14.2.5 “斜边、直角边” 教案 2025-2026学年数学人教版八年级上册

14.2.5 “斜边、直角边” 教案
【素养目标】
1．根据全等三角形的定义，用“重合”的方式探究“斜边、直角边”的正确性；
2．会运用“斜边、直角边”证明两个直角三角形全等，进而证明线段相等或角相等．
【教学重点】
“斜边、直角边”及应用．
【教学难点】
探究“斜边、直角边”的正确性，选择合适的方法证明直角三角形全等．
【教学过程】
任务一：创设情境，导入新课．
如图，某小区广场的地面上有两个直角三角形图案，每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．
学习“三角形全等的判定”后，小亮想通过测量的方法来判定这两个直角三角形否全等，他会怎么做呢？
根据ASA，AAS可测量对应一边和一锐角；根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角．
小亮没有带量角器，正在发愁．一个年轻的叔叔说，只测量斜边和一条直角边，看它们是否对应相等就可以了．他的话可信吗？
任务二：探究“斜边、直角边”．
1．探究：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C′＝∠C＝90°，A′B′＝AB，C′B′＝CB.这两个三角形全等吗？
提示：
(1)SAS、ASA、AAS、SSS，对满足条件的所有三角形都是适用的，同样也适用于直角三角形；这两个直角三角形符合这些判定方法的条件吗？
(2)这两个直角三角形符合“SSA”，但两边和其中一边的对角分别相等的三角形不一定全等；
(3)它们能完全重合吗？
引导：
因为B′C′＝BC，所以B′C′与BC能重合．当点B′和B、点C′和C重合时，因为∠C′＝∠C＝90°，所以射线CA与C′A′重合；
点A′与点A重合吗？
2．探究：A′在射线CA上什么位置呢？
因为A′B′＝AB，所以A′到B的距离等于AB.A到B的距离等于AB，射线CA上还有其他点到B的距离也等于AB吗？
动画展示：线段CA上的点(点A、C除外)可以吗？
BM＜BN＜BA，线段CA上的点(A、C除外)到点B的距离不等于AB.
同理：线段CA延长线上的点Q到点B的距离也不等于AB.
射线CA上到点B的距离等于AB的点只有点A，所以A′与点A重合．
这样，△ABC和△A′B′C′的三个顶点分别重合，所以△ABC≌△A′B′C′.
归纳：
(1)斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
(2)“斜边、直角边”能判定两个直角三角形全等，推理格式：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
任务三：运用“HL”判定直角三角形全等．
思考：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC＝BD.求证：BC＝AD.
提示：
证明线段相等，证明它们所在的三角形全等；
证明直角三角形全等共有五种方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠C和∠D都是直角．
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC＝AD(全等三角形对应边相等).
归纳：证明直角三角形全等共有五种方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL，它们的“地位”是一样的，HL没有优先权，需根据具体的条件选择合适的方法．
任务四：尝试练习，巩固内化．
解答教材P43练习1、2.
任务五：课堂小结，形成体系．
1．反思与交流：
证明直角三角形全等共有五种方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL，它们的“地位”是一样的，HL没有优先权，你怎样选择合适的方法？
2．知识结构：
【布置作业】
教材P45习题14.2，第11、12、16题．
【教学反思】
根据全等三角形的定义，用“重合”的方式探究“斜边、直角边”的正确性是本课时的难点，方法比较费解，所以将探究分为两步，一是“当点B′和B、点C′和C重合时，射线CA与C′A′重合”；二是“射线CA上到B点的距离等于AB的点只有一个，即点A”．
从SAS、ASA、AAS、SSS、HL中选择合适的方法判定直角三角形全等也是难点．