专题2 二次函数 题型归类练习（含答案） 2025-2026学年数学人教版九年级上册

专题2 二次函数
题型归类 举一反三
题型一 二次函数的图象和性质
例1 已知二次函数的图象的对称轴为直线,函数的最大值为4.
（1） 求,的值;
（2） 直线与抛物线的图象交于和两点,求,两点的坐标.
变式跟进
1．关于函数的图象,有下列说法:①对称轴为直线;②抛物线开口向上;③图象经过原点;④从图象可以判断出,当时,随着的增大而减小.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2．[2024长沙模拟]已知二次函数与轴交于点,,且.
（1） 若,求的值;
（2） 在（1）的条件下,若该函数在时,有最小值,求该二次函数的解析式.
题型二 二次函数图象的平移
例2 将抛物线向右平移 1个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得抛物线的解析式为 （ ）
A． B．
C． D．
变式跟进
3．将抛物线先向右平移 1个单位长度,再关于轴作轴对称变换,则此时抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
题型三 二次函数与一元二次方程或不等式的关系
例3 [2023长沙模拟]已知二次函数的图象经过点.
（1） 的值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 方程是否有实数根？若有,请求出它的实数根.
（3） 当时,求的取值范围.
变式跟进
4．[2023常德模拟]已知二次函数的图象与轴有公共点,则的取值范围是_ _ _ _ _ _ .
5．二次函数的图象如图所示,有下列结论:;;③一元二次方程有两个不相等的实数根;④当或时,.上述结论正确的是_ _ （填序号）.
题型四 二次函数的图象与系数之间的关系
例4 二次函数的图象如图所示,其对称轴为直线,则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式跟进
6．如图,二次函数的图象与轴交于,两点,与轴交于点,且对称轴为直线,点的坐标为.有下列四个结论:;;③当时,或;.其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
题型五 二次函数的实际应用
例5 某商家销售一种成本为20元/件的商品,销售一段时间后发现,每天的销量（件）与当天的销售单价（元）满足一次函数关系,并且当时,;当时,.物价部门规定,该商品的销售单价不能超过52元.
（1） 关于的函数解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 当销售单价定为多少元时,商家销售该商品每天获得的利润是8 000元？
（3） 当销售单价定为多少元时,商家销售该商品每天获得的利润最大 并求出最大利润.
变式跟进
7．[2024长沙模拟]根据以下素材,探索解决下列问题.
素材1:图①是一个大棚苗木种植基地的截面图,其下半部分是一个长为,宽为的矩形,其上半部分是一条抛物线,现测得大棚顶部的最高点距离地面.以矩形长的中点为原点,竖直方向为轴,水平方向为轴,建立如图②所示的平面直角坐标系,大棚顶部的最高点为.
素材2:为了让苗木更好地生长,需要在大棚内安装补光灯,补光灯采用吊装模式悬挂在顶部,已知补光灯在距离地面时补光效果最好.
（1） 求大棚上半部分形状所在抛物线的函数解析式;
（2） 若在距离处水平距离的地方挂补光灯,为了使补光效果最好,求补光灯悬挂部分的长度.（灯的大小忽略不计）
题型六 二次函数的综合题
例6 [2023湖南模拟]“厚德楼”“博学楼”分别是某校两栋教学楼的名字,“厚德”出自《周易大传》:天行健,君子以自强不息;地势坤,君子以厚德载物.“博学”源自《论语·雍也》:君子博学于文,约之以礼.博学乃华夏古今治学之基础.我们不妨约定:在平面直角坐标系中,横、纵坐标相等的点称为“厚德点”,横、纵坐标互为相反数的点称为“博学点”.把函数图象至少经过一个“厚德点”和一个“博学点”的函数称为“厚德博学函数”.
（1） 一次函数是一个“厚德博学函数”,分别求出该函数图象上的“厚德点”和“博学点”;
（2） 已知二次函数的图象可以由二次函数平移得到,二次函数图象的顶点就是一个“厚德点”,并且该函数图象还经过一个“博学点”,求该二次函数的解析式.
变式跟进
8．对某一个函数给出如下定义:对于函数,若当时,函数值的取值范围是,且满足,则称此函数为“系郡园函数”.
（1） 已知正比例函数为“1系郡园函数”,则_ _ _ _ _ _ ;
（2） 已知二次函数,当时,是“系郡园函数”,求的取值范围;
（3） 已知一次函数,且为“2系郡园函数”,是函数上的一点.若不论取何值,二次函数的图象都不经过点,求满足要求的点的坐标.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2．二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．关于抛物线,下列说法错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．当时,随的增大而增大 D．顶点坐标为
4．将抛物线向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图为抛物线在平面直角坐标系中的位置,给出以下结论:;;;;;.其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知二次函数.
