2.3 用公式法求解一元二次方程 课件(共35张PPT) 2025-2026学年数学北师大版九年级上册

(共35张PPT)
2.3 用公式法求解一元二次方程
第二章 一元二次方程
第1课时
学习&目标
1.会用公式法解一元二次方程
2.掌握一元二次方程根的判别式
3.一元二次方程根的判别式的应用
情境&导入
问题：说一说用配方法解系数不为1的一元二次方程的步骤？
化：二次项系数化为 1 ；
移：将常数项移到等号右边；
配：配方，使等号左边成为完全平方式；
开：等号两边开平方；
解：求出方程的解。
每次求解都要配方，很麻烦，有简单方法吗？
用配方法可以解所有一元二次方程吗
探索&交流
用公式法求解一元二次方程
1—
方程两边都除以a
解:
移项，得
配方，得
即
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
探索&交流
因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 当b2 -4ac≥0时，
是一个非负数，此时两边开平方，得
问题：接下来能用直接开平方解吗？
一元二次方程的求根公式
特别提醒
探索&交流
求根公式
对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0），
当b2 - 4ac ≥ 0 时，它的根是：
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
探索&交流
2. 公式法
用求根公式解一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化成一般形式；
②确定a，b，c 的值；
③求出b2－4ac 的值；
④若b2－4ac ≥ 0，则把a，b 及b2－4ac 的值代入求根公式求解，若b2－4ac ＜ 0，则方程无实数解.
例题&解析
例题欣赏

例1.解方程 ：
（1）x2 -7x -18 = 0； （2）4x2 + 1 = 4x.
解：（1）a = 1，b = -7，c = -18.
∵ b2 - 4ac = (-7)2 - 4×1×(-18) = 121 > 0，
∴
即 x1 = 9，x2 = -2.
例题&解析
解：（2）将原方程化为一般形式，得 4x2-4x + 1 = 0.
这里 a = 4，b = -4，c = 1.
∵ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×4×1 = 0，
∴
即
探索&交流
议一议
（1）你能解一元二次方程 x2 -2x+3=0吗？你是怎么想的？
解：（1）a=1，b=-2，c=3.
∵ b2 -4ac= (-2)2 -4×1×3=-8<0，
方程没有实数根.
（2）对于一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0），
当 b2 -4ac<0时，它的根的情况是怎样的？与同伴交流.
探索&交流
一元二次方程 ax2 +bx+c=0（a≠0），
根的判别式是：
⊿ = b2 -4ac
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0） 判别式的情况 根的情况 定理与逆定理
⊿=b2 -4ac>0
两个不相等的实数根
⊿>0
两个不相等的实数根
⊿=b2 -4ac=0
两个相等的实数根
⊿=0
两个相等的实数根
⊿=b2 -4ac< 0
没有实数根
⊿<0
没有实数根
探索&交流
公式法解方程的步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
例题&解析
例题欣赏

