2.1 认识一元二次方程 课件(共33张PPT) 2025-2026学年数学北师大版九年级上册

(共33张PPT)
2.1 认识一元二次方程
第二章 一元二次方程
第1课时
学习&目标
1.理解一元二次方程的概念.（难点）
2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.
3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）
探索&交流
一元二次方程概念
1—
问题1 幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同.
8m
5m
已知量：
未知量：
矩形地面的长、宽
地毯的面积
地毯的长、宽
条形区域的宽
探索&交流
解：如果设所求的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为　 　　 m,根据题意,可得方程：
(8-2x)
(5-2x)
x
x
(8–2x)
x
x
(5–2x)
(8- 2x)（5-2x）=18.
化简：2x2 - 13x + 11 = 0 .①
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
探索&交流
问题2:观察下面等式：
102＋112＋122 ＝132＋142
　　你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为：_______，_______，_______，_______。
根据题意，可得方程：
x2 +(x＋1)2 +(x＋2)2 =(x＋3)2 +(x＋4)2
x＋1
x＋2
x＋3
x＋4
去括号、移项、合并同类项
x2-8x-20 = 0
探索&交流
问题3：如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m．如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？
解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　 m
如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙　　　　m
根据题意，可得方程：
72＋(x＋6)2＝102
6
（x＋6）
x2＋12x－15＝ 0
探索&交流
议一议
(8－2x)(5－2x ) = 18
2x2-13x+11=0
x2 +(x＋1)2 +(x＋2)2 =(x＋3)2 +(x＋4)2
x2 -8x-20=0
72＋(x＋6)2 ＝ 102
x2＋12x－15＝0
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
上述三个方程有什么共同特点？
1.只含有一个未知数;
2.未知数的最高次数是2;
3.整式方程．
探索&交流
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
我们把ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0） 称为一元二次方程的一般形式.
ax2
bx
c
二次项
一次项
常数项
a
b
二次项系数
一次项系数
探索&交流
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
当 a = 0 时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0，b =0时 ，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ，c=0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠0 ，b=c=0时 ，
ax2 = 0
总结：只要满足a≠0，b，c可以为任意实数.
例题&解析
例题欣赏

例1.下列方程：① x2+y－6=0；② x2+=2；③ x2－x－2=0；④ 2x2－3x=2(x2－2)，其中是一元二次方程的有 _____ (填序号).
③
例题&解析
例题欣赏

例2.如果方程(m－3)·xm2－7－x+3=0 是关于x的一元二次方程，那么m 的值为( )
A. ±3 B. 3
C. －3 D. 以上都不对
C
例3.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
常数项为
解：将原方程化简为：
　　9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9)
9x2＋12x＋4＝
9x2
二次项系数为 ，
一次项系数为 ，
5
36
－ 32
4 x2 －24x ＋36
－ 4 x2
＋ 24x
－ 36
＋ 12x
＋ 4
＝0
5x2 ＋ 36 x － 32＝0
例题欣赏

例题&解析
练习&巩固
1.将一元二次方程3x2－2=－4x 化成一般形式ax2+bx+c=0(a ＞0)后，一次项和常数项分别是( )
A．－4，2 B．－4x，2
C．4x，－2 D．3x2，2
C
练习&巩固
2.如果方程(m－3)·xm2－7－x+3=0 是关于x的一元二次方程，那么m 的值为( )
A. ±3 B. 3
C. －3 D. 以上都不对
C
练习&巩固
3.把下列一元二次方程转化成一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)(x+1)(x－2)=4；
(2)2(x－3)(x+4)=x2－10；
(3)(2x+1)(x－2)=5－3x.
练习&巩固
解：(1)整理方程，得x2－x－6=0.
其中二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－6.
(2)整理方程，得x2+2x－14=0.
其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14.
(3)整理方程，得2x2－7=0.
其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－7.
小结&反思
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
只含有一个未知数 x 的整式方程，
并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式，
这样的方程叫做一元二次方程．
第2课时
学习&目标
1.理解方程的解的概念.
2.经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.(重点)
3.会估算一元二次方程的解.（难点）
情境&导入
一元二次方程有哪些特点？
① 只含有一个未知数;
②未知数的最高次项系数是2;
③整式方程
一元二次方程的一般形式是什么？
ax2 +bx + c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的____.
解
探索&交流
一元二次方程的根
1—
一元二次方程的根：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.
练一练：下面哪些数是方程 x2–x–7=0 的解
-5 ,-3.5 , -3 ,-2 ,0 ,1.5,2,3 ,4，6
解：
-3和4.
例题&解析
例题欣赏