（1） 它的顶点坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;
（2） 当_ _ _ _ _ _ 时,随的增大而增大;
（3） 图象与轴的交点坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;
（4） 当_ _ _ _ _ _ 时,有最值为_ _ _ _ _ _ _ _ ;
（5） 当_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 时,的值小于0.
7．已知二次函数的图象经过点,和,求这个二次函数的解析式.
B组·能力提升 强化突破
8．已知抛物线和直线在同一平面直角坐标系内的图象如图所示,其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过坐标原点,与轴的另一个交点为.过抛物线的顶点分别作轴于点,轴于点,则图中阴影部分的面积和为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．6
10．如图,已知抛物线的图象与轴分别交于,两点,与轴交于点,是其对称轴上一动点.当取得最小值时,点的纵坐标与横坐标之和为_ _ _ _ _ _ .
11．如图,一个横截面为抛物线形的隧道底部宽、高.车辆双向通行.若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘的范围内行驶,并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙,则通过隧道的车辆的高度限制应为_ _ .
12．[2023常德模拟]某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量与销售价元/有如下关系:.设这种产品每天的销售利润为元.
（1） 求与之间的函数关系式.该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2） 如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克多少元？
13．[2023长沙模拟]在“校园劳动节”活动中,某劳动小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长）,用长的篱笆围成一个矩形劳动基地（篱笆只围和两边）,设, .
（1） 求关于的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
（2） 当矩形劳动基地的面积为时,求的长;
（3）在点处有一棵树（不考虑粗细）,它与墙和的距离分别是和,如果要将这棵树围在矩形劳动基地内部（含边界）,试求矩形劳动基地面积的最大值.
14．[2024长沙模拟]如图,已知抛物线与轴交于,两点（点在点的左侧）,与轴交于点.
（1） 求抛物线的解析式.
（2） 是第四象限内抛物线上的一个动点（与点,不重合）,过点作轴于点,交直线于点,连接,若,求点的坐标.
（3） 若为轴上一动点,为抛物线上一动点,是否存在点,,使得以点,,,为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
15．在关于的函数中,对于实数,,当且时,函数有最大值,最小值,设,则称为的“极差函数”（此函数为关于的函数）.特别地,当为一个常数（与无关）时,称有“极差常函数”.
（1） 判断下列函数是否有“极差常函数”？如果有,请在对应（ ）内画“√”;如果没有,请在对应（ ）内画“×”.
① ;（ ）
② ;（ ）
③ .（ ）
（2） 已知关于的一次函数,它与两坐标轴围成的面积为1,且它有“极差常函数”,求它的解析式.
（3） 若,当时,写出函数的“极差函数”,并求的取值范围.
专题2 二次函数
题型归类 举一反三
题型一 二次函数的图象和性质
例1 （1） 解: 二次函数的图象的对称轴为直线,
,且当时,该函数取得最大值,
,
.
将代入,
得,
.
（2） 由（1）可得二次函数的解析式为.
令,
整理,得.
,,
,
解得.
将代入,
解得.
将代入,
解得.
点的坐标为,点的坐标为.
变式跟进
1．C
2．（1） 解:,
,,
抛物线的解析式为.
抛物线的解析式为,
,
.
（2） 由（1）得,
抛物线的对称轴为直线.
该函数在时,有最小值,
若,
当时,有最小值,
,即,
该二次函数解析式为;
若,
,
此时当时,有最小值,
,解得,
该二次函数解析式为.
综上所述,该二次函数解析式为或.
题型二 二次函数图象的平移
【点悟】 二次函数图象的平移,实质上是顶点位置的变化,只要确定平移前、后的顶点坐标,就可以确定平移后抛物线的解析式.
例2 C
变式跟进
3．A
题型三 二次函数与一元二次方程或不等式的关系
【点悟】 抛物线 与 轴的交点（若存在）的横坐标,就是方程 的两个根.判断抛物线与 轴是否有交点,只要判断 与0的大小即可.
例3 （1）
（2） 解:,,
则,
方程有实数根,
由,解得,.
（3） 由（1）,得,
对称轴为直线,
当x=,即顶点坐标为,.
由（2）,得函数与轴的交点坐标为,.
如答图,当时,的取值范围为.
例3答图
变式跟进
4．
5．②③④
题型四 二次函数的图象与系数之间的关系
【点悟】 对于二次函数
（1）二次项系数 决定抛物线的开口方向和大小.当 时,抛物线开口向上;当 时,抛物线开口向下.越大,开口越小.
（2）一次项系数 和二次项系数 共同决定对称轴的位置.当 与 同号（即 时,对称轴在 轴左侧;当 与 异号（即 时,对称轴在 轴右侧（简称:左同右异）.
