13.3.1 第1课时 三角形的内角和定理 教案 2025-2026学年数学人教版八年级上册

第1课时　三角形的内角和定理
【素养目标】
1．证明三角形内角和定理，体会推理证明的必要性；
2．运用三角形内角和定理分析、解决有关角的问题；
3．通过平行线转移、拼接角，感受数学是刻画现实世界的重要工具．
【教学重点】
三角形内角和定理及应用．
【教学难点】
证明三角形内角和定理．
【教学过程】
任务一：创设情境，导入新课．
与边一样，三角形的角也是构成三角形的元素，接下来我们学习三角形的三个内角之间的关系，并进一步学习三角形的外角．
　
在小学，通过度量或剪拼，我们已经知道：三角形的内角和等于180°，这样的方法获得的结论可靠吗？
由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形．因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于180°.
任务二：证明三角形的内角和等于180°.
1．探究：如图，这是小学得出三角形的内角和的一种剪拼方法．从这个方法中，你能发现证明“三角形的内角和等于180°”的思路吗？请完成证明．
提示：
(1)图中三个角拼成一个平角，得到一条过点A的直线l；
(2)图中直线l与△ABC的边BC有什么关系？为什么？
(3)几何证明，需先画出符合命题的图形，再写出“已知”“求证”，最后证明．
归纳：(1)如上图．
(2)已知：△ABC.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：过点A作直线l，使l∥BC.
∵l∥BC，
∴∠2＝∠4(两直线平行，内错角相等).
同理∠3＝∠5.
∵∠1，∠4，∠5组成平角，
∴∠1＋∠4＋∠5＝180°(平角的定义).
∴∠1＋∠2＋∠3＝180°(等量代换).
即∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.
(3)利用平行线将角转移、拼接．
(4)为了分析、证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅助线．在平面几何里，辅助线通常画成虚线．
2．思考：如图，由这种剪拼方法，你能给出证明“三角形的内角和等于180°”的其他方法吗？
归纳：
(1)如上图；
延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴∠A＝∠1(两直线平行，内错角相等).
∠B＝∠2(两直线平行，同位角相等).
又∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°(平角的定义)，
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代换)．
(2)三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°.
任务三：运用三角形内角和定理求角度．
1．思考：(教材P12例1)如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
提示：
(1)将已知条件标注到图中，方便分析；
(2)∠ADB是△ABD的内角．
归纳：(1)求角的度数，找它所在的三角形，运用三角形的内角和定理．
(2)运用三角形的内角和定理时，指明三角形和180°.
2．思考：(教材P12例2)如图是A，B，C三岛的平面图．C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？
提示：A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角．如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.
解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°.
由AD//BE，得∠BAD＋∠ABE＝180°.
所以∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，
∠ABC＝∠ABE－∠CBE＝100°－40°＝60°.
在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°.
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.
3．思考：上题中，你还有其他方法吗？
任务四：尝试练习，巩固内化．
解答教材P13练习1、2.
任务五：课堂小结，形成体系．
1．反思与交流：
完成今天的学习后，你学到了什么呢？你能解决什么样的问题呢？你还有疑问吗？
2．知识结构：
【布置作业】
教材P16－P17　习题13.3，第1、3、7、9题．
【教学反思】
虽然小学学习了三角形的内角和等于180°，但因为没有经过数学证明，许多老师不建议学生运用，所以本节课学生会感觉收获巨大．
在证明三角形内角和定理的过程中，平行线能“转移角”“拼接角”．借此让学生感受数学是刻画现实世界的重要工具，激发学生学习数学的兴趣．
证明三角形内角和定理还有其他方法，如下图：