15.3.1 第2课时 等腰三角形的判定 教案 2025-2026学年数学人教版八年级上册

15.3.1 第2课时 等腰三角形的判定
【素养目标】
1．理解“等角对等边”，会运用它证明等腰三角形和线段相等，感受转化思想；
2．通过探究“三线合一”的逆定理，理解“已知底边和底边上的高作等腰三角形”的方法和原理；
3．会证明文字叙述的命题．
【教学重点】
“等角对等边”及应用．
【教学难点】
理解“已知底边和底边上的高作等腰三角形”的方法和原理．
【教学过程】
任务一：创设情境，导入新课．
如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A＝∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)
将上面的问题抽象成数学问题，已知：在△ABC中，∠B＝∠C，那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系？
任务二：理解“等角对等边”．
1．思考：已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系？为什么？
过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌ACD.
∴AB＝AC.
由上面的推理过程，可以得到：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
2．思考：“有两个角相等的三角形是等腰三角形”与“等腰三角形的两个底角相等”有什么关系？它可以简写成什么？
互为逆定理．
“有两个角相等的三角形是等腰三角形”简写为“等角对等边”．
归纳：
(1)等腰三角形的判定定理：等角对等边；
(2)“等角对等边”能证明两条线段相等，推理格式如下：
∵△ABC中，∠B＝∠C，
∴AC＝AB(等角对等边)．
3．思考：求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
提示：(1)先画图，写出“已知、求证”．
(2)要证明三角形的两条边相等，根据“等角对等边”，可以先证明这两条边所对的角相等．
已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD∥BC.求证：AB＝AC.
证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.
∵AD平分∠CAE
∴∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC中，AB＝AC(等角对等边)．
任务三：探究“三线合一”的逆定理．
1．探究：“等边对等角”有逆定理“等角对等边”，等腰三角形的另一个重要性质“三线合一”有逆定理吗？“三线合一”有三种用法，我们关注其中的一种．“△ABC中，如果AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，那么AD⊥BC，BD＝CD”，它的逆命题是什么？这个逆命题是真命题吗？
逆命题：△ABC中，如果AD⊥BC，BD＝CD，那么AB＝AC，∠BAD＝∠CAD.
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线．
∴AB＝AC(线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等)
又△ABC中，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD(三线合一)．
归纳：
“△ABC中，如果AD⊥BC，BD＝CD，那么AB＝AC，∠BAD＝∠CAD.”是真命题，
它就是线段的垂直平分线的性质．实际上“三线合一”的三个逆命题都是真命题，即“三线合一”有逆定理．
2．探究：尺规作图：已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．
提示：
(1)假设等腰三角形已经画出，再思考作法；
(2)参考刚刚探究的“三线合一”的逆定理．
动画展示作法：
(1)作线段AB＝a；
(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；
(3)在MN上取一点C，使DC＝h；
(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．
任务四：尝试练习，巩固内化．
解答教材P81练习1、2、3.
任务五：课堂小结，形成体系．
1．反思与交流：
完成今天的学习后，你学到了什么呢？你能解决什么样的问题呢？你还有疑问吗？
2．知识结构：
【布置作业】
教材P84－P86习题15.3，第2、9、15题．
【教学反思】
本课时从“海上救援”问题抽象出“三角形中相等的角所对的边是否相等？”引入，通过证明、研究与“等边对等角”的关系等理解“等角对等边”，它们都是解决图形基本问题的重要方法，也是三角形中等角和等边相互转化的重要依据．为了理解“已知底边和底边上的高作等腰三角形”的方法和原理，专门探究了“三线合一”的逆定理．