6.2 反比例函数的图象与性质 课件(共41张PPT) 2025-2026学年数学北师大版九年级上册

(共41张PPT)
2 反比例函数的图象与性质
第六章 反比例函数
第1课时
学习&目标
1.会用描点法画出反比例函数的图象,并掌握反比例函数图象的特征.（重点）
2.会利用反比例函数图象解决相关问题.（难点）
情景&导入
1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的定义中需要注意什么？
（1）k 是非零常数.
（2）xy = k．
3．还记得一次函数的图像与性质吗？
一般地，形如 ( k是常数, k ≠0 )的函数叫做反比例函数．
情景&导入
函数 正比例函数
表达式
图象形状
k>0
k<0
位置
增减性
位置
增减性
y=kx(k是常数，k≠0）
直线（经过原点）
一、三象限
从左到右上升
y随x的增大而增大
二、四象限
从左到右下降
y随x的增大而减小
反比例函数
？
探索&交流
反比例函数的图象
1—
你还记得画函数图象的步骤吗？
① 列表；
②描点；
③连线。
探索&交流
问题：如何画反比例函数 的图象？
列表
描点
连线
解：列表如下
应注意
1.自变量x需要取多少值 为什么
2.取值时要注意什么
x -8 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 8
y
-1
-2
-4
-8
8
4
2
1
探索&交流
描点、连线：
x
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
y
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
87654321
探索&交流
注意要点
列表时，选取的自变量的值既要易于计算，又要便于描点，尽量多取一些数值，多描一些点，这样既可以方便连线，又可以使图象精确;
连线时必须用光滑的曲线连接各点，不能用折线连接;
图象是延伸的，注意不要画成有明确端点;
想一想：你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题
探索&交流
做一做
画出反比例函数 y＝－ 的图象．
x -8 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 8
1
2
4
8
-8
-4
-2
-1
1.列表：
以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点.
2.描点：
探索&交流
3.连线：
用光滑的曲线顺次连接各点,就可得到图象.
探索&交流
议一议
（1）观察 和 的图象，它们有什么相同点和不同点
（2）反比例函数 的图象在哪两个象限,由什么确定？
x
y
x
y
双曲线
轴对称图形，也是以原点为对
称中心的中心对称图形．
O
O
探索&交流
相同点：1.两支曲线构成；
2.与坐标轴不相交；
3.图象自身关于原点成中心对称；
4.图象自身是轴对称图形.
不同点： 的图象在第一、三象限；
的图象在第二、四象限.
探索&交流
形状: 反比例函数 的图象由两支曲线组成，因此称反比例函数 的图象为双曲线.
位置：由k决定：
当k>0时,两支曲线分别位于_______________内;
当k<0时,两支曲线分别位于_______________内.
第一、三象限
第二、四象限
探索&交流
双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
例题&解析
例题欣赏

