21.2 解一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 提能集训（含答案） 2025-2026学年数学人教版九年级上册

21.2 解一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 提能集训
［测试时间:45分钟 测试范围:21.2~21.3分值:100分］
一、选择题（每小题5分,共30分）
1．[2023娄底模拟]是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024邵阳模拟]若,是一元二次方程的两个根,则的值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
3．关于的一元二次方程的一个根为1,则另一个根为（ ）
A． B．2 C．4 D．1
4．[2023张家界模拟]某公司前年缴税40万元,今年缴税48.4万元,则该公司缴税的年均增长率为（ ）
A． B． C． D．
5．[2024常德模拟]若实数,满足,,且,则的值为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．6
6．在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法:如图①,先构造1个面积为的正方形,再以正方形的边为一边向外构造4个面积为的矩形,得到大正方形的面积为,则该方程的正数解为.小明尝试用此方法解关于的方程时,构造出如图②的正方形.已知图②中阴影部分的面积和为39,则该方程的正数解为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分,共30分）
7．
（1） 方程的根是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 方程的根是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
8．若关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
9．设方程的两个根分别为,,则的值是.
10．[2024邵阳模拟]已知,是方程的两根,则的值为_ _ .
11．[2024长沙模拟]有一人患了流感,经过两轮传染后,共有121人患了流感,每轮传染中平均每人传染了个人.
12．某商店销售一款每件进价为70元的童装，当每件售价为110元时，每天可售出20件．经市场调查发现，该童装每降价1元，每天可多售出2件，为了尽可能多的减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1 200元，那么每件童装应降价
元．
三、解答题（共40分）
13．（10分）按要求解下列方程:
（1） （配方法）；
（2） （公式法）.
14．[2023郴州模拟]（10分）已知关于的一元二次方程有两个实数根.
（1） 求的取值范围;
（2） 若，求的值.
15．（10分）在丝绸博览会期间,某公司展销如图所示的长方形工艺品,该工艺品长,宽,中间镶有宽度相同的三条丝绸条带.
（1） 若丝绸条带的面积为,求丝绸条带的宽度.
（2） 已知该工艺品的成本是40元/件,若以单价为100元/件销售,则每天可售出200件,另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2 000元.根据销售经验,如果将销售单价每降低1元,每天可多售出20件.请问该公司每天把销售单价定为每件多少元时,当日所获利润为22 500元
16．[2024岳阳模拟]（10分）如果关于的一元二次方程有两个实数根,且其中一个根是另一个根的倍（为正整数）,则称这样的方程为“倍根方程”.例如:方程的两个根分别是2和4,则这个方程就是“二倍根方程”.
（1） 根据上述定义,是“倍根方程”;
（2） 若关于的一元二次方程是“三倍根方程”,求的值;
（3） 若关于的一元二次方程是“倍根方程”,请探究与之间的数量关系（用含的代数式表示）;
（4） 由（3）中发现的,之间的数量关系,不难得到的最小值是_ _ .（参考公式:,,均为正数）
一、选择题（每小题5分,共30分）
1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6．C
二、填空题（每小题5分,共30分）
7．（1） ,
（2） ,
8．
9．12
10．4
11．10
12．20
三、解答题（共40分）
13．（1） 解:原方程可化为,
,
,
,
,.
（2） 整理,得,
,
,
,.
14．（1） 解: 关于的一元二次方程有两个实数根，
,即,
解得.
（2） 关于的一元二次方程的两个实数根为，，
,.
，
，
，
整理,得，
解得或，
，的值为.
15．（1） 解:设丝绸条带的宽度为.
由题意,得
,
整理,得,
解得,（不合题意,舍去）.
答:丝绸条带的宽度为.
（2） 设每件工艺品降价元出售.
由题意,得
.
解得.
售价为（元/件）.
答:当销售单价定为75元/件时,当日所获利润为22 500元.
16．（1） 四
（2） 解:由题意,可设与是方程的两个根,
解得
的值为.
（3） 关于的一元二次方程是“倍根方程”,
设与是方程的两个根,
消去,得.
（4） 1