2.4 用因式分解法求解一元二次方程 课件(共19张PPT) 2025-2026学年数学北师大版九年级上册

(共19张PPT)
4 用因式分解法求解一元二次方程
第二章 一元二次方程
学习&目标
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
情境&导入
1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法
(1)直接开平方法:
(2)配方法:
x2=a (a≥0)
(x+m)2=n(n≥0)
(3)公式法:
选择合适的方法解下列方程：
（1）x2-5x=8 （2）2x2+6x-3=0
因式分解的方法
（1）提公因式法
am + bm + cm = m(a + b + c)
（2）公式法
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
情境&导入
探索&交流
用因式分解法求解一元二次方程
1—
一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？
设这个数为 x，根据题意，可得方程 x2 = 3x.
由方程 x2 = 3x，得 x2-3x = 0.
因此
x1 = 0，x2 = 3.
所以这个数是 0 或 3.
他做得对吗？
一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？
设这个数为 x，根据题意，可得方程 x2 = 3x.
由方程 x2 = 3x，两边同时约去 x ，得.
x = 3.
所以这个数是 3.
她做得对吗？
探索&交流
探索&交流
小亮的思路：
由方程 x2 = 3x ,得
x2 - 3x = 0
即 x (x - 3) = 0
于是 x = 0 , 或 x - 3 = 0.
因此 x1 = 0 , x2 = 3
所以这个数是0或3
如果a·b=0,
那么a=0或b=0.
即“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
探索&交流
议一议
他们做得对吗？为什么？你是怎么做的？
x2-3x = 0 x(x-3) = 0
当一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解.
这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.
探索&交流
2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤
(1)整理方程，使其右边为0；
(2)将方程左边分解为两个一次式的乘积；
(3)令两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
例题&解析
例题欣赏

例1. 解下列方程：
（1）5x2 = 4x； （2）x(x - 2) = x - 2.
解：（1）原方程可变形为
5x2 - 4x = 0 ，
x(5x - 4) = 0 ，
x = 0，或 5x–4 = 0.
（2）原方程可变形为
x(x - 2)–(x -2) = 0 ，
(x-2)(x-1) = 0 ，
x-2 =0 ，或 x–1 =0.
x1 = 2 ，x2 = 1.
探索&交流
想一想
你能用因式分解法解方程 x2-4=0，(x+1)2-25=0 吗？
x2–4 = 0
解：原方程可变形为
(x + 2)(x - 2) = 0
x + 2 = 0 或 x - 2 = 0
x1 = -2，x2 = 2.
(x+1)2–25 = 0
解：原方程可变形为
(x+1+5)(x+1-5)=0
(x + 6)(x - 4) = 0
x + 6 = 0 或 x - 4 = 0
x1 = -6，x2 = 4.
例题&解析
例题欣赏

例2.用适当的方法解方程：
（1）3x（x+5）=5（x+5）； （2）（5x+1）2 =1；
解：化简 (3x-5)(x+5) = 0.
即 3x-5= 0 或 x+5=0.
解：开平方,得
5x+1= ±1.
解得 x1= 0 , x2 =
例题&解析
（3）x2-12x = 4 ; （4）3x2 =4x+1；
解：配方,得
x2 -12x+62 =4+62,
即 (x - 6)2 = 40.
开平方,得
解得 x1=
x2=
解：化为一般形式
3x2 - 4x + 1 = 0.
∵Δ=b2 - 4ac=28 > 0,
探索&交流
填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 +px + q = 0 （p2 -4q ≥0）
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
ax2+bx+c=0(a≠0,b2 -4ac≥0)
(x+m)（x + n）＝0
探索&交流
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
解法选择基本思路
练习&巩固
1.解下列方程：
①(x－2)2=5,② x2－2x+1=0,③ x2+ x－3=0,
较适当的方法为( )
A. ①直接开平方法, ②因式分解法, ③公式法
B. ①因式分解法, ②公式法, ③配方法
C. ①公式法, ②配方法,③因式分解法
D. ①直接开平方法, ②公式法, ③因式分解法
A
练习&巩固
2. 用适当方法解下列方程：
（1）(2x+3)2-25=0; （2）x2+5x+7=3x+11.
解：化简，得
4x2+12x+9-25=0
x2+3x-4=0
分解因式，得
(x-1)(x+4)=0
x1=1, x2=-4
解：化简，得
x2+2x=4
x2+2x+1=5
(x+1)2=5
练习&巩固
3.公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图)，原空地一边减少了 1 m，另一边减少了 2 m，剩余空地面积为 12 m2，求原正方形空地的边长.
解: 设原正方形空地的边长为 x m．
x2－2x－x＋1×2＝12，
解得 x1＝－2（舍去），x2＝ 5．
所以，原正方形空地的边长为 5 m．
小结&反思
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
方程右边化为______.
将方程左边分解成两个__________的乘积.
至少________因式为零，得到两个一元一次方程.
两个__________________就是原方程的解.
0
一次因式
有一个
一元一次方程的解