1.2 矩形的性质与判定 课件(共64张PPT) 2025-2026学年数学北师大版九年级上册

(共64张PPT)
1.2 矩形的性质与判定
第一章 特殊平行四边形
第1课时
学习&目标
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题（重点）
3.应用矩形的性质定理解决相关问题（难点）
情境&导入
平行四边形有哪些性质？
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
中心对称图形
边
角
对角线
对称性
情境&导入
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
探索&交流
下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
思考 长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
探索&交流
矩形的性质
1—
活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.
矩形
不变：
变：
对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形.
角的大小.
探索&交流
四边形
两组对边
分别平行
平行
四边形
一个角
是直角
∟
矩形
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.也叫做长方形.
特别提醒:
(1)由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形．
(2)矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角．这两个条件缺一不可.
探索&交流
想一想
思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角，对角线等方面来考虑.
探索&交流
既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？
性质 边 角 对角线 对称性
矩形
对边平行
且相等
对角相等
对角线互相平分
中心对称图形
探索&交流
(2)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
(3)你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流.
D
C
B
A
矩形是轴对称图形吗？如果是，那么有几条对称轴？
轴对称图形
探索&交流
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB 相交于点O.
求证：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB(矩形的对角相等)，AB∥DC(矩形的对边平行)．
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°.
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°.
探索&交流
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC= 90°，对角线AC与DB相交于点 O。
求证：AC = BD.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC（矩形的对边相等），
在△ABC 和 △DCB 中，
∵AB = DC,∠ABC = ∠DCB，BC = CB.
∴△ABC ≌∠DCB.
∴AC = DB.
探索&交流
矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等.
归纳总结
几何语言描述：
在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB.
A
B
C
D
O
探索&交流
矩形的性质
矩形的对边平行且相等.
角
对角线
边
矩形的对角线相等.
矩形的对角线互相平分.
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角相等.
对称性
矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.
探索&交流
做一做
A 　
B 　
C 　
D 　
O 　
如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.
B
C
O
A
问题 Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？
它的长度与斜边AC有什么关系？
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
试给出数学证明.
探索&交流
O
C
B
A
D
证明: 延长BO至D, 使OD=BO,连接AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证:BO= AC .
∴BO= BD= AC.
矩形的性质.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例题&解析
例题欣赏

例1.如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD（矩形的对角线相等）
OA = OC = AC，OB = OD = BD，
∴OA = OD。
∵∠AOD = 120°，
∴∠ODA =∠OAD = (180°-120°) = 30°。
∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5.
例2.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D为 AB 的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形 ADCE 的形状，并证明你的结论.
解：四边形 ADCE 是菱形，
证明：∵ AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形 ADCE 为平行四边形.
又∵在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，
D 为 AB 中点，
∴ AD = CD . ∴四边形 ADCE 为菱形.
例题欣赏

例题&解析
例题&解析
例题欣赏

例3.证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
证明：如图，在△ABC 中，AC边的中线 BD 等于 AC 的一半，则 AD = BD = DC，
∴∠1=∠A，∠2=∠C.
又∵∠1+∠A+∠2+∠C = 180°，
∴2（∠1+∠2）=180°，即∠ABC = 90°，
故△ABC 为直角三角形.
练习&巩固
1.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( )
A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定
C
练习&巩固
2.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______．
6
练习&巩固
3.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.
解：连接OP.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB，
∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC
= S矩形ABCD= ×6×8=12.
在Rt△BAD中，由勾股定理得BD=10，
∴AO=OD=5，
∵S△APO+S△DPO=S△AOD，
∴ AO·PE+ DO·PF=12，即5PE+5PF=24，
∴PE+PF= .
小结&反思
1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形所有性质．
2．性质归纳：
(1)边的性质：对边平行且相等．
(2)对角线性质：对角线互相平分且相 等．
(3)对称性：矩形是轴对称图形．
第2课时
学习&目标
1.掌握矩形的判定方法，理解矩形的性质与判定的区别与联系.
2.会初步运用矩形的性质、判定等知识，解决简单的证明和计算，进一步培养学生的分析能力 .
3.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理（重点）．
4.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题（难点）.
情境&导入
有一个角是直角的平行四边形.
矩形的定义：
平行四边形
矩形
有一个角是直角
性质 边 角 对角线
矩形
矩形的对边平行且相等.
矩形的两条对角线相等且互相平分.
矩形的四个角都是直角.
情境&导入
思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
这节课我们一起探讨矩形的判定吧.
探索&交流
矩形的判定
1—
如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.
（1）随着∠α的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？
探索&交流
（2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
探索&交流
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC=∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠DCB = 180°,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
探索&交流
ABCD
AC = BD
ABCD是矩形
矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
例题&解析
例题欣赏

例1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD且AB=CD，∠BAC=∠BDC. 求证：四边形ABCD是矩形.
探索&交流
证明：∵AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠BDC.
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵∠BAC＝∠BDC，∴∠ABD＝∠BAC.
∴OA＝OB.∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形．
探索&交流
想一想
我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论， 并与同伴交流.
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
探索&交流
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
探索&交流
矩形的判定定理：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，
∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
探索&交流
数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
议一议
例题&解析
例题欣赏

例2 如图在 □ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4.
求 □ ABCD 的面积.
例题&解析
解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴OA = OC,OB = OD.
又∵△ABO 是等边三角形，
∴OA = OB = AB = 4.
∴OA = OB = OC = OD = 4.
∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8.
∴□ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC = 90°（矩形的四个角都是直角）.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2 = AC2，
∴BC=
∴S□ABCD = AB·BC = 4× = .
例题&解析
例题欣赏