例1.已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值.
解：由题意，得
探索&交流
问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程(8 -2x)(5-2x)= 18，你能求出这个宽度吗？
(1) x可能小于0吗 说说你的理由．
(2) x可能大于4吗 可能大于2.5吗
说说你的理由.
x不可能小于0 ，因为宽度不能为负.
x不可能大于4 ，(8-2x)表示地毯的长，所以有8-2x>0.x不可能大于2.5，(5-2x)表示地毯的宽，所以有5-2x>0.
探索&交流
（2）你能确定 x 的大致范围吗？
0 < x < 2.5
（3）填写下表：
x 0.5 1 1.5 2
(8-2x)(5-2x)
28
18
10
4
（4）你知道地毯花边的宽 x(m) 是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流.
所求宽度为 x = 1 m.
探索&交流
做一做
问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程
x2 +12 x-15=0.
10m
8m
1m
xm
你能猜出滑动距离x的大致范围吗？
(1) 小明认为底端也滑动了1 m,他的说法正确吗？为什么？
(2) 底端滑动的距离可能是2m吗？
可能是3m吗？为什么？
不正确，因为 x = 1时，方程左边不等于 0
不可能是2，因为x=2时，方程左边不等于0.
不可能是3，因为x=3时，方程左边不等于 0.
探索&交流
（3）你能猜出滑动距离 x(m) 的大致范围吗？
（4）x的整数部分是几？十分位是几？
x2＋12x－15＝0
填写下表你能发现 x 的大致范围吗？
x 0 0.5 1 1.5 2
x2 +12x-15
-15
-8.75
-2
5.25
13
通过观察发现，若想使代数式的值为0，那么x的取值应在1和1.5之间。
所以 1 < x < 1.5
探索&交流
x2＋12x－15＝0
进一步计算：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2 +12x-15
-0.59
0.84
2.29
3.76
所以 1.1＜x＜1.2
因此 x 的整数部分是 1，十分位是 1。
例题&解析
例题欣赏

例2.根据题意,列出方程,并估算方程的解：
一面积为120 m2 的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，苗圃的长和宽各是多少？
解：设苗圃的宽为x m,则长为(x+2) m .根据题意，得
x (x + 2) = 120，即 x2 + 2x - 120 = 0.
由题意,得x的取值范围大致是0 < x < 11.解方程 x2+2x-120=0.
完成下表(在0 < x < 11这个范围内取值计算,逐步逼近):
x … …
x2 +2x–120 … …
8 9 10 11
-40 -21 0 23
120 m2
(x+2)m
xm
所以x=10.因此这苗圃的长是12米，宽是10米.
练习&巩固
1. 如果2是一元二次方程x2＋bx＋2＝0的一个根，那么字母b的值为(　　)
A. 3　　B. －3　　C. 4　　D．－4
B
练习&巩固
2.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0，
化简，得9+4a=0.
即4a=-9.
练习&巩固
有一条长为 16 m 的绳子，你能否用它围出一个面积为 15 m2 的矩形？若能，则矩形的长、宽各是多少？
解: 设矩形的宽为 x m．
x(8－x) ＝ 15．
x ＝ 3 或5
所以，矩形的宽为 3 m，长为 5 m．
小结&反思
一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0)
一元二次方程
概念
一个未知数
最高次是2
整式方程
一元二次方程 的根
一元二次方程解的估算（二分法求近似解）