1.1 菱形的性质与判定 课件(共60张PPT) 2025-2026学年数学北师大版九年级上册

(共60张PPT)
1.1 菱形的性质与判定
第一章 特殊平行四边形
第1课时
学习&目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；
2.体会菱形的轴对称性，经历折纸等活动探索菱形的性质；
3.证明性质并能够运用性质解决问题。
下面几幅图片中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
情境&导入
回忆一下，什么是平行四边形，它有哪些性质？
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
情境&导入
性质：
边：平行四边形的对边平行且相等.
角：平行四边形的对角相等，邻角互补.
对角线：平行四边形的对角线互相平分.
对称性：平行四边形是中心对称图形.
回顾 & 思考

探索&交流
菱形的定义及其性质
1—
问题1: 观察上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
平行四边形
菱形
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
想一想
问题2: （1）菱形与平行四边形有什么关系？
总结：菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形.
菱形的对边平行且相等，
对角相等，对角线互相平分。
探索&交流
（2）菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
1.菱形的四条边都相等.
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形是轴对称图形
探索&交流
总结：菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相互平分.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
探索&交流
例题&解析
例题欣赏

例1.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A.内角和为360°
B.对角线互相垂直
C.对边平行
D.对角线互相平分
B
做一做
探索&交流
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
菱形是轴对称图形；
有两条对称轴；
两条对称轴互相垂直。
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（2）菱形中有哪些相等的线段？
菱形的四条边相等。
探索&交流
已知：如图，在菱形ABCD 中，AB=AD, 对角线 AC 与BD相交于点O.
求证: （1）AB=BC=CD=AD;（2）AC⊥BD.
证明:（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD,AD=BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD, ∴AB=BC=CD=AD.
探索&交流
如何推理证明“菱形的四条边相等，对角线互相垂直”这两个性质呢？
例题&解析
例题欣赏

例2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长．
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=AD（菱形的四条边相等），
AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
OB=OD= BD= =3（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形 ABD 中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形.
∴AB=BD=6.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA2 + OB2 = AB2，
∴OA= .
∴AC=2OA= （菱形的对角线互相平分）
例题&解析
例3.如图，在菱形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°.求∠CEF的度数 .
例题&解析
例题欣赏

解：如图 ，连接 AC.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，∠ B=60° ，
∴ AB=BC=CD=DA，∠ D= ∠ B=60° .
∴△ ABC 和△ ACD 均为等边三角形 .
∴ AB=AC，∠ B= ∠ ACF= ∠ BAC=60° .
∵∠ EAF=60°，∴∠ BAC= ∠ EAF.
例题&解析
∴∠ BAE= ∠ CAF.
∴△ ABE ≌△ ACF ( ASA ) . ∴ AE=AF.
又∵∠ EAF=60°，∴△ EAF 是等边三角形 .
∴∠ AEF=60° .
∵∠ AEC= ∠ B+ ∠ BAE= ∠ AEF+ ∠ CEF，
∴ 60°+18°=60°+ ∠ CEF.
∴∠ CEF=18° .
例题&解析
练习&巩固
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ）
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
C
2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（　　）
A.18 B.16 C.15 D.14
B
练习&巩固
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)．
在Rt△AOB中，
由勾股定理，得AO2＋BO2＝AB2，
∵
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD＝2BO＝2×3＝6(菱形的对角线互相平分)．
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.已知AB＝5cm，AO＝4cm.求BD的长．
练习&巩固
小结&反思
定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 性质 对称性 菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线
边 定理1：菱形的四条边相等
对角线 定理2：菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
周长 L=4a
面积 (1)S=ah
(2)菱形的面积等于对角线乘积的一半
第2课时
学习&目标
1.掌握菱形的判定定理
2.经历菱形判定定理的探究过程（重点）
3.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算（难点）
情境&导入
回顾 & 思考

1．菱形的定义是什么？菱形有哪些性质？
(1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
(2)菱形的性质
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
边
角
对角线
每一条对角线平分一组对角
情境&导入
根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流．
菱形
平行四边形
满足？条件
对角线
边
角
平行四边形的对角线满足什么条件时，它就是菱形了？
探索&交流
　　如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线。我们知道，这样得到的四边形是一个平行四边形．若转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两个木棒之间的夹角等于90°时，得到的图形是什么图形呢？
探索&交流
菱形判定
1—
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知:如图,在□ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AC⊥BD. 求证: □ABCD 是菱形
证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴OA = OC
又∵AC⊥BD
∴BD是线段 AC 的垂直平分线
∴BA = BC
∴四边形 ABCD 是菱形(菱形定义)
探索&交流
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形 ABCD是菱形。
归纳：若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明
对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分.
定理
AC⊥BD
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
探索&交流
议一议
已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？
如图，分别以 A，C 为圆心，以大于 AC 为半径作弧，两弧交于 B、D，依次连接 A，B，C，D，四边形 ABCD 看上去是菱形.
你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？
四边相等的四边形是菱形。
请你完成这个定理的证明。
探索&交流
证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的判定）.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形 (菱形的定义).
A
B
C
D
已知：右图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
探索&交流
四边相等的四边形是菱形.
定理
AB=BC=CD=AD
几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
四边形ABCD
A
B
C
D
探索&交流
做一做
你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！
先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形。
你能说说小颖这样做的道理吗？
例题&解析
例题欣赏

例1.已知：如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = ，OA=2，OB=1.
求证：□ABCD 是菱形.
证明：在△AOB 中，
∵AB = ，OA=2，OB=1，
∴AB2 = AO2 + OB2.
∴△AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角.
∴AC⊥BD.
∴□ABCD 是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）.
例题&解析
例题欣赏

