专题5 概率初步 题型归类练习（含答案） 2025-2026学年数学人教版九年级上册

专题5 概率初步
题型归类 举一反三
题型一 事件的分类
例1 下列事件中,是必然事件的是（ ）
A．任意买一张电影票,座位号是2的倍数
B．13个人中至少有2个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口,遇到红灯
D．明天会下雨
题型二 概率的意义及计算
例2 [2023广东]某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”四门课程中随机选择一门学习,每门课程被选中的可能性相等.小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型三 用画树状图法或列表法求概率
例3 [2023衡阳模拟]在不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的卡片,这些卡片除颜色外都相同,其中红色卡片2张,黄色卡片1张,现从中任意抽出一张是红色卡片的概率为.
（1） 试求箱子里蓝色卡片的张数;
（2） 第一次随机抽出一张卡片（不放回）,第二次再随机抽出一张,请用画树状图或列表的方法,求两次抽到的都是红色卡片的概率.
题型四 用频率估计概率
例4 [2023衡阳模拟]在课堂上,老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀,让全班同学依次进行摸球试验,每次随机摸出一个球,记下颜色再放回搅匀,下表是试验得到的一组数据.
摸球的次数 100 150 200 500 800
摸到黑球的次数 26 37 49 124 200
摸到黑球 的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 0.25
（1） 摸一次球摸到黑球的概率为_ _ ;（结果精确到）
（2） 估算口袋中白球的个数;
（3） 用画树状图或列表的方法计算连续两名同学都摸出白球的概率.
题型五 判断游戏公平性的问题
例5 [2023长沙模拟]甲、乙两位同学玩转盘游戏,游戏规则:将圆盘平均分成三份,分别涂上红、黄、绿三种颜色,两位同学分别转动转盘两次（若压线,则重新转）.若两次指针指到的颜色相同,则甲获胜;若两次指针指到的颜色是黄绿组合,则乙获胜;其余情况则视为平局.
（1） 请用画树状图的方法,列出所有可能出现的结果;
（2） 试用概率的知识说明游戏是否公平.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．下列说法正确的是（ ）
A．做抛掷硬币的试验,如果没有硬币,用图钉代替硬币,做出的实验结果是一样的
B．天气预报说明天下雨的概率是,也就是说明天下雨和不下雨的机会是均等的
C．抛掷一枚质地均匀的硬币,已连续掷出 5次正面,则第6次一定掷出反面
D．某种彩票中奖的概率是,因此买 100张该彩票一定会中奖
2．下列四个图形,从中任取一个是中心对称图形的概率是（ ）
A． B．1 C． D．
3．在一个不透明的盒子里装有200个红、黄两种颜色的小球,这些球除颜色外其他完全相同.每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球,记下颜色后再放回盒子,通过大量重复试验后发现,摸到黄球的频率稳定在,那么估计盒子中黄球的个数为（ ）
A．80 B．90 C．100 D．110
4．在1,2,3这三个数中任取两个组成一个两位数,则组成的两位数大于15的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．若在,,0,1,2这五个数中任取两个数,,则二次函数图象的顶点在坐标轴上的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．“购买1张彩票,中奖”这个事件是_ _ 事件（填“必然”“随机”或“不可能”）.
7．[2023宁波]一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球,它们除颜色外其余均相同,从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为_ _ _ _ _ _ .
8．[2023衡阳模拟]在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外,其他完全相同的2张卡片,分别标有数字1,2,从中任意摸出一张,放回搅匀后再任意摸出一张,两次摸出的数字之积为偶数的概率为_ _ _ _ _ _ .
9．从背面标有数,0,1,4的卡片中任意取一张,它背面的数记为,再从剩余的卡片中任意取一张,它背面的数记为,则点恰好在第四象限的概率为_ _ _ _ _ _ .
B组·能力提升 强化突破
10．[2023长沙模拟]小明和小亮利用三张卡片做游戏,卡片上分别写有,,.这些卡片除字母外完全相同,从中随机摸出一张,记下字母后放回,充分洗匀后,再从中摸出一张,如果两次摸到卡片字母相同则小明胜,否则小亮胜.这个游戏对双方公平吗？请说明现由.
11．（2025 汕头模拟）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答以下问题；
（1）本次抽取的学生共有　 　人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是　　，并把条形统计图补充完整；
（2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是　 　分，中位数是　 　分，平均数是　 　分；
（3）若该校共有学生2 800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生有　 　人；
（4）等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
专题5 概率初步
题型归类 举一反三
题型一 事件的分类
例1 B
题型二 概率的意义及计算
【点悟】 利用 求事件 的概率时要注意正确计算出所有等可能的结果数 和事件 包含的等可能的结果数.对于几何型的概率问题,要注意各部分面积的关系,抓住“概率等于相应的面积与总面积之比”,这是解决几何型概率问题的关键.
例2 C
题型三 用画树状图法或列表法求概率
【点悟】 一般地,涉及两步的随机事件的概率,既可以用列表法也可以用画树状图法求解,涉及三步以上的随机事件的概率,通常用画树状图法求解.值得注意的是,用列表法、画树状图法求概率时,各种情况出现的可能性必须相等,否则是错误的.
例3 （1） 解:设箱子里蓝色卡片有张,
根据题意,得,
解得,
经检验,是原方程的解,且符合题意,
答:箱子里蓝色卡片有1张.
（2） 画树状图如答图:
例3答图
由树状图可知,共有12种等可能的结果,两次抽到的都是红色卡片的结果有2种,
两次抽到的都是红色卡片的概率为.
题型四 用频率估计概率
例4 （1） 0.25
（2） 解:由题意,得（个）.
答:估计口袋中白球的个数为3.
（3） 画树状图如答图:
例4答图
由树状图可知,共有16种等可能的结果,连续两名同学都摸出白球的结果有9种,
连续两名同学都摸出白球的概率是.
题型五 判断游戏公平性的问题
例5 （1） 解:如答图,所有可能出现的结果:（红,红）,（红,黄）,（红,绿）,（黄,红）,（黄,黄）,（黄,绿）,（绿,红）,（绿,黄）,（绿,绿）共9种结果.
例5答图
（2） （甲获胜）,（乙获胜）,
（甲获胜）（乙获胜）,
游戏不公平.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．B 2．A 3．B 4．A 5．A
6．随机
7．
8．
9．
B组·能力提升 强化突破
10．解:不公平.理由如下:
画树状图如答图:
第10题答图
由树状图可知,共有9种等可能的结果,两次摸到卡片字母相同的结果有5种,
两次摸到卡片字母相同的概率为,
小明胜的概率为,小亮胜的概率为.
,
这个游戏对双方不公平.
11．（1）40；36°
解：（1）B等级人数为（人，补全条形统计图如下：
第11题答图①
（2）70；70；66.5
（3）280
（4）画树状图如下：
第11题答图②
共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的有6种情况，
被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率为．