2.2用配方法求解一元二次方程 课件(共38张PPT) 2025-2026学年数学北师大版九年级上册

2.2 用配方法求解一元二次方程
第二章 一元二次方程
第1课时
学习&目标
1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n(n>0)的方程.（重点）
2.理解配方法的基本思路.（难点）
3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.（重点）
情境&导入
如果一个数的平方等于 4，则这个数是____，
若一个数的平方等于 7，则这个数是_____.
一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？
3.平方根的意义.
±2
两个平方根，互为相反数.
如果x2 =a (a≥0)，那么x= .
4.用字母表示因式分解的完全平方公式.
a2±2ab+b2=(a±b)2
探索&交流
用直接开平方法求解一元二次方程
1—
问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程
10×6x2=1500，
由此可得
x2=25
开平方得
即x1=5，x2=－5.
因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．
x=±5，
探索&交流
1. 定义 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程解的方法叫做直接开平方法.
注意
直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点：
不要只取正的平方根而遗漏负的平方根；
只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提是x2=p中p ≥ 0.
探索&交流
2. 方程x2=p 的解(根)的情况
(1)当p>0 时，方程有两个不等的实数根x1=－????，x2=?????；
(2)当p=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；
(3)当p<0 时，方程没有实数根.
?
例题&解析
例题欣赏
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例1.用直接开平方法解下列方程：
(1)9x2－81=0；
(2)2(x－3)2－50=0.
解：(1)移项，得9x2=81.系数化为1，得x2=9.开平方，得x=±3.
∴ x1=3，x2=－3.
(2)移项，得2(x－3)2=50.系数化为1，得(x－3)2=25.
开平方，得x－3=±5.
∴ x1=8，x2=－2.
探索&交流
议一议
你能解方程 x2 + 12x-15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？
你能设法将这个方程转化成上面的形式吗？与同伴进行交流.
x2 + 12x -15 = 0
移项，得 x2 + 12x = 15
两边都加 62，得 x2 + 12x +62 = 15+62
即 ( x + 6 )2 = 51
两边开平方，得
探索&交流
解一元二次方程的基本思路是什么？
x2 +12x-15=0
( x + 6 )2 = 51
解一元二次方程的思路是将方程转化为 (x+m)2 = n 的形式.
一元二次方程
(代数式)2=常数
一元一次方程
转化
开平方
降次
由应用直接开平方法解形如：x2=p（p≥0），那么x=±
由应用直接开平方法解形如：（mx+n）2=p（p≥0），则mx+n=_____ .
探索&交流
议一议
填上适当的数，使下列等式成立：
1. x2 + 12x +_____ = (x+6)2
2. x2 - 4x +_____= (x - ___)2
3. x2 + 8x +_____= (x +___)2
62
22
2
42
4
上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？
一次项系数一半的平方
对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式？
探索&交流
将方程化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边同时开平方即可求出它的解，这种方法叫配方法．
定义：
用配方法解形如 x2 + px + q = 0
①将常数项移到方程的右边. x2 +px=-q
②两边都加上一次项系数一半的平方.x2 +px+（ ）2 =（ ）2 -q
③直接用开平方法求出它的解.（x + ）2 =（ ）2 - q
探索&交流
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤
(1)移项. (2)二次项系数化为1. (3)配方. (4)开方.
例题&解析
例题欣赏
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例2.解方程：x2 + 8x–9 = 0.
解: 可以把常数项移到方程的右边，得
x2 + 8x = 9.
两边都加上一次项系数 8 的一半的平方，得
x2 + 8x + 42 = 9 + 42，
(x+4)2 = 25.
两边开平方，得 x + 4 = ±5，
即 x+4 =5，或 x+4 =-5.
所以 x1 = 1，x2 = -9.
例题&解析
例题欣赏
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例3.用配方法解一元二次方程
(1)x2+4x+3=0； (2)x2+x－ ????????=0；
(3)(1+x)2+2(1+x)－3=0.
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例题&解析
解：(1)移项，得x2+4x=－3.配方，得x2+4x+22=－3+22.
∴(x+2)2=1. ∴ x1=－1，x2=－3.
(2)移项，得x2+x= ????????.
配方，得x2+x+(????????)2= ????????+(????????)2.
∴ (x+ ????????)2=1.∴ x1= ????????，x2=－ ????????.
(3)移项，得(1+x)2+2(1+x)=3.
配方，得(1+x)2+2(1+x)+12=3+12.
∴(1+x+1)2=4. ∴ x1=0，x2=－4.
