14.3.2 角的平分线的判定 教案 2025-2026学年数学人教版八年级上册

14.3.2 角的平分线的判定 教案
【素养目标】
1．理解角的平分线的判定定理，会根据定理判定一个点是否在一个角的平分线上，从而判定角的平分线或角相等；
2．能区分角的平分线的性质和判定，解决相关问题；
3．通过证明三角形的三条角平分线相交于一点，了解证明三线相交于一点的方法．
【教学重点】
角平分线的判定定理及应用．
【教学难点】
证明三角形的三条角平分线相交于一点．
【教学过程】
任务一：创设情境，导入新课．
三人一组，分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线．比一比，谁又快又准！
怎么比较作图准不准呢？
在第十三章学习三角形的角平分线时，我们就发现任意三角形的三条角平分线都交于三角形内部一点，为什么呢？
任务二：探究角的平分线的判定定理．
1．探究：如图(动画展示)，OC是∠AOB的平分线，OC上任意一点P到角两边的距离相等，即PD＝PE.∠AOB内部有一点Q，它到角两边的距离也相等，即QG⊥OA，QH⊥OB，QG＝QH，则点Q在∠AOB的平分线OC上吗？由此，你能得到什么结论？
归纳：
(1)结论：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上；
(2)上述结论是“角的平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题．
2．思考：你能证明“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”吗？
提示：证明几何命题的一般步骤：
①明确命题中的已知和求证；
②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
③经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD＝PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明：画射线OP.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).
∴∠AOP＝∠BOP(全等三角形的对应角相等).
∴点P在∠AOB的平分线上．
归纳：
(1)角的平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，它与角的平分线的性质定理互为逆定理．
(2)“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，可以证明一个角的平分线，也可以证明两个角相等，推理格式如下：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE.
∴∠AOP＝∠BOP(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上).
任务三：证明三角形的三条角平分线相交于一点．
思考：已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
求证：(1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等；
(2)△ABC的三条角平分线相交于一点．
提示：角平分线到角两边的距离相等；
AP是∠A的平分线吗？
证明：(1)过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，PD⊥AB，PE⊥BC，
∴PD＝PE.
同理，PE＝PF.
∴PD＝PE＝PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
(2)∵PD＝PF，PD⊥AB，PF⊥AC，
∴点P在∠A的平分线上(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)，
∴△ABC的三条角平分线相交于一点．
任务四：尝试练习，巩固内化．
解答教材P51练习1、2.
任务五：课堂小结，形成体系．
1．反思与交流：
完成今天的学习后，你学到了什么呢？你能解决什么样的问题呢？你还有疑问吗？
2．知识结构：
【布置作业】
教材P52－P53习题14.3，第2、3、4、8题．
【教学反思】
本课时仍是全等三角形的运用和延续，也解决了同样的问题：证明两个角相等．本课时从“三角形的三条角平分线相交于一点”出发，探索了角的平分线的判定定理，最后运用该定理证明了“三角形的三条角平分线相交于一点”，在这个过程中，学生应能感受数学的奇妙！它能解释许多数量和图形间的现象，如三角形的三个角能拼成一个平角，三角形的三条角平分线相交于一点……以后一定能解释三角形的“内切圆”．