3.1 用树状图或表格求概率 课件(共60张PPT) 2025-2026学年数学北师大版九年级上册

1 用树状图或表格求概率
第三章 概率的进一步认识

第1课时
学习&目标
1.会用画树状图或列表的方法计算简单随机事件发生的概率;
（重点）
2.能用画树状图或列表的方法不重不漏地列举事件发生的所有可能情况.（难点）
3.会用概率的相关知识解决实际问题.
情境&导入
1.什么叫事件的概率？
2.一般地，如果在一次试验中有n种可能结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）= .
情境&导入
抛掷一枚硬币，得到正面概率是多少？反面呢？
探索&交流
画树状图法
1—
做一做：小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票.三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影.游戏规则如下：
连续抛掷两枚均匀的硬币，如果两枚正面朝上，则小明获胜；如果两枚反面朝上，则小颖获胜；如果一枚正面朝上、一枚反面朝上，小凡获胜.
小明
小颖
小凡
问题：你认为上面游戏公平吗？
探索&交流
问题1：你认为上面游戏公平吗？
活动探究：
（1）每人抛掷硬币20次，并记录每次试验的结果，根据记录填写下面的表格：
抛掷的结果
两枚正面朝上
两枚反面朝上
一枚正面朝上，一枚反面朝上
频数
频率
探索&交流
（2）由上面的数据，请你分别估计“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件的概率.
问题2：通过实验数据,你认为该游戏公平吗？
从上面的试验中我们发现，试验次数较大时，试验频率基本稳定，而且在一般情况下，“一枚正面朝上.一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事件发生的概率.所以，这个游戏不公平，它对小凡比较有利.
探索&交流
议一议
（1）抛掷第一枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？
（2）抛掷第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？
（3）在第一枚硬币正面朝上的情况下，第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生可能性是否一样？如果第一枚硬币反面朝上呢？
探索&交流
探究体会：
由于硬币是均匀的，因此抛掷第一枚硬币出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同。无论抛掷第一枚硬币出现怎样的结果，抛掷第二枚硬币时出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率也是相同的。所以，抛掷两枚均匀的硬币，出现的（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）四种情况是等可能的。
因此，我们可以用树状图或表格表示所有可能出现的结果。
探索&交流
我们可以用树状图或表格表示所有可能出现的结果.
开始
正
正
第一枚
硬币
树状图
反
（正，正）
（正，反）
反
正
反
（反，正）
（反，反）
第二枚硬币
所有可能出现的结果
表格
正
反
正
反
第一枚硬币
第二枚硬币
（正，正）
（反，正）
（正，反）
（反，反）
总共有4中结果,每种结果出现的可能性相同.其中：
小明获胜的概率： 小颖获胜的概率：
小凡获胜的概率：
因此，这个游戏对三人是不公平的.
探索&交流
探索&交流
利用树状图或表格，我们可以不重复，不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率。
归纳总结
特别提醒
1.用列表法或画树状图法求事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性必须相等.
2.当试验包含两步时，用列表法比较方便，当然此时也可用画树状图法.
例题&解析
例题欣赏
?
例1.小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏. 游戏规则如下：
由小明和小颖做“石头、剪刀、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者.

假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？
例题&解析
解：因为小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，所以可以利用树状图列出所有可能出现的结果：

总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，
例题&解析
两人手势相同的结果有3种：（石头，
石头）（剪刀，剪刀）（布，布），
所以小凡获胜的概率为 = ；
小明胜小颖的结果有3种：（石头，
剪刀）（剪刀，布）（布，石头），
所以小明获胜的概率为 = ；
小颖胜小明的结果也有3种：（剪刀，
石头）（布，剪刀）（石头，布），
所以小颖获胜的概率为 = .因此，这个游戏对三人是公平的.
例题&解析
例题欣赏
?
例2.甲，乙，丙三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由甲将球随机地传给乙，丙两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的接球者随机地传给其他两人中的某一人.
(1)求两次传球后，球恰好在乙手中的概率；
例题&解析
解：画树状图如图3-1-1.由树状图知，
共有4 种等可能的结果，两次传球后，
球恰好在乙手中的结果只有1 种，所
以两次传球后，球恰好在乙手中的概率为????????.
?
(1)求两次传球后，球恰好在乙手中的概率；
例题&解析
(2) 求三次传球后，球恰好在甲手中的概率.
解：画树状图如图3-1-2.由树状
图知，共有8 种等可能的结果，
三次传球后，球恰好在甲手中的
结果有2 种，所以三次传球后，
球恰好在甲手中的概率为 ???????? = ????????.
?
练习&巩固
1.同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是( )
A. ???????? B. ???????? C. ???????? D. ????????
?
D
练习&巩固
2.三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是(　　）
A
3.有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是(　　)
A
练习&巩固
1.本节课你有哪些收获？有何感想？
2.用列表法求概率时应注意什么情况？
用列表法求随机事件发生的理论概率
（也可借用树状图分析）
学会了
明白了
用列表法求概率时应注意各种情况发生的可能性务必相同
懂得了
合作交流的重要性，体会到了一种精神：就是要勇于暴露自己的思想
小结&反思
第2课时
学习&目标
1.能判断某事件的每个结果出现的可能性是否相等.
2.能将不等可能随机事件转化为等可能随机事件,求其发生的概率.（重点、难点）
情境&导入
利用树状图或表格，可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率。
（1）画树状图是列举随机事件的所有可能结果的重要方法，树状图法是将实验中的第一步的结果写在第一层，第二步的结果写在第二层，以此类推……把事件所有可能的结果一一列出，有利于帮助我们分析问题，并且可以避免出现重复或遗漏，既形象直观又条理分明。
情境&导入
（2）列表法也是列举随机事件的所有可能结果的一个重要方法，当一次试验涉及两个步骤时，将其中一个步骤作为行，另一个步骤作为列，列出表格，将事件所有可能的结果列在表格中。
探索&交流
画树状或表格求概率
1—
甲、乙两人掷一枚均匀的骰子,一人一次,在做游戏之前,每人说一个数,如果抛掷的骰子两次朝上的点数之和恰和某人说的一样,那么该人获胜.要想取得胜利你会说哪个数？
探索&交流
小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影，游戏规则如下：
连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上， 则小明获胜；若两枚反面向上，小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜.
你认为这个游戏公平吗？
例题&解析
例题欣赏
?
例1.小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏. 游戏规则如下：
由小明和小颖做“石头、剪刀、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者.