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练习&巩固
1.方程 x2 - 4 = 0 的解是（ ）
A. x =2 B. x = -2
C. x =±2 D. x =±4
C
练习&巩固
2.一名同学将方程x2－4x－3=0化成了(x+m)2=n 的形式，则m，n 的值应为( )
A. m=－2，n=7 B. m=2，n=7
C. m=－2，n=1 D. m=2，n=－7
A
练习&巩固
如图，在一块长 35 m、宽 26 m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 850 m2. 道路的宽应为多少？
解: 设道路的宽为 x m．
35×26＝850＋(26＋35)x－x2．
x2－61x＋60＝0．
得 x1＝60(舍去)，x2＝1．
所以，道路的宽为 1 m．
35 m
26 m
练习&巩固
解：(1)整理方程，得x2－x－6=0.
其中二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－6.
(2)整理方程，得x2+2x－14=0.
其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14.
(3)整理方程，得2x2－7=0.
其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－7.
小结&反思
用配方法解
一元二次方程
直接开平方法：
基本思路：
解二次项系数为1的一元二次方程步骤
形如（x + m）2 = n (n≥0)
将方程转化为（x+m）2 =n (n≥0)的
形式，在用直接开平方法，直接求根.
1.移项
3.直接开平方求解
2.配方
第2课时
学习&目标
1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程;.（重点）
2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点）
情境&导入
用配方法解一元二次方程（二次项系数为1）的步骤是什么？
步骤：（1）将常数项移到方程的右边,使方程的左边只含二次项和一次项;
（2）两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）直接用开平方法求出它的解.
情境&导入
将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答).
1. x2+2x+______= (x +___)2
12
1
2. x2-4x+_____= (x -___)2
22
2
3. x2+______+36 = (x +___)2
12x
6
4. x2 + 10x +_____= (x +___)2
52
5
5. x2-x+________= (x-____)2
探索&交流
配方法及其应用
1—
问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：
① x2 - 6x–40 = 0 ;
② 3x2 +18x +24 = 0.
问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 .
想一想怎么来解3x2 +18x +24 = 0.
移项，得 x2 - 6x = 40
方程两边都加上 32 （一次项系数一半的平方），得
x2 - 6x + 32 = 40 + 32
即 (x-3)2 = 49
开平方，得 x - 3 = ±7
即 x - 3 = 7 或 x - 3 = -7
所以 x1 = 10，x2 = -4
探索&交流
解方程：② 3x2 +18x +24 = 0.
如果一元二次方程的系数不是1，我们应该怎样使用配方法去解方程呢？
在方程的两边同时除以二次项系数
解：方程两边都除以 3，得
移项，得
配方，得
两边开平方，得
所以
探索&交流
做一做
一小球以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h(m) 与时间 t(s) 满足关系: h = 15t - 5t2，小球何时能达到 10 m 的高度？
解：根据题意得 15t -5t2 = 10
方程两边都除以 -5，得 t2 -3t = -2
配方，得
两边开平方，得
探索&交流
请你描述一下，在做一做中 t 有两个值，它们所在时刻小球的运动状态.
一小球以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h(m) 与时间 t(s) 满足关系: h = 15t - 5t2，小球何时能达到 10 m 的高度？
t = 1 时，小球向上运动，
t = 2 时，小球向下运动。
探索&交流
思考：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
①移项，二次项系数化为1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
例题&解析
例题欣赏
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例1.用配方法解一元二次方程：
(1)x2+4x+3=0； (2)x2+x－ ????????=0；
(3)2x2－4x－1=0； (4)(1+x)2+2(1+x)－3=0.
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例题&解析
解：(1)移项，得x2+4x=－3.配方，得x2+4x+22=－3+22.
∴(x+2)2=1. ∴ x1=－1，x2=－3.
(2)移项，得x2+x= ????????.
配方，得x2+x+(????????)2= ????????+(????????)2.
∴ (x+ ????????)2=1.∴ x1= ????????，x2=－ ????????.
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例题&解析
(3)移项，得2x2－4x=1.二次项系数化为1，得x2－2x=???????? .
配方，得x2－2x+12= ????????+12，即(x－1)2= ????????.
∴ x1=1+ ?????????，x2=1－ ?????????.
(4)移项，得(1+x)2+2(1+x)=3.
配方，得(1+x)2+2(1+x)+12=3+12.
∴(1+x+1)2=4. ∴ x1=0，x2=－4.
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例题&解析
例题欣赏
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例2..若a,b,c为△ABC的三边长，且
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为直角三角形.
练习&巩固
1.若关于x 的方程4x2－(m－2)x+1=0的左边是一个完全平方式，则m 等于( )
A. －2 B. －2 或6
C.－2 或－6 D. 2 或－6
B
练习&巩固
2.方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则m的值为（ ）
A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2
C
练习&巩固
3.解下列方程：
（1）4x2-6x-3=0； （2） 3x2+6x-9=0.
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
小结&反思
配方法
方法
步骤
一移常数项；
二配方[配上 ]；
三写成（x+n)2=p (p ≥0);
四直接开平方法解方程.
应用
求代数式的最值或证明
在方程两边都配上