例1.若双曲线y = 的两个分支分别在第一、三象限，则 k 的取值范围是( )
A. k＞ B. k＜
C. k= D.不存在
A
例题&解析
例题欣赏

例2.如图所示的曲线是函数 (m为常数)图象的一支．
(1)求常数m的取值范围；
解：由题意可得，m－5＞0，
解得m＞5.
x
y
O
例题&解析
(2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x的图象在第一象限的交点为A(2，n)，求点A的坐标及反比例函数的解析式．
解：∵两个函数的交点为A(2，n)，
∴ ， 解得 .
∴ 点A的坐标为(2，4)；反比例函数的解析式为 .
x
y
O
练习&巩固
１．已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是______.
练习&巩固
2．函数y＝kx－3与y＝ (k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (　 　)
ABCD
B
练习&巩固
3. 已知反比例函数 (k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3)．
(1)求这个函数的表达式；
解：∵反比例函数 (k为常数，k≠0)的图象经过点 A(2，3)，
∴把点A的坐标代入表达式，得 ，
解得k=6，
∴这个函数的表达式为 ．
练习&巩固
解：∵反比例函数的表达式为　　　，
∴6=xy.
分别把点B，C的坐标代入，
得(－1)×6=－6≠6，
则点B不在该函数图象上；
3×2=6，则点C在该函数图象上．
(2)判断点B(-1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由.
小结&反思
当k＞0时，两支曲线分别位于一、三象限内；
当k＜0时，两支曲线分别位于二、四象限内；
第2课时
学习&目标
1.理解并掌握反比例函数图象的性质;（重点）
2.能利用反比例函数的图象与性质解决问题.（难点）
情景&导入
y随x的增大而增大;
你还记得一次函数的增减性吗
x
y
o
x
y
o
y随x的增大而减小.
b>0
b>0
当k>0时,
当k<0时,
探索&交流
反比例函数的性质
1—
观察反比例函数 的图象，你能发现它们共同的特征吗？
(2)函数图象分别位于哪几个象限？
第一、三象限内
(1)上面三个函数相应的k值分别是________，则k___0.
2,4,6
>
探索&交流
x＜0时，图象在第一象限；x＞0 时，图象在第三象限．
(4)在每一象限内,曲线从左往右______,所以随着x值的增大，y的值怎样变化？
逐渐下降，减小．
(3)当x取什么值时，图象在第一象限？当x取什么值时，图象在第三象限？
探索&交流
议一议
考察当k=－2，－4，－6时，反比例函数 的图象，它们有哪些共同特征？
探索&交流
归 纳
y
x
y
0
反比例函数的增减性
当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小。
当k<0时，在每一支曲线上，y随x的增大而增大。
x
y
0
探索&交流
归纳总结
(1)当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
(2)当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大．
一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质：
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
探索&交流
想一想
Q
在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别做x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别做x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与S2有什么关系？
P
S1
S2
探索&交流
Q
P
S1
S2
设P点坐标为（x1，y1），Q点坐标（x2，y2），
则S1=|x1| |y1|
=|k|
S2=|x2| |y2|
=|k|
S1=S2=|k|
探索&交流
三角形的面积：
如图6-2-3，过双曲线上任意一点E作EF垂直于y轴，垂足为F，连接EO，则S △EOF= ，即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，
所得三角形的面积为.
例题&解析
例题欣赏

例2.如图,过反比例函数 图象上的一点P,作PA⊥x轴于A.若△POA的面积为6,则k= .
y
x
O
P
A
﹣12
例题&解析
例题欣赏

例3.如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数的图象交于A(－4，2)，B(2，n)两点，且与x轴交于点C.(1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；(2)求△AOB的面积；(3)根据图象写出一次函数的值小于反比例
函数的值时x的取值范围．
例题&解析
解：(1)设反比例函数的表达式为y＝ (k≠0).
∵反比例函数的图象经过A(－4，2)，
∴k＝－8，∴反比例函数的表达式为y＝ ＝－ .
∵B(2，n)在y＝－ 上，
∴n＝－ ＝－4，
∴点B的坐标是(2，－4).
把A(－4，2)，B(2，－4)代入y＝ax＋b中，得
∴一次函数的表达为y＝－x－2；
－4a＋b＝2，
2a＋b＝－4，
解得
a＝－1，
b＝－2，
练习&巩固
m<2
练习&巩固
2．已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在函数 的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是 (　 )
A．0＜y1＜y2　　　B．0＜y2＜y1
C．y1＜y2＜0　　　D．y2＜y1＜0
A
练习&巩固
3.如图所示，反比例函数 （k≠0）的图象上有一点A, AB ∥x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的表达式是（ ）
A. B. C. D.
y
x
O
A
B
C
小结&反思
反比例函数的性质
性质
反比例函数图象中比例系数k的几何意义
当k＞0时，在每一象限内，y的值随x
的增大而减小.
当k<0时，在每一象限内，y的值随x
的增大而增大.