15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线
【素养目标】
1．理解线段垂直平分线的性质和判定；
2．能运用线段垂直平分线的性质和判定分析、解决相关问题；
3．了解逆命题、逆定理概念，会写出原命题的逆命题并判定真假；
4．通过类比角平分线研究线段的垂直平分线，感受类比是重要的数学方法．
【教学重点】
线段垂直平分线的性质和判定及应用．
【教学难点】
理解逆命题与逆定理的关系．
【教学过程】
任务一：创设情境，导入新课．
你能画出下列轴对称图形的对称轴吗？
轴对称图形的对称轴是连接其任意一对对称点的线段的垂直平分线，为了准确“作”出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质和判定．
任务二：探究线段的垂直平分线的性质．
1．探究：类比研究角的平分线的方法，线段的垂直平分线上的点有什么性质呢？
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…在直线l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？
归纳：
(1)通过测量可以发现，P1A＝P1B，P2A＝P2B，P3A＝P3B，…，如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等；
(2)猜想线段的垂直平分线有以下性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
2．思考：证明“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”．
提示：已知(题设)“线段垂直平分线上的点”，求证(结论)“与这条线段两个端点的距离相等”．
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在直线l上．求证：PA＝PB.
证明：∵直线l⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB.
又AC＝BC，PC＝PC，
∴△PCA≌△PCB(SAS).
∴PA＝PB.
归纳：
(1)线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
(2)线段的垂直平分线的性质定理可以证明线段相等，推理格式如下：
∵PC⊥AB，AC＝CB，
∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等).
任务三：探究线段的垂直平分线的判定．
思考：将线段的垂直平分线的性质定理的题设和结论反过来，得到的命题是什么？它是真命题吗？
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
已知：如图，PA＝PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上．
证明：过点P作PC⊥AB，垂足为C，则∠PCA＝∠PCB＝90°.
在Rt△PCA和Rt△PCB中，
∵PA＝PB，PC＝PC，
∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL).
∴AC＝BC.
又∵PC⊥AB，
∴PC是线段AB的垂直平分线，
即点P在线段AB的垂直平分线上．
归纳：
(1)线段的垂直平分线的判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
(2)线段的垂直平分线的判定定理可以判定一个点是否在线段的垂直平分线上，推理格式如下：
∵PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上(与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).
(3)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合．
任务四：理解逆命题、逆定理．
思考：阅读教材P66下面的“思考”至P67上面的内容，回答下面的问题：
(1)每个命题都有逆命题吗？为什么？
(2)每个定理都有逆定理吗？举例说明．
归纳：
(1)每个命题都有逆命题．交换一个命题的题设和结论，就得到它的逆命题．如“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是“与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”；
(2)原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立；
(3)有些定理没有逆定理．如定理“对顶角相等”的逆命题是假命题，其没有逆定理．
任务五：尝试练习，巩固内化．
解答教材P67练习1、2、3.
任务六：课堂小结，形成体系．
1．反思与交流：
完成今天的学习后，你学到了什么呢？你能解决什么样的问题呢？你还有疑问吗？
2．知识结构：
【布置作业】
教材P70－P71习题15.1，第4、5、6、8、13题．
【教学反思】
轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为准确“作”出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质和判定．
“角平分线”与“线段的垂直平分线”类似度很高，都是研究点与线的关系，性质和判定互为逆定理，都能看成“点的集合”，因此类比角平分线研究线段的垂直平分线是本课时的主要设计思路．
因为“角平分线”与“线段的垂直平分线”的性质和判定互为逆定理，所以新教材把“逆命题、逆定理”安排在了本课时学习．15.1.2 第2课时 “尺规”作对称轴
核心素养目标：
1．能在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点．
2．能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，能表示关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标．
教学重点：
用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．
教学难点：
能根据轴对称点的坐标特点解决问题．
教学过程：
一、创设情境，导入新课
教材P6913.2－3是一张老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？
二、合作探究，交流新知
探究1：关于坐标轴的对称点
(1)在直角坐标系中画出下列已知点A(2，－3)，B(－1，2)，C(－6，5)，D(3，5)，E(4，0)，F(0，－3)；
(2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点，并填写表格；
(3)请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗？
(4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性，说说你是如何检验的．
已知点 A(2，－3) B(－1，2) C(－6，－5) D(3，5) E(4，0) F(0，－3)
关于x轴的对称点 A′(2，3) B′(－1，－2) C′(－6，5) D′(3，－5) E′(4，0) F′(0，3)
关于y轴的对称点 A″(－2，－3) B″(1，2) C″(6，－5) D″(－3，5) E″(－4，0) F″(0，－3)
归纳：关于x轴对称的点的坐标规律是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
关于y轴对称的点的坐标规律是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．
探究2：两次轴对称的坐标
按以上规律，说出点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标，再说出P1关于y轴的对称点P2坐标．
观察点P经过两次轴对称所得点P2的坐标有什么规律？
归纳：一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点坐标规律是：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，在以后学习了“中心对称”后，两点被称为关于原点对称．
三、开放训练，举例分析
【例1】已知点A(a，4－b)与点B(1－b，2a).
(1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
(2)若点A，B关于y轴对称，求a，b的值．
分析：(1)A，B关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标相反；(2)A，B关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标相反．
解：(1)由题意，得解得
(2)由题意，得解得
【例2】如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．
分析：根据关于y轴，x轴对称特点找出对应点坐标，顺次连接即可．
解：如图．
四、课堂检测，落实新知
1．教材P70～71练习第1，2，3题．
2．点P(4，5)关于y轴对称的点的坐标是P′(a，b)，则a－b＝－9．
3．若点M(a，－6)与点N(－3，b)关于x轴对称，则a＝－3，b＝6；若这两点关于y轴对称，则a＝3，b＝－6．
4．由(－4，－3)→(－4，3)经过了x轴作轴对称变换；由(－5，－5)→(－5，－2)经过了向上平移3个单位长度变换．
5．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′(其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法)；
(2)直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′(________)，B′(________)，C′(________)；
(3)求△ABC的面积是多少？
解：(1)如图所示；
(2)(3，2)，(4，－3)，(1，－1)；
(3)△ABC的面积是：3×5－×1×5－×2×3－×2×3＝6.5.
五、课堂小结，回顾新知
1．点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求．
2．点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)，即横坐标互为相反数，纵坐标相等．
六、作业布置与教学反思
1．作业布置
(1)教材P71～72 习题13.2第2，3，4，5，7题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
