15.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 教案 2025-2026学年数学人教版八年级上册

15.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质
【素养目标】
1．探究含30°角的直角三角形的性质；
2．理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算．
【教学重点】
含30°角的直角三角形的性质及应用．
【教学重点】
证明含30°角的直角三角形的性质．
【教学过程】
任务一：创设情境，导入新课．
我们的常用画图工具中，有一个含30°角的直角三角板，它的形状是一个含30°角的直角三角形，它有什么特殊性质呢？
任务二：探究含30°角的直角三角形的性质．
探究：(1)用刻度尺测量含30°角的直角三角板的斜边和短直角边的长，它们有什么关系？
(2)如图15.3－8，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，它们有什么关系？
(3)再画一个含30°角的直角三角形，你得到的结论还成立吗？
通过测量发现：在Rt△ABC中，如果∠A＝30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半．
任务三：证明含30°角的直角三角形的性质．
1．思考：已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，求证：BC＝AB.
分析：
(1)我们擅长证明两条线段相等，怎样把BC＝AB转化成两条线段相等呢？
由BC＝AB得2BC＝AB，构造一条等于2BC的线段，然后证明它等于AB.
将线段BC延长一倍，就可得到2BC.
(2)∠B＝60°，60°是等边三角形的标志．
证明：延长BC到D，使CD＝BC，连接AD.
∵∠C＝90°，CD＝BC，
∴AC垂直平分BD.
∴AB＝AD(线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等).
∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴∠B＝60°.
又AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的三角形是等边三角形).
∴AB＝BD.又BC＝BD.∴BC＝AB.
注意：BC＝AB中，BC是短线段，AB是长线段，“延长BC到D”的方法称作“补短”．
2．思考：你有其他证明方法吗？
提示：(1)前面的方法是“补短线段”构造一个等边三角形，那么可否“截长线段”构造一个等边三角形呢？
(2)在BA上截取BE＝BC试试！
思路：
(1)在BA上截取BE＝BC，连接EC；
(2)证明△BEC是等边三角形，得BC＝CE；
(3)证明△AEC是等腰三角形，得AE＝CE；
(4)AB＝AE＋BE＝2BC，得BC＝AB.
归纳：
(1)如图，“截长、补短”是证明“a＝b＋c”和“a＝b”型关系的常用方法．
(2)定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB(直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半).
任务四：典型应用．
思考：如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，立柱BC，DE要多长？
提示：有30°，找30°角所在的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
解：∵Rt△ABC中，BC⊥AC，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝×7.4＝3.7(m)(直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半).
同理：Rt△ADE中，DE＝AD.
又∵AD＝AB＝3.7(m)，
∴DE＝AD＝1.85(m).
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
任务五：尝试练习，巩固内化．
解答教材P84练习1、2.
任务六：课堂小结，形成体系．
1．反思与交流：
完成今天的学习后，你学到了什么呢？你能解决什么样的问题呢？你还有疑问吗？
2．知识结构：
【布置作业】
教材P84－P86习题15.3，第4、12、14题；P89“活动3”等腰三角形中相等的线段．
【教学反思】
本课时新版教材抛弃了老版教材从两个含30°角的直角三角板拼成等边三角形中发现含30°角的直角三角形的性质的方式，直接探索30°角所对的直角边与斜边的关系，后经过分析得到与等边三角形的联系．这样符合学生的认知顺序、知识的发生和形成过程，梳理知识之间和知识内部的“逻辑”，这是新版教材特别强调的，在探索全等三角形的判定时尤为明显．