假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？
例题&解析
列表：
小明
小颖
石头
剪刀
布
石头
剪刀
布
（石头、石头）
（剪刀、石头）
（布、石头）
（石头、剪刀）
（剪刀、剪刀）
（布、剪刀）
（石头、布）
（剪刀、布）
（布、布）
你能用列表的方法来解答例1吗？
探索&交流
做一做
小明和小军两人一起做游戏.游戏规则如下：每人从1,2，…，12中任意选择一个数，然后两人各掷一次均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负.如果你是游戏者，你会选择哪个数？
探索&交流
解：经分析可得，掷得的点数之和是哪个数的概率最大，选择这个数后获胜的概率就大.利用列表法列出所有可能出现的结果：
从表格中，能看出和为7出现的次数最多，所以选择7，概率最大！
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
第一次
第二次
例题&解析
例题欣赏
?
例3.如图， 有A，B 两个可以自由转动的均匀转盘，转盘A 被平均分成了4 份，每份分别标上1，2，3，4 四个数；转盘B被平均分成了6 份，每份分别标上1，2，3，4，5，6 六个数，有人为甲、乙两人设计了一个游戏，游戏规则如下：
例题&解析
(1)同时自由转动转盘A 与B.
(2)当转盘停止后，指针各指向一个数(如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一个数为止)，把所指的两个数相乘，若得到的积为偶数，则甲胜；若得到的积为奇数，则乙胜.你认为这样的游戏规则是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一个公平的游戏规则.
例题&解析
解：列表如下．
转盘B
转盘A
1
2
3
4
5
6
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，4)
(1，5)
(1，6)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，4)
(2，5)
(2，6)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，4)
(3，5)
(3，6)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，4)
(4，5)
(4，6)
例题&解析
归纳总结
1.判断游戏公平性的方法：
游戏的公平性是通过比较游戏双方获胜的概率来判的．在条件相同的前提下，若参加游戏的每一方获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平．
2.把不公平的游戏变公平的方法
（1）改变游戏规则，使双方获胜的概率相等。
（2）改变游戏得分，使双方平均每次游戏所得的分数相等。
探索&交流
练习&巩固
1.同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子点数的和是5 的概率是( )
A. ???????????? B. ???????? C. ????????? D. ?????????
?
B
练习&巩固
2.一个箱子中装有红、黄、黑三个小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后不放回，摸出黑色小球为赢，这个游戏(　　)
A．公平 B．不公平
C．先摸者赢的可能性大 D．后摸者赢的可能性大
A
练习&巩固
3.小明和小军做掷骰子游戏，两人各掷一枚质地均匀的骰子。
（1）若两人掷得的点数之和为奇数，则小军获胜，否则小明获胜.这个游戏对双方公平吗？为什么？
（2）若两人掷得的点数之积为奇数，则小军获胜，否则小明获胜.这个游戏对双方公平吗？为什么？
练习&巩固
解：(1)公平，小军获胜和小明获胜的概率相同，均为 ；
(2)不公平. 小军获胜的概率为 ，小明获胜的概率为 ，因此这个游戏对双方不公平.
小结&反思
2.对于游戏不公平的问题，可以利用相应问题中的可能情形改动游戏规则，使修改后游戏是公平的，而修改游戏规则的方式有多种情形，只要合理即可，一般采用使所获得的概率相等达到目的.
1.找全所有可能结果是解题的关键.
第3课时
学习&目标
1.会用树状图或列表法求简单事件发生的概率。
2.能判断某事件的每个结果出现的可能性是否相等。
探索&交流
画树状或表格求“配紫色”概率
1—
小颖为学校联欢会设计一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形.游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出红色，转盘B转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色.
问题：利用画树状图或列表的方法表示游戏所以可能出现的结果.
红
白
黄
蓝
绿
A 盘
B 盘
探索&交流
树状图
画树状图如图所示：
开始
白色
红色
