1.3 正方形的性质与判定 课件(共46张PPT) 2025-2026学年数学北师大版九年级上册

(共46张PPT)
3.1 正方形的性质与判定
第一章 特殊平行四边形
第1课时
学习&目标
1.掌握正方形的定义及性质
2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别（重点）
3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题（难点）
情境&导入
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
探索&交流
正方形的性质与判定
1—
图中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
你能总结出正方形的定义吗？
探索&交流
活动一：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形.
问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？
正方形
活动二：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.
问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
正方形
探索&交流
（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？
（2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流.
探索&交流
正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质.
A
B
C
D
a
a
a
a
议一议
探索&交流
相关图形性质的关系
平行四边形的性质
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
菱形的性质
四条边相等
对角线互相垂直
四个角都是直角
对角线相等
矩形的性质
正方形的性质
探索&交流
已知：如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.
探索&交流
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
正方形的性质
定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
定理：正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
探索&交流
想一想
正方形有几条对称轴？
正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
正方形有 4 条对称轴.
例题&解析
例题欣赏

例1.如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF . BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：
(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)．
∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.
∴∠BCE＝∠DCF.
又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.∴BE＝DF.
(2)延长BE交DF于点M(如图)．
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE＝∠CDF.
∵∠DCF＝90°，
∴∠CDF＋∠F＝90°.
∴∠CBE＋∠F＝90°.
∴∠BMF＝90°.
∴BE⊥DF.
例题&解析
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地示它们之间的关系吗 ？与同伴交流.
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
议一议
探索&交流
例题&解析
例题欣赏

例2.如图，四边形ABCD 是正方形，点E在BC 的延长线上.如果BE=BD，且AB=2 cm，求∠ E 的度数和BE 的长.
例题&解析
例题&解析
例题欣赏

例3.如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形，
求证：∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
练习&巩固
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
D
练习&巩固
2.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是(　　)
A．3　　　 B．4　　　
C．5　　　 D．6
B
练习&巩固
3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
∴正方形的周长为4AD＝ ，
面积为AD2＝8.
小结&反思
正方形同时具备平行四边形，矩形，菱形的所有性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．这些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的依据．
第2课时
学习&目标
1．探索并证明正方形的判定，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；
2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 .
3.探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别.（重点）
4.会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.（难点）
情境&导入
正方形的定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
平行四边形
一组邻边相等
一个角是直角
正方形
正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
正方形的四个角都是直角，四条边相等.
正方形的性质
情境&导入
问题：你是如何判断是矩形、菱形？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
三个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
探索&交流
正方形的性质与判定
1—
探究一 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等
对角线互相垂直
正方形
探索&交流
定理：有一组邻边相等的矩形是正方形.
已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是矩形，
∴∠A = 90°，
又∵AB = BC，
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
探索&交流
已知：ABCD是矩形，AC⊥BD，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是矩形，
∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD
又∵AC⊥BD，
∴△AOB≌△AOD（SAS）
∴AB=AD
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
定理：对角线互相垂直的矩形是正方形.
探索&交流
探究二 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
一个角是直角
对角线相等
正方形
探索&交流
定理：有一个角是直角的菱形是正方形.
已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = DA，
又∵∠A = 90° ，
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
探索&交流
定理：对角线相等的菱形是正方形.
已知：四边形ABCD是菱形，AC=BD，试证明：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD
∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）
又∵AC = BD ，
∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.
∴∠ABC = 90°.
∴四边形ABCD 是正方形（正方形的定义）.
例题&解析
例题欣赏

例1.已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，
求证：四边形 BECF 是正方形.
45°
45°
例题&解析
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°,
∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB,
∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°,
∴ ∠ EBC =∠ ECB .
∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 .
在△EBC中
∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°,
∴∠BEC = 90°,
∴菱形BECF是正方形.
探索&交流
做一做
如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？正方形的中点四边形会是什么形状？
任意四边形的中点四边形是平行四边形.
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
探索&交流
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形ABCD 各边的中点.求证：四边形 EFGH为正方形.
证明：连接 AC，BD，
∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，
∴ EF∥AC 且EF = AC，
同理可证 HG∥AC 且HG = AC，
EH∥BD且 EH = BD，FG∥BD且FG = BD.
∴四边形 PFQO 为平行四边形.
探索&交流
菱形的中点四边形会是什么形状？矩形的中点四边形会是什么形状？
菱形的中点四边形是矩形.
你能试着证明吗？
矩形的中点四边形是菱形.
探索&交流
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为矩形.
证明：连接 AC，BD，
∵ E，F分别是 AB 和 BC 边中点，
∴ EF∥AC，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.
∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形.
又∵四边形 ABCD 是菱形
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
∴∠1=90°，∠2=90°.
∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义）
探索&交流
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为菱形.
证明：连接 AC，BD，
∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，
∴EF∥AC 且 EF = AC，
同理可证 HG∥AC且HG = AC，
EH∥BD且EH= BD，FG∥BD且FG= BD.
∴四边形 EFGH 为平行四边形.
又∵四边形 ABCD是矩形
∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF=EH
∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义）
例题&解析
例题欣赏

例2.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分 ABC , P是BD上一点,过点P作PM AD , PN CD ,垂足分别为M、N.
(1) 求证： ADB= CDB;
(2) 若 ADC=90 ,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
证明：（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2.
∴△ABD≌△CBD (AAS).
∴∠ADB=∠CDB.
1
2
例题&解析
C
A
B
D
P
M
N
（2）∵∠ADC=90°;
又∵PM⊥AD,PN⊥CD;
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB;
∴∠ADB=∠CDB=45°.∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是正方形.
练习&巩固
1．四个内角都相等的四边形一定是（ ）
A.正方形 B.菱形
C.矩形 D.平行四边形
C
练习&巩固
2.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是___________（只填写序号）．
②③或①④
练习&巩固
3.在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．
四边形EFMN是正方形吗 为什么
练习&巩固
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
小结&反思
正
方
形
对角线相等
性质
判定
正方形的面积公式
特殊的矩形
一组邻边相等
对角线互相垂直
特殊的菱形
一个角是直角