15.3.1 第1课时 等腰三角形的性质 教案 2025-2026学年数学人教版八年级上册

15.3.1 第1课时 等腰三角形的性质
【素养目标】
1．会用“尺规”作等腰三角形；
2．探索并证明等腰三角形的性质；
3．能运用等腰三角形的性质证明两个角相等、线段相等、垂直等问题，体验转化思想；
4．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究图形中的作用．
【教学重点】
等腰三角形的性质及应用．
【教学难点】
正确理解、应用“三线合一”．
【教学过程】
任务一：创设情境，导入新课．
生活中有大量的等腰三角形形象，等腰三角形一定有一些重要的特性，会是什么呢？
任务二：探究等腰三角形的性质．
1．思考：你会用“尺规”作等腰三角形吗？
提示：有两边相等的三角形是等腰三角形．动画展示作法：
或
2．探究：将你在纸上画的等腰三角形对折使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角．由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想．
我们发现、猜想：
(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；
(2)等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”)．
3．思考：请证明：
(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；
(2)等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”)．
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.
求证：∠B＝∠C.
证明：作底边BC的中线AD，则BD＝CD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠B＝∠C.
由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰△ABC底边上的中线AD平分顶角∠BAC并垂直于底边BC.
用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边．这也就证明了等腰三角形“三线合一”．
归纳：
(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；
(2)等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”)；
(3)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴．
(4)等腰三角形中，作底边上的“三线”是常用辅助线．
任务三：等腰三角形性质的典型应用．
1．思考：如图，把下列推理过程补充完整．
(1)∵△ABC中，AB＝AC，
∴__________________；
(2)∵△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴______________(三线合一)；
(3)∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴__________________(三线合一)；
(4)∵△ABC中，AB＝AC，____________，
∴AD⊥BC，BD＝CD(三线合一)；
归纳：
(1)“等边对等角”专门证明角相等；
(2)“三线合一”它可以证明线段相等、角相等、垂直．
2．思考：如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，BD＝BC＝AD.求△ABC各角的度数．
提示：三角形中，等边→等角．
解：∵△ABC中AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C(等边对等角).
同理：△ABD中∠A＝∠ABD，△BDC中∠BDC＝∠C.
设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，
∴在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，
∴在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.
任务四：尝试练习，巩固内化．
解答教材P79－P80练习1、2、3.
任务五：课堂小结，形成体系．
1．反思与交流：
完成今天的学习后，你学到了什么呢？你能解决什么样的问题呢？你还有疑问吗？
2．知识结构：
【布置作业】
教材P84－P86习题15.3，第1、3、4、6、8题．
【教学反思】
学生对等腰三角形是比较熟悉的，小学和《三角形》中做过大量的计算，但都关注与等腰三角形有关的数量关系．本课时从图形的角度，利用轴对称和全等三角形研究了它的性质，关注的是等边与等角、等线段、垂直等之间的转化，这些转化才体现出等腰三角形的价值，它将在解决图形的基本问题中大显身手．