例2.已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
B
例题&解析
例题欣赏

例3.方程2x2－6x+3=0 较小的根为p，方程2x2－2x－1=0 较大的根为q，则p+q 等于( )
A. 3 B. 2
C. 1 D. 2
B
练习&巩固
1.方程3x2－x＝4化为一般形式后的a，b，c的值分别为(　　)
A．3、1、4 B．3、－1、－4
C．3、－4、－1 D．－1、3、－4
B
练习&巩固
2. 用公式法解方程 ：y2－2y－2=0；
练习&巩固
3.长方体木箱的高是 8 dm，长比宽多 5 dm，体积是 528 dm3，求这个木箱的长和宽.
解: 设这个木箱的宽是 x dm．
x(5＋x)×8＝528，解得 x1＝－11 (舍去)，x2＝6．
所以，这个木箱的宽是 6 dm，长是 11 dm．
小结&反思
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0），
当b2 - 4ac ≥ 0 时，它的根是：
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
第2课时
学习&目标
1.能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题.（重点、难点）
2.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.（难点）
情境&导入
1、怎样用配方法解一元二次方程？
用配方法解方程的步骤:
化：二次项系数化为 1 ；
移：将常数项移到等号右边；
配：配方，使等号左边成为完全平方式；
开：等号两边开平方；
解：求出方程的解。
2、怎样用公式法解一元二次方程？
对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0），
当b2 - 4ac ≥ 0 时，它的根是：
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
情境&导入
探索&交流
利用一元二次方程解决面积问题
1—
问题：如图，某小区规划在一个长45 m、宽30 m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外两条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为 78 m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为x m，则由题意列的方程为_____________________.
C
B
D
A
(45-2x)(30-x)=6×78
探索&交流
解：设小路的宽为 x m, 根据题意，得
即 x2 - 14x + 24 = 0.
解得 x1 = 2 , x2 = 12.
将x =12 代入方程中不符合题意舍去.
答：小路的宽为2 m.
小明设计：
如图所示，其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程,
得到小路的宽为2 m或12 m.
16m
12m
问题：你觉得他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？
x
x
探索&交流
小芳设计：
如图所示，其中花园每个角上的扇形都相同.
问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？
16m
12m
解：设扇形的半径为x m，由题意得：
πx2 = 16×12×
πx2 = 96
x1≈ 5.5，x2≈ -5.5（舍）
探索&交流
小华设计：
如图所示，其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.
问题：你能帮小颖计算一下图中x吗？
16m
12m
xm
xm
解：设小路的宽为 x m. 根据题意，得
即 x2 - 28x + 96 = 0.
解得 x1 = 4 , x2 = 24,
将x =24 代入方程中不符合题意，舍去.
答：小路的宽为4 m.
例题&解析
例题欣赏

例1.在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂图.如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%.那么金边的宽应是多少？
解：设金边的宽为 x cm, 根据题意得:
(90 + 2x)(40 + 2x)×72% = 90×40.
即 x2 + 65x - 350 = 0.
解方程,得 x1= 5 , x2 = -70 (舍去).
答:金边的宽应是5cm.
例题&解析
例题欣赏

例2.学校为了美化校园环境，计划在一块长为40 m，宽为20 m 的矩形空地上新建一个长为9 m，宽为7 m 的矩形花圃.
(1)若要在这块空地上设计一个矩形花圃， 使它的面积比学校计划的面积多1 m2. 请给出你认为合适的三种不同的设计方案；
(2)在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下, 矩形花圃的面积能否增加2 m2 ？如果能，请求出矩形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.
例题&解析
（1）解：学校计划新建的花圃的面积为9×7＝63(m2)，比它多1 m2的矩形面积为64 m2.因此，可设计以下方案：
方案一：长和宽都为8 m；
方案二：长为10 m，宽为6.4 m；
方案三：长为20 m，宽为3.2 m.
例题&解析
解：不能．理由如下：
假设在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下，矩形花圃的面积能增加2m2.计划新建的矩形花圃的周长为2×(9＋7)＝32(m)．设面积增加后的矩形花圃的长为x m，则宽为(16－x)m.
根据题意，得x(16－x)＝9×7＋2.整理，得x2－16x＋65＝0.
∵b2－4ac＝(－16)2－4×1×65＝－4<0，∴此方程没有实数根．
∴假设不成立，即在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下，矩形花圃的面积不能增加2 m2.
练习&巩固
1.一元二次方程(x+1)(x－1)=2x+3的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
A
练习&巩固
2.如图，圆柱的高为 15 cm，全面积（也称表面积) 为 200 π cm2，那么圆柱底面半径为多少？
解: 设圆柱底面半径为 r cm．
2πr2＋15×2πr ＝ 200π
解得 r1＝－20(舍去)，r2＝5．
所以，圆柱底面半径为 5 cm．
练习&巩固
3.如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.
解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米，列方程得
（20-x)(32-x)=540，
整理得 x2-52x+100=0，
解得 x1=50(舍去），x2=2.
答：道路宽为2米.
图1
图2
小结&反思
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0），
当b2 - 4ac ≥ 0 时，它的根是：
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.