实数根,
解得.
16．（1） 解:由题意,得,即,
解得.
（2） 分两种情况:
①当时,
只能取或,即3是方程的一个根.
将代入,得,
解得或.
当时,方程的另一个根为1,此时三角形三边分别为1,3,3,能围成三角形,周长为7;
当时,方程的另一个根为9,此时三角形三边分别为9,3,3,不能构成三角形.
故此时这个三角形的周长为7.
②当时,,
原方程可化为,
解得,
此时三角形的三边长分别为,,3,不能构成三角形.
综上所述,这个三角形的周长为7.