专题1 一元二次方程 题型归类练习（含答案） 2025-2026学年数学人教版九年级上册

专题1 一元二次方程
题型归类 举一反三
题型一 一元二次方程的概念
例1 若关于的一元二次方程有一个根是0,则的值是（ ）
A． B．2 C．0 D．或2
变式跟进
1．[2024宁乡模拟]若关于的一元二次方程有一个根为0,则_ _ .
题型二 一元二次方程的解法
例2 解方程:
变式跟进
2．用配方法解一元二次方程,配方后的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．根据要求解下列方程:
（1） （用配方法）;
（2） （用公式法）;
（3） （用因式分解法）;
（4） .
题型三 一元二次方程根的判别式
例3 [2024常宁模拟]已知关于的一元二次方程.
（1） 当该方程的一个根为1时,求的值及该方程的另一根;
（2） 求证:不论取何实数,该方程都有两个不等的实数根.
变式跟进
4．已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根,则的取值范围为（ ）
A． B．且
C．且 D．
5．已知关于的一元二次方程.
（1） 求证:方程一定有实数根;
（2） 若此方程有两个不等的整数根,求整数的值.
题型四 一元二次方程根与系数的关系
例4 已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根,.
（1） 求的取值范围;
（2） 若,求的值.
变式跟进
6．已知方程的两根是,,则的值为_ _ _ _ _ _ .
7．[2024长沙模拟]已知关于的一元二次方程.
（1） 若方程有实数根,求实数的取值范围;
（2） 若方程两实数根分别为,,且满足,求实数的值.
题型五 一元二次方程的应用
例5 [2024长沙模拟]商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元,为了促销,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.
（1） 若某天该商品每件降价4元,当天可获利多少元？
（2） 为了减少库存,又要使商场日盈利达到2 100元,则每件商品应降价多少元？
变式跟进
8．如图,在一块长为,宽为的矩形荒地上,要建造一个花园（阴影部分）,使得花园的面积为荒地面积的,小明设计出如图所示的方案,则图中的值为.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．4,,5 B．4,, C．4,5, D．4,,
2．把方程配方成的形式,则,的值分别是（ ）
A．, B．,
C．, D．,
3．若一元二次方程有两个不等的实数根,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．有支球队参加篮球比赛,共比赛了45场,每两队之间都比赛一场,则下列方程符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知关于的一元二次方程的一个实数根为2,则另一个实数根及的值分别为（ ）
A．4, B．, C．4,2 D．,2
6．如图,一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,它的长为,宽为.如果地毯中央长方形图案的面积为,那么花边的宽是 （ ）
A． B． C． D．
7．解一元二次方程时,可转化为解两个一元一次方程,请写出其中的一个一元一次方程:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
8．若将配方成的形式,则_ _ _ _ _ _ _ _ .
9．若关于的方程的两根分别是,,且,则_ _ .
10．用适当的方法解下列方程:
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
B组·能力提升 强化突破
11．已知是关于的方程的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰的两条边的长,则的周长为（ ）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
12．已知,是关于的方程的两个实数根,,满足,且.
（1） 的值为_ _ _ _ _ _ _ _ ;
（2） 不解方程,求的值.
13．[2024长沙模拟]为建设美丽城市,改造老旧小区.某市2021年投入资金1 000万元,2023年投入资金1 440万元.现假定每年投入的资金年增长率相同.
（1） 求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率.
（2） 2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元,2024年为提高老旧小区品质,每个小区改造费用增加.如果投入资金的年平均增长率保持不变,那么该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？
14．某地园林部门计划在某公园建一个长方形花圃,花圃的一面靠墙（墙足够长）,另外三边用木栏围成,如图①,,建成后所用木栏总长.在图①总面积不变的情况下,该园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路,如图②,小路的宽度是正方形网红打卡点边长的,其余部分种植花卉,花卉种植的面积为.
① ②
（1） 求长方形花圃的长和宽;
（2） 求网红打卡点的面积.
15．
（1） 若关于的一元二次方程,,为常数,的两个实数解为,,则有,.这个结论课本上称为一元二次方程根与系数的关系,因为是法国数学家韦达发现的,人们又称它为“韦达定理”.请你证明这个定理.
（2） 若一元二次方程的两个实数解为,,求的值.
（3） 若关于的一元二次方程的两个实数解为,,求的最小值.
期末复习
专题1 一元二次方程
题型归类 举一反三
题型一 一元二次方程的概念
【点悟】 已知一元二次方程的根求未知系数,方法如下:（1）已知一根,直接代入原方程,得到一个关于待定系数的方程,解方程求出待定系数的值;（2）已知两根,把两根直接代入原方程,列出关于待定系数的方程组,解方程组,求待定系数;（3）利用根与系数的关系求解.注意,求出的待定系数不能使二次项系数等于0.
例1 A
变式跟进
1．1
题型二 一元二次方程的解法
例2 解: ,
,
,
,
,.
变式跟进
2．A
3．（1） 解:,.
（2） ,.
（3） ,.
（4） ,.
题型三 一元二次方程根的判别式
【点悟】 当 时,方程 有两个不等的实数根;当 时,方程 有两个相等的实数根;当 时,方程 无实数根.另外,解决这类问题时必须分清方程是一元一次方程还是一元二次方程,是一元一次方程有实数解还是一元二次方程有实数解.
例3 （1） 解:设该方程的另一个根为,
则,,
解得,,
即的值为,方程的另一个根为.
（2） 证明:,
不论取何实数,该方程都有两个不等的实数根.
变式跟进
4．C
5．（1） 证明:,
方程一定有实数根.
（2） 解:,
,
或,
又∵m≠0,
,.
,为整数,或.
,,即,
整数的值为,1,2.
题型四 一元二次方程根与系数的关系
【点悟】 运用根与系数的关系时,要注意二次项系数不为0和判别式大于或等于0的前提.
例4 （1） 解: 关于的一元二次方程有两个不等的实数根,,
解得且.
（2） ,是方程的两个实数根,
,.
,即,
,.
变式跟进
6．
7．（1） 解: 关于的一元二次方程有实数根,
,
解得.
（2） ,,
.
,
,即,
解得或.
,
的值为2.
题型五 一元二次方程的应用
例5 （1） 解:（元）.
答:某天该商品每件降价4元,当天可获利1 748元.
（2） 设每件商品应降价元.
根据题意,得,
整理,得,
解得,（舍去）,
答:每件商品应降价20元.
变式跟进
8．10
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．B 2．A 3．D 4．A 5．D 6．B
7．或
8．
9．2
10．（1） 解:,,
,,
,.
（2） ,
,
,,
,.
（3） ,
,
,
,
,.
（4） ,
.
,,,
,
.
,.
B组·能力提升 强化突破
11．B
12．（1）
（2） 解:当时,原方程为,
,,,,
,
.
13．（1） 解:设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为.
根据题意,得,
解得,（不符合题意,舍去）.
答:该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为.
（2） 设该市在2024年可以改造个老旧小区.
根据题意,得,
解得,
的最大值为12.
答:该市在2024年最多可以改造12个老旧小区.
14．（1） 解:设,
.
根据题意,得,
解得,
,.
答:长方形花圃的长为,宽为.
（2） 设网红打卡点的边长为.
根据题意,得,
解得,（舍去）,
网红打卡点的面积为,
答:网红打卡点的面积为.
15．（1） 证明: 关于的一元二次方程,,为常数,的两个实数解为,,
,,
,.
（2） 解:一元二次方程的两个实数解为,,
,,
,
.
（3） 解:关于的一元二次方程的两个实数解为,,
,
.
又,,
.
,
当时,有最小值,最小值为.