例2.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD相交于点O，点E在AO上，且OE＝OC.(1)求证：∠1＝∠2；(2)连接BE，DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由.
A
B
C
D
E
O
1
2
例题&解析
解：(1)在△ABC 和△ADC 中，
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC，∴∠1＝∠2；
(2)四边形BCDE是菱形．理由如下：
连接BE，DE.
∵BC＝DC，∠1＝∠2，∴OD＝OB，OC⊥BD.
∵OE＝OC，∴四边形BCDE是平行四边形．
又∵OC⊥BD，∴四边形BCDE是菱形．
A
B
C
D
E
O
1
2
练习&巩固
1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）．
Ａ. AC⊥BD ，AC与BD互相平分
Ｂ. AB=BC=CD=DA
Ｃ. AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
Ｄ. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
O
A
D
C
B
C
练习&巩固
2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　）
A．AB=BC B．AC=BC
C．∠B=60° D．∠ACB=60°
B
练习&巩固
3.已知：如图，在□ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线分别与 AD，AC，BC 相交于点 E，O，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
证明：在□ABCD 中，AD∥BC，即 AE∥FC.
又∵EF为 AC 的垂直平分线，
∴AC⊥EF，AO = OC，
即∠AOE=∠COF=90°，∠EAO=∠FCO.
∴△FOC≌△EOA，即AE=FC.
∴四边形 AFCE 为平行四边形.
又∵AC⊥EF，∴四边形 AFCE 是菱形.
练习&巩固
4.如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作直线 EF ⊥ BD，分别交 AD， BC 于点 E 和点 F， 连接 BE， DF. 求证： 四 边形BEDF 是菱形 .
练习&巩固
证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB=OD， AD ∥ BC.
∴∠ EDO= ∠ FBO，∠ OED= ∠ OFB.
∴△ OED ≌△ OFB(AAS) . ∴ DE=BF.
又∵ DE ∥ BF，∴四边形 BEDF 是平行四边形 .
又∵ EF ⊥ BD，∴四边形 BEDF 是菱形 .
小结&反思
菱形的判定
1.菱形的判定方法：
(1)(定义法)：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
(2)(对角线)：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
(3)(边)：四边相等的四边形是菱形．
第3课时
学习&目标
1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题,并掌握菱形面积的求法。(重点、难点)
2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程,体会数形结合、转化等思想方法。
情境&导入
回顾 & 思考

1．平行四边形的对边 ，对角 ，对角线 ．
2．菱形具有 的一切性质．
3．菱形是 图形也是 图形．
4．菱形的四条边都 ．
5．菱形的两条对角线互相 ．
平行且相等
相等
互相平分
平行四边形
轴对称
中心对称
相等
垂直且平分
情境&导入
问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗
A
B
C
D
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高 =BC·AE.
E
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢
探索&交流
问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
探索&交流
菱形面积
1—
例1.如图，四边形ABCD 是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.
求：(1)对角线 AC 的长度；
(2)菱形 ABCD 的面积.
探索&交流
解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，AC 与 BD 相交于点 E，
∴∠AED = 90°（菱形对角线互相垂直），
DE = BD = ×10 = 5（cm）（菱形对角线互相平分）.
∴AE = = = 12（cm）.
∴AC=2AE=2×12=24（cm）（菱形的对角线互相平分）.
(2) 菱形ABCD 的面积
=△ABD 的面积 + △CBD 的面积
=2×△ABD 的面积
=2× ×BD×AE
=2× ×10×12=120 （cm2）.
例2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是 cm ．
16
例题&解析
例题欣赏

探索&交流
做一做
如图两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？
平行四边形
探索&交流
如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分 ABCD 是菱形吗？为什么？
证明：∵等宽纸条对边平行，
∴AD∥BC， AB∥CD，∴□ABCD 是平行四边形，
从 A点作AM⊥DC 交于点 M,作AN⊥BC交于点 N,
∵是两张等宽的纸，∴AM = AN.
∵□ABCD 是平行四边形，∴∠ABN=∠ADM，
∵AM⊥DC ，AN⊥BC，∴∠ANB =∠AMD = 90°，
∴△ABN≌△ ADM，∴AB = AD,
∴四边形 ABCD 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
探索&交流
例题&解析
例题欣赏

例3.如图所示，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
例题&解析
解：在Rt△AOB中，AB＝13，OA＝5，
OB＝12，
于是
所以S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
又因为菱形两组对边的距离相等，
所以S菱形ABCD＝AB h＝13h，
即13h＝120，得
练习&巩固
1.已知菱形的周长是28 cm，那么它的边长是______.
7cm
练习&巩固
2.如图，菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ）
A.6cm
B.8cm
C. 5cm
D.14cm
A
B
C
D
O
C
练习&巩固
3.菱形 ABCD 的周长为 40 cm，它的一条对角线BD 长 10 cm.
（1）求这个菱形的每一个内角的度数；
（2）求这个菱形另一条对角线的长.
解：（1）∵菱形 ABCD 的周长为 40 cm，
∴AB = BC = CD = DA = 10（cm）,
又∵BD = 10（cm），
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD = 60°，∴∠BCD = 60°，
∠ABC =∠CDA = 120°.
练习&巩固
（2）∵△AEB是直角三角形，
AB =10（cm），BE = 5（cm），
AE = = = （cm）.
AC = 2AE = （cm）
小结&反思
A
B
D
C
a
h
(1)S = a·h.
(2)S = AC·DB.
O
菱形的面积计算公式：
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半