12.1 函数学案2025-2026学年数学沪科版（2024）八年级上册

函数与一次函数
12.1 函数
课题1　函数的概念
【学习目标】
1．了解常量、变量的意义，能分清实例中出现的常量、变量与自变量和函数；
2．了解函数的意义，会举出函数的实例，并能写出简单的函数关系式．
【学习重点】
在了解函数、常量、变量的基础上，能指出实例中的常量、变量，并能写出简单的函数关系式．
【学习难点】
对函数意义的正确理解．
情景导入：
用热气球探测高空气象．设热气球从海拔1 800 m处的某地升空，在一段时间内，它匀速上升．它上升过程中到达的海拔高度h m与上升时间t min的关系记录如下表：
t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h/m 1 800 1 830 1 860 1 890 1 920 1 950 1 980 2 010 …
　　看表回答以下问题：
(1)这个问题中，涉及哪几个量？
(2)热气球上升3 min和6 min时到达的海拔高度分别是多少米？
(3)热气球在升空的过程中平均每分钟上升多少米？
知识模块一　变量与常量
阅读教材P24～P25的内容，回答下列问题：
1．问题1中哪些量是数值发生变化的量？哪些是不变的量？什么叫变量？什么叫常量？
答：问题1中，热气球到达的水平高度h是随时间t的变化而变化的，h与t可以取不同的数值，是变量；平均每分钟上升高度为30 m，这个量在运动过程中保持不变，是常量．
2．问题2中变量、常量分别是什么？问题3中变量是什么？
答：问题2中常量是，变量为制动距离s与车速v.问题3中变量是某一时刻用电负荷y与时间t.
典例：(1)寄一封质量在20 g以内的市内平信，需邮资0.8元，则寄x封这样的信所需邮资y元．用含x的式子表示y为________，其中常量为________，变量为________；
(2)某长方形的长为12 m，宽为8 m，把长增加x m，宽增加y m，变为正方形，则y与x的关系式为________，其中常量为________，变量为________.
分析：(1)邮资y＝每封信的邮资·x，即y＝0.8x；(2)变化后的长为12＋x，宽为8＋y，所以有12＋x＝8＋y，即y＝x＋4.
解：(1)y＝0.8x　0.8　x，y
(2)y＝x＋4　4　x，y
仿例：分别指出下列关系式中的变量和常量：
(1)设地面气温是20 ℃，如果高度每升高1 km，气温就下降6 ℃，则气温t(℃)与高度h(km)的关系式是t＝20－6h，其中变量是__t，h__，常量是__20，－6__；
(2)一个长方体盒子的高为30 cm，底面是正方形，这个长方体的体积V(cm3)与底面边长a(cm)的关系式是V＝30a2，其中变量是__V，a__，常量是__30__．
变例：设半径为r的圆的周长为C，则C＝2πr，下列说法错误的是 (B)
A．常量是π和2 B．常量是2
C．用C表示r为r＝ D．变量是C和r
解析：π与2是不变的常量，A正确，故B错误；等式两边同除以2π可知C正确；r是自变量，C是因变量，都是变量，所以D正确，故本题选B.
知识模块二　函数的相关概念
阅读教材P25问题3的内容，回答下列问题：
1．观察问题3中的图象，回答：
(1)这个问题中，有__2__个变量．
(2)给出这天中的某一时刻，如4.5时，20时，这一时刻的用电负荷y GW(×109 W)分别是__10×109_W，16×109_W__．找到的值是唯一确定的吗？
答：唯一确定．
(3)这一天的用电高峰、用电低谷时负荷各是__18×109_W__，__10×109_W__．它们分别是在__13.5时__，__4.5时__达到的．
2．什么是函数？理解函数的定义应注意什么？
在上述三个问题中，每个变化过程都只涉及两个变量，两个变量之间有一种对应关系，当其中一个变量取定一个值时，根据此对应关系就唯一确定了另一个变量的值．
函数：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它允许取值范围内的__每一个值__，y都有__唯一确定__的值与它对应，那么就说y是x的__函数__，其中x是自变量．当x＝a时，y＝b，则b叫作自变量x取a时的函数值．
注意：(1)在一个变化过程中；(2)有两个变量(字母x与y只是代号)；(3)对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应．
范例：写出下列问题中变量间的关系式，并指出式中的常量与变量，自变量与因变量：购买单价是2.5元的圆珠笔，总金额y元与圆珠笔数n支的关系．
解：y＝2.5n，常量2.5，变量y，n，自变量n，因变量y.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　变量与常量
知识模块二　函数的相关概念
见学生用书．
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
课题2　函数
【学习目标】
1．了解函数的表示方法：列表法、解析法，领会它们的联系和区别，进一步理解掌握确定函数关系式，会确定自变量取值范围；
2．学会用不同方法表示函数，会应用综合的思维、思想分析问题．
【学习重点】
进一步掌握确定函数关系的方法以及确定自变量的取值范围．
【学习难点】
确定函数关系．
旧知回顾：
1．什么是常量？什么是变量？什么是函数？
答：热气球到达的水平高度h是随时间t的变化而变化的，h与t可以取不同的数值，是变量；平均每分钟上升高度为30 m，这个量在运动过程中保持不变，是常量．一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数．
2．如何判断两个变量间的函数关系？
答：遵循定义中，对于自变量的每一个确定的值，因变量都有唯一确定值与其对应，则因变量是自变量的函数．
知识模块一　求自变量的取值范围
阅读教材P26～P27的内容，回答下列问题：
1．表示函数关系主要有哪些方法？
答：列表法、解析法、图象法．
2．如何求函数自变量取值范围？
答：(1)要使函数的表达式有意义：①表达式是整式，自变量可取__任意实数__；②表达式是分式，自变量的取值应使分母__有意义__；③表达式是二次根式，自变量的取值应使被开方数__为非负数__．
(2)对于反映实际问题的整数关系，应使实际问题有意义．
范例：求下列函数中自变量x的取值范围：
(1)y＝3x－1；　　(2)y＝2x2＋7；　　(3)y＝；　　(4)y＝.
