14.3.1 角的平分线的性质 教案 2025-2026学年数学人教版八年级上册

14.3.1 角的平分线的性质 教案
【素养目标】
1．会用尺规作角的平分线，理解作图原理；
2．探究并证明角的平分线的性质，会运用性质证明垂线段相等；
3．理解证明几何命题的一般步骤；
4．经历对角平分线性质的探究过程，感受在研究图形的关系中应关注特殊情形．
【教学重点】
角的平分线的尺规作图方法，角平分线的性质．
【教学难点】
探究角平分线的作图方法和性质．
【教学过程】
任务一：创设情境，导入新课．
你会画出角的平分线吗？你有哪些方法？用量角器度量，也可用对折．
今天我们研究角平分线上的点的特性，这些特性会提供画角平分线更简洁、更准确的方法．
如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点．我们分别研究PM与PN的数量关系和与角两边的位置关系．
任务二：探究角的平分线的尺规作图方法．
1．探究：如上图，PM与PN相等吗？当OM与ON满足什么关系时，PM＝PN
提示：
∠POM＝∠PON，OP＝OP；
如果OM＝ON，那么△OPM≌△OPN(SAS).
2．思考：如图，反过来，OM＝ON，点P在∠AOB的内部，PM＝PN.
过点P画射线OC，你有什么发现？由此，你能想到如何作一个角的平分线吗？
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线OC.
动画展示作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N；
(2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧(想一想为什么)，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
(3)作射线OC.射线OC即为∠AOB的平分线．
任务三：探究角的平分线的性质．
1．探究：当角平分线上的点与边上点所连线段与边垂直时，会出现什么情况呢？
动手做一做：
(1)画∠AOB；
(2)用尺规作∠AOB的平分线OC；
(3)在OC上任意取点P1，P2，P3，…，在OC上，过点P1，P2，P3，…分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3…….分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3……，你有什么发现？
可以发现，P1D1＝P1E1、P2D2＝P2E2、P3D3＝P3E3，…，由此我们猜想角的平分线有以下性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等．
2．思考：怎样证明我们的猜想“角的平分线上的点到角两边的距离相等”呢？
提示：证明这个猜想，首先要分清其中的“已知”和“求证”．已知为“一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为“这个点到这个角两边的距离相等”．为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证．
如图，已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD＝PE.
证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝∠BOC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
在△PDO和△PEO中，
∴△PDO≌△PEO(AAS).
∴PD＝PE.
归纳：
(1)角的平分线有以下性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等．
它可以证明垂线段相等，推理格式如下：
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE(角的平分线上的点到角两边的距离相等).
(2)证明几何命题的一般步骤：
①明确命题中的已知和求证；
②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
③经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
任务四：尝试练习，巩固内化．
解答教材P50练习1、2.
任务五：课堂小结，形成体系．
1．反思与交流：
完成今天的学习后，你学到了什么呢？你能解决什么样的问题呢？你还有疑问吗？
2．知识结构：
【布置作业】
教材P52－P53习题14.3，第1、5、6、7题．
【教学反思】
本课时内容是全等三角形知识的运用和延续．用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的判定“边边边”和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的判定“角角边”和全等三角形的性质．
角的平分线的性质和全等三角形一样，可以证明线段相等，但要注意只能证“垂线段”相等，在运用的时候，一定要写上两个垂直的条件．