例3.如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD , EC.
（1）求证：△ADC≌△ECD;
（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.
A
D
C
E
B
例题&解析
证明：（1）∵△ABC是等腰三角形,
∴∠B=∠ACB.
又∵四边形ABDE是平行四边形,
∴∠B=∠EDC,AB=DE,
∴∠ACB=∠EDC,
∴△ADC≌△ECD.
(2)∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,
∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
练习&巩固
C
1.能够判断一个四边形是矩形的条件是( )
A．对角线相等 B．对角线垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等
练习&巩固
2.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是 （ ）
A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
C
练习&巩固
3. 如图，点 B 在 MN 上，过 AB 的中点 O 作 MN 的平行线，分别∠ABM 的平分线和∠ABN 的平分线于点 C，D.试判断四边形 ACBD 的形状，并证明你的结论.
练习&巩固
证明: ∵CD ∥MN , BC, BD 分别为∠MBA ,∠ABN 的平分线,
∴∠ABD ＝∠DBN ＝∠CDB, ∠ABC ＝∠CBM ＝∠DCB,
且∠CBD ＝90°, ∴OC＝OB＝OD ＝OA ．
∵∠AOD ＝∠COB,∴△AOD ≌△COB,
则∠DAO＝∠OBC, AD ∥BC, AD ＝BC,
∴四边形 ACBD 为平行四边形．
又∵AB ＝ CD , ∴四边形 ACBD 为矩形．
小结&反思
1.矩形的判定方法：
（1）矩形的判定与性质是互逆定理；
（2）判定矩形的常见思路如下：
平行四边形
四边形
矩形
对角线
互相平分
有三个角是直角
有一个角是直角
对角线相等
第3课时
学习&目标
1.掌握矩形的性质及判定方法
2.会运用矩形的性质及判定方法进行计算和证明（重点）
3.矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用（难点）
情境&导入
矩形的定义
矩形判定定理
矩形判定定理
有三个角是直角的四边形是矩形.
有一个角是直角的平行四边形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
探索&交流
矩形的性质与判定综合运用
1—
例1.如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，已知∠AOD = 120°，AB = 2.5cm，则∠DAO = ______，AC=______cm，
30°
5
例题&解析
例题欣赏

例2.如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD交于点O，AE ⊥BD，垂足为E，ED=3BE. 求AE的长.
解∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD = 90°（矩形的四个都是直角），
AC = BD（矩形的对角线相等）
AO = CO = AC，BO=DO = BD（矩形的对角线互相平分）.
∴AO = BO = DO = BD.
∵ED = 3BE，∴BE = OE，
又∵AE⊥BD，∴AB = AO. ∴AB = AO = BO，
即 △ABO是等边三角形. ∴∠ABO = 60°.
∴∠ADB = 90°-∠ABO = 90°- 60°= 30°.
∴AE = AD = ×6 = 3.
例题&解析
例题&解析
例题欣赏

例3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）连接DE，交AC于点F，请判断
四边形ABDE的形状，并证明；
（3）线段DF与AB有怎样的关系？
请直接写出你的结论.
证明：∵AD 平分∠BAC，AN 平分∠CAM，
∴∠CAD = ∠BAC，∠CAN = ∠CAM.
∴∠DAE =∠CAD +∠CAN= （∠BAC +∠CAM）= ×180°=90°.
在△ABC中，∵AB = AC，AD为∠BAC 的平分线，
∴AD⊥BC. ∴∠ADC = 90°.
又∵CE⊥AN，∴∠CEA = 90° .
∴四边形 ADCE 为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.
（2）解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：
由（1）知，四边形ADCE为矩形，
则AE=CD，AC=DE．
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AB=DE，AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
例题&解析
例题&解析
例题欣赏

在例题4 中，若连接 DE，交 AC 于点 F.
（1）试判断四边形 ABDE 的形状，并证明你的结论.
四边形 ABDE 是平行四边形，
证明：∵△ABC 是等腰三角形且 AD⊥BC，
∴BD = CD,
又∵ADCE是矩形，∴AE = CD，AE∥CD，
∴BD=AE, BD∥AE,
∴四边形 ABDE 是平行四边形.
探索&交流
在例题4 中，若连接 DE，交 AC 于点 F.
（2）线段 DF 与 AB 有怎样的关系？请证明你的结论.
DF∥AB，DF = AB.
证明：四边形 ABDE 是平行四边形，
∴AC = DE, ∴DF = AC.
又∵AB = AC，∴ DF = AB.
∴DF∥AB.
∵四边形 ABDE 是平行四边形.
例题&解析
例题欣赏

例4.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
探索&交流
解：(1)BD＝CD.理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF＝DC.
∵AF＝BD，
∴BD＝DC；
探索&交流
(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∴AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ADB＝90°.
∴四边形AFBD是矩形．
练习&巩固
1.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝____度．
75
练习&巩固
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10 cm，则EH等于(　　)
A．8 cm　　B．10 cm　　C．16 cm　　D．24 cm
B
练习&巩固
3. 已知：如图，在△ABC中，AB = AC ，D 为 BC 的中点，四边形 ABDE 是平行四边形. 求证：四边形 ADCE 是矩形.
证明: 在△ABC 中, AB＝AC, D 为 BC 的中点,
∴∠ADC ＝ 90°, BD ＝ CD ．
又∵四边形 ABDE 是平行四边形,
∴ BD AE, 则 CD AE．
∴四边形 ADCE 为平行四边形．
又∵∠ADC ＝ 90°,
∴四边形 ADCE 为矩形．
∥
=
∥
=
小结&反思
与全等三角形的结合
矩形的性质与判定的综合
与平面直角坐标系的结合
折叠问题