13.3.1 第2课时 直角三角形的性质和判定 教案 2025-2026学年数学人教版八年级上册

第2课时　直角三角形的性质和判定
【素养目标】
1．会用“Rt△”表示直角三角形；
2．理解直角三角形的两个锐角互余，能运用它求直角三角形的锐角；
3．理解有两个角互余的三角形是直角三角形，会运用它判定直角三角形；
4．规范描述证明的过程．
【教学重点】
直角三角形的性质和判定．
【教学难点】
在直角三角形中直接运用“两个锐角互余”，避免用三角形内角和定理．
【教学过程】
任务一：创设情境，导入新课．
直角三角形的三个内角和也是180°吗？
作为特殊的三角形，直角三角形的内角有什么特殊关系？
任务二：理解直角三角形的两个锐角互余．
1．思考：直角三角形中，两个锐角有什么关系？证明你的结论．
提示：(1)如果两个角的和等于90°，那么这两个角互余；
(2)几何证明，需先画出符合命题的图形，再写出“已知”“求证”，最后证明．
归纳：
(1)直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如“Rt△ABC”．
(2)证明：直角三角形的两个锐角互余．
已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°.
求证：∠A＋∠B＝90°.
证明：∵Rt△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)，∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°－90°＝90°.
(3)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
(4)推理格式：
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°(直角三角形的两个锐角互余).
2．思考：如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E.比较∠CAE与∠DBE的大小．
提示：
(1)找∠CAE和∠DBE所在的三角形；
(2)在直角三角形中，不再用三角形的内角和，直接用“直角三角形的两个锐角互余”．
解：∵在Rt△AEC中，∠C＝90°，
∴∠CAE＝90°－∠AEC(直角三角形的两个锐角互余).
同理：在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED.
又∵∠AEC＝∠BED(对顶角相等)，
∴∠CAE＝∠DBE(等角的余角相等).
归纳：在直角三角形中，不再用三角形的内角和，直接用“直角三角形的两个锐角互余”．
任务三：理解有两个角互余的三角形是直角三角形．
1．思考：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？证明你的结论．
已知：在△ABC中，∠A＋∠B＝90°.
求证：∠C＝90°.
证明：∵△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)，∠A＋∠B＝90°，
∴∠C＝180°－90°＝90°.
归纳：
(1)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形；
(2)推理格式：
∵△ABC中，∠A＋∠B＝90°.
∴∠C＝90°或△ABC是直角三角形(有两个角互余的三角形是直角三角形).
2．思考：若△ABC中，∠ACD＝∠B，∠ACB＝90°，则CD是△ACB的高吗？为什么？
提示：由∠ACB＝90°推出Rt△ACB中，∠A＋∠B＝90°；
若CD是△ACB的高，则∠CDA＝90°(△CDA是直角三角形).
解：CD是△ACB的高．理由如下：
∵Rt△ACB中，∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°(直角三角形的两个锐角互余).
又∵∠ACD＝∠B，
∴∠A＋∠ACD＝90°(等量代换).
∴△ACD是直角三角形，∠CDA＝90°(有两个角互余的三角形是直角三角形).
∴CD是△ACB的高(三角形的高的定义).
任务四：尝试练习，巩固内化．
解答教材P14练习1、2.
任务五：课堂小结，形成体系．
1．反思与交流：
完成今天的学习后，你学到了什么呢？你能解决什么样的问题呢？你还有疑问吗？
2．知识结构：
【布置作业】
教材P16－P17习题13.3，第4、10题．
【教学反思】
直角三角形是常见的基本图形，它的性质和判定是三角形内角和定理的两个推论，理解这两个定理没有什么难度，难点在于学生在分析、解决有关直角三角形的问题时，不优先用这两个定理，而用三角形的内角和定理．这实际上是一个通病，一是因为“先入为主”的思想，二是不愿意寻找简单的方法，教学中要重视这个问题．