（3）常数项 决定抛物线与 轴的交点位置,抛物线与 轴交于点.
例4 D
变式跟进
6．B
题型五 二次函数的实际应用
【点悟】 应用二次函数解决实际问题中的最优化问题,实际上就是求函数的最大值（或最小值）.解题时,要先根据题目提供的条件,确定函数解析式,并将它配成顶点式,再根据二次函数的性质及自变量的取值范围确定最大值（或最小值）.
例5 （1）
（2） 解:由题意,得
,
整理,得,
解得,.
销售单价不能超过52元,
.
答:当销售单价定为40元时,销售该商品每天获得的利润是8 000元.
（3） 设利润为元,则.
,
当时,取得最大值为9 000.
故当销售单价定为50元时,商家销售该商品每天获得的利润最大,其最大利润为9 000元.
变式跟进
7．（1） 解:根据图中的坐标系以及题意,可得点的坐标为,点的坐标为.
抛物线的顶点的坐标为,
可设抛物线的函数解析式为.
把点代入,得,
解得.
抛物线的函数解析式为.
（2） .
当时,.
,
补光灯悬挂部分的长度应是.
题型六 二次函数的综合题
例6 （1） 解:由题意,得,即,解得,即“厚德点”为;
当时,即,
解得,即“博学点”为,.
（2） 二次函数的图象可以由二次函数平移得到,
则该函数的解析式为,
该函数图象的顶点就是一个“厚德点”,
即,
该函数的解析式为,
还经过一个“博学点”,
即,
将点代入函数解析式,得
,解得或,
即二次函数的解析式为或.
变式跟进
8．（1）
（2） 解:二次函数图象的对称轴为直线.
当时,;
当时,;
当,.
①当时,,.
是“系郡园函数”,
,
.
,
,
;
②当时,,,
,
.
,,
;
③当时,,,
,
.
,
,
;
④当时,,,
,
,
,
,
.
综上所述,的取值范围是.
（3） 一次函数,且为“2系郡园函数”,
,
解得,
一次函数解析式为.
,
当时,是定值,即函数图象过定点.
由,得,,
,,
抛物线过定点,.
在中,令,得;
令得,
直线过点,,
或.
由待定系数法知,过点,的直线的解析式为.
联立解得
两直线,相交于,
抛物线也不会过点,
点的坐标为,,.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．A 2．D 3．C 4．C 5．B
6．（1）
（2）
（3） ,
（4） ； 小；
（5）
7．解:设这个二次函数的解析式为.
由题意,得解得
这个二次函数的解析式为.
B组·能力提升 强化突破
8．D 9．A
10．
11．3
12．（1） 解:由题意,得,
当时,每天的利润最大,最大利润为200元.
（2） 令,
解得或,
这种产品的销售价不高于每千克28元,
,
答:该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克25元.
13．（1） 解:由题意,,
.
.
,
.
关于的函数解析式为.
（2） 由题意,令,则,
解得或,
长为或.
（3） 由题意, 点在矩形内部,
解得.
,
当时,随增大而增大,
时,取最大值为196.
答:花园面积的最大值为.
14．（1） 解:由抛物线与轴交于,两点,设抛物线的解析式为,
,
,
解得,
抛物线的解析式为.
（2） 在中,令,得,
,
设直线的解析式为.
把,代入,
得解得
直线的解析式为.
设,则,,
,.
,
,
,
解得（不合题意,舍去）,.
点的坐标为.
（3） 存在点,,使得以点,,,为顶点的四边形是平行四边形,理由如下:
设,,且,.
①当,为对角线时, ,的中点重合,
∴
解得或（舍去）,
;
②当,为对角线时,,的中点重合,
解得或
或;
③当,为对角线时, ,的中点重合,
（舍去）或
.
综上所述,点的坐标为,,或.
15．（1） ① √
② √
③ ×
解:（2） 解：（2）当 =0时， = ，
∴函数图象与 轴的交点为(0, )；
当 =0时， =，
∴函数图象与 轴的交点为(,0)，
∴ = | | ||,∴=2.
当 >0时， = ( +3)+ ( + )=3，
∴ =1,∴ =±,
∴函数解析式为 = ±．
当 <0时， = + [ ( +3)+ ]=3，
∴ = 1,∴ =±,
∴函数解析式为 = ±．
综上所述，函数的解析式为 = ±√2 或 = ±√2.
（3）∵ ,
函数的对称轴为直线.
,
对称轴为直线.
,
,.
,,
,
到对称轴的距离大于到对称轴的距离,
当时,有最大值,
当时,有最小值,
,
.
,,
,
.