解：(1)任意实数；
(2)任意实数；
(3)x≠－2；
(4)x≥2.
仿例：若函数y＝有意义，则自变量x的取值范围是__x≥1且x≠2__．
解析：根据题意，得x－1≥0且x－2≠0，解得x≥1且x≠2.故答案为x≥1且x≠2.
知识模块二　在实际问题中求自变量的取值范围
范例：水箱内原有水200 L，7点30分打开水龙头，以2 L/min的速度放水，设经t min时，水箱内存水y L.
(1)求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；
(2)7：55时，水箱内还有多少水？
(3)几点几分水箱内的水恰好放完？
解：(1)y＝200－2t，∵水100 min放完，∴自变量的取值范围为0≤t≤100；
(2)即t＝25，y＝200－2×25＝150，7：55时，水箱内还有150 L水；
(3)当y＝0，即200－2t＝0，t＝100，7：30＋1时40分＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．
仿例：如图，在靠墙(墙长为18 m)的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为35 m.
(1)试写出养鸡场平行于墙的长y(m)与垂直于墙的长x(m)的函数关系式；
(2)求自变量x的取值范围．
解：(1)y＝35－2x；
(2)∵y＝35－2x≤18，∴x≥8.5.
∵35－2x＞0，x＜17.5，∴自变量x的取值范围是8.5≤x＜17.5.
知识模块三　求函数值
范例1：函数y＝，当x＝1时，y＝__3__；当x＝3时，y＝__－3__．
范例2：已知函数y＝，当x＝－4时，y＝__0__．
范例3：如图，根据流程图中的程序，当输出数值y＝5时，输入数值x是 (C)
A.7
B．－3
C．7或－3
D．7或－7
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　求自变量的取值范围
知识模块二　在实际问题中求自变量的取值范围
知识模块三　求函数值
见学生用书．
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
课题3　函数关系的表示法—图象法
【学习目标】
1．学会用列表、描点、连线画函数图象；学会观察、分析函数图象信息；
2．通过画函数图象，观察、分析函数图象信息，提高识图、分析函数图象信息能力．
【学习重点】
函数图象的画法，观察分析图象信息．
【学习难点】
分析概括图象中的信息．
旧知回顾：
1．函数关系有哪几种表示法？
答：解析法、列表法、图象法．
2．右图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．试回答：一天中什么时候温度最高？什么时候温度最低？什么时段温度不断上升？什么时段温度不断下降？
知识模块一　画函数的图象
阅读教材P29的内容，回答下面的问题：
1．什么是函数的图象？由函数表达式画函数图象都有哪些步骤？
答：一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值作为点的__横坐标__与__纵坐标__，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．用图象来表示两个变量间的函数关系的方法，叫作__图象法__．
2．画函数图象的一般步骤是：(1)__列表__；(2)__描点__；(3)__连线__．
范例：有一个水箱，容积为500 L，水箱内原有水200 L．现向水箱内加水，加满后停止加水，若每分钟加水10 L，加水t min后，水箱内的水量为Q L.
(1)写出Q(L)关于t(min)的函数表达式；
(2)求自变量t的取值范围；
(3)画出函数图象．
解：(1)水箱内的水量是在200 L的基础上，再加新注入的水量，因此Q＝200＋10t；
(2)往此水箱内注水最多加＝30(min)，∴0≤t≤30；
(3)列表：
　　　
t/min Q/L
0 200
5 250
10 300
15 350
20 400
25 450
30 500
　　
在平面直角坐标系中描点、连线，得到函数图象如图．
仿例：画出函数y＝x＋2的图象．
(1)判断点(2，－1)是否在函数图象上；
(2)利用图象分析y随x的变化情况；
(3)利用图象观察，当x满足什么条件时，y＝0.
解：图略．(1)不在，当x＝2时，y＝2＋2＝4，4≠－1，
∴点(2，－1)不在函数图象上；
(2)y随x增大而增大；
(3)当x＝－2时，y＝0.
知识模块二　从函数图象中观察信息
阅读教材P30的内容，完成下列问题：
范例：如图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．
根据图象回答下列问题：
(1)菜地离小明家________km，小明走到菜地用了________min；
(2)小明给菜地浇水用了________min；
(3)菜地离玉米地________km，小明从菜地到玉米地用了________min；
(4)小明给玉米地锄草用了________min；
(5)玉米地离小明家________km，小明从玉米地走回家平均速度为________．
解：(1)1.1　15　
(2)10　
(3)0.9　12
(4)18　
(5)2　80 m/min
仿例：甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s(m)与赛跑时间t(s)的关系如图所示，则下列说法正确的是 (B)
A.甲、乙两人的速度相同 B．甲先到达终点
C．乙用的时间短 D．乙比甲跑的路程多
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　画函数的图象
知识模块二　从函数图象中观察信息
见学生用书．
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________