黄色
绿色
A盘
B盘
蓝色
黄色
绿色
蓝色
列表法
黄色
蓝色
绿色
白色
(白，黄)
（白，蓝）
（白，绿）
红色
（红，黄）
（红，蓝）
（红，绿）
B盘
A盘
P（游戏获胜）=
探索&交流
若将A,B盘进行以下修改.其他条件不变，请求出获胜概率？
A盘
红
蓝
B盘
蓝
红
问题1：下面是小颖和小亮的解答过程,两人结果都是 ,你认为谁对?
120°
做一做
探索&交流
小颖制作下图：
开始
蓝色
红色
蓝色
红色
A盘
B盘
蓝色
红色
配成紫色的情况有：（红,蓝），（蓝,红）2种.总共有4种结果.
所以配成紫色的概率P = .
探索&交流
小亮制作下表：小亮将A盘中红色区域等分成2份，分别记“红1”，“红2”
红色
蓝色
蓝色
(蓝，红)
（蓝，红）
红1色
（红1，红）
（红1，蓝）
红2色
（红2，红）
（红2，蓝）
B盘
A盘
红
蓝
120°
红1
红2
配成紫色的情况有：(红1,蓝)，(红2,蓝)，(蓝,红)3种.
所以配成紫色的概率P = .
你认为谁做的对？说说你的理由.
探索&交流
小颖的做法不正确.因为右边的转盘中红色部分和蓝色部分的面积不相同,因而指针落在这两个区域的可能性不同.
小亮的做法是解决这类问题的一种常用方法.
问题2：用树状图和列表的方法求概率时应注意些什么?
用树状图和列表的方法求概率时应注意各种结果出现的可能性务必相同.
例题&解析
例题欣赏
?
例1.一个盒子中有两个红球，两个白球和一个蓝球，这些球除颜色外其它都相同，从中随机摸出一球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一球。求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率.
1
1
2
2
解：现将两个红球分别记作“红1”“红2”，两个白球分别记作“白1”“白2”，然后列表如下.
例题&解析
红1
红2
白1
白2
蓝
红1
（红1,红1）
（红1,红2）
(红1,白1)
（红1,白2）
（红1,蓝）
红2
（红2,红1）
（红2,红2）
(红2,白1)
（红2,白2）
（红2,蓝）
白1
（白1,红1）
（白1,红2）
(白1,白1)
（白1,白2）
（白1,蓝）
白2
（白2,红1）
（白2,红2）
(白2,白1)
（白2,白2）
（白2,蓝）
蓝
（蓝,红1）
（蓝,红2）
(蓝,白1)
（蓝,白2）
（蓝,蓝）
第二次
第一次
总共有25种结果,每种结果出现的可能性相同，而两次摸到的球的颜色能配成紫色的结果有4种即(红1，蓝),(红2，蓝),(蓝，红1),(蓝，红2), P(配成紫色)=
探索&交流
1.对于两步试验(两个条件或两次操作)且可能出现的结果比较多时，用直接列举法易出错，为了不重不漏地列出所有可能的结果，用列表法较好．
2.用列表法求概率的步骤：
（1）列表；
（2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和关注的结果数m的值；
（3）利用概率公式P(A)＝ 计算出事件的概率．
归纳总结
例题&解析
例题欣赏
?
例3:王铮擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，王铮左右为难，最后决定通过掷硬币来决定.游戏规则如下：连续抛掷硬币三次，若两次正面朝上一次反面朝上，则王铮加入足球阵营；若两次反面朝上一次正面朝上，则王铮加入篮球阵营 .
( 1 ) 用画树状图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果；
( 2 ) 这个游戏规则对两个球队是否公平 ? 为什么 ?
例题&解析
解：(1)根据题意画出树状图，如图.
开始
正
反
正
反
第一次
第二次
正
反
第三次
正
反
正
反
正
反
正
反
（2）这个游戏规则对两个球队公平.理由如下：
两次正面朝上一次正面朝下有3种结果:正正反,正反正,反正正;
两次反面朝上一次反面朝下有3种结果:正反反,反正反,反反正.
所以P（王铮去足球队）=P（王铮去篮球队）= .
练习&巩固
1.一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的1 个白球和2 个黑球. 先从袋中摸出一个球后不放回，第二次再从袋中摸出一个球，那么两次都摸到黑球的概率是( )
A. ???????? B. ????????? C. ????????? D. ??????????
?
B
练习&巩固
2.用如图所示的两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是 ．
练习&巩固
3.一个盒子中装有三个红球和两个白球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，求两次摸到相同颜色的球的概率.
两次摸到相同颜色的球的概率为
小结&反思
1.用树状图和列表的方法求概率时应注意各种结果出现的可能性必须相同.
2.“配紫色”游戏体现了概率模型的思想,它启示我们:概率是对随机现象的一种数学描述,它可以帮助我们更好地认识随机现象,并对生活中的一些不确定情况作出自己的决策.