第十一章 机械振动
11.1 简谐运动
三维教学目标
1、知识与技能
（1）了解什么是机械振动、简谐运动；
（2）掌握简谐运动的位移图象。
2、过程与方法：正确理解简谐运动图象的物理含义，知道简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线；
3、情感、态度与价值观：通过观察演示实验，概括出机械振动的特征，培养学生的观察、概括能力。
教学重点：使学生掌握简谐运动的回复力特征及相关物理量的变化规律。
教学难点：偏离平衡位置的位移与位移的概念容易混淆；在一次全振动中速度的变化。
教学教具：钢板尺、铁架台、单摆、竖直弹簧振子、皮筋球、气垫弹簧振子、微型气源。
教学过程：
第一节 简谐运动
（一）教学引入
我们学习机械运动的规律，是从简单到复杂：匀速运动、匀变速直线运动、平抛运动、匀速圆周运动，今天学习一种更复杂的运动——简谐运动。
（二）新课教学
1、机械振动
振动是自然界中普遍存在的一种运动形式，请举例说明什么样的运动就是振动？（微风中树枝的颤动、心脏的跳动、钟摆的摆动、声带的振动……这些物体的运动都是振动。）请同学们观察几个振动的实验，注意边看边想：物体振动时有什么特征？
演示实验
（1）一端固定的钢板尺，图1（a）
（2）单摆，图1（b）
（3）弹簧振子，图1（c）（d）
（4）穿在橡皮绳上的塑料球，图1（e）
提问：这些物体的运动各不相同：运动轨迹是直线的、曲线的，运动方向水平的、竖直的，物体各部分运动情况相同的、不同的……它们的运动有什么共同特征？
归纳：物体振动时有一中心位置，物体（或物体的一部分）在中心位置两侧做往复运动，振动是机械振动的简称。
2、简谐运动
简谐运动是一种最简单、最基本的振动，我们以弹簧振子为例学习简谐运动。
（1）弹簧振子
演示实验：气垫弹簧振子的振动
讨论：
第一、滑块的运动是平动，可以看作质点。
第二、弹簧的质量远远小于滑动的质量，可以忽略不计，一个轻质弹簧联接一个质点，弹簧的另一端固定，就构成了一个弹簧振子。
第三、没有气垫时，阻力太大，振子不振动；有了气垫时，阻力很小，振子振动。我们研究在没有阻力的理想条件下弹簧振子的运动。
（2）弹簧振子为什么会振动？
物体做机械振动时，一定受到指向中心位置的力，这个力的作用总能使物体回到中心位置，这个力叫回复力，回复力是根据力的效果命名的，对于弹簧振子，它是弹力。回复力可以是弹力，或其它的力，或几个力的合力，或某个力的分力。在O点，回复力是零，叫振动的平衡位置。
（3）简谐运动的特征
弹簧振子在振动过程中，回复力的大小和方向与振子偏离平衡位置的位移有直接关系。在研究机械振动时，我们把偏离平衡位置的位移简称为位移。
3、简谐运动的位移图象——振动图象
简谐运动的振动图象是一条什么形状的图线呢？简谐运动的位移指的是什么位移？（相对平衡位置的位移）
演示：当弹簧振子振动时，沿垂置于振动方向匀速拉动纸带，毛笔P就在纸带上画出一条振动曲线。
说明：匀速拉动纸带时，纸带移动的距离与时间成正比，纸带拉动一定的距离对应振子振动一定的时间，因此纸带的运动方向可以代表时间轴的方向，纸带运动的距离就可以代表时间。实际应用例子：心电图仪、地震仪。
理论和实验都证明：简谐运动的振动图象都是正弦或余弦曲线。
课件26张PPT。简谐运动要点·疑点·考点课 前 热 身能力·思维·方法延伸·拓展要点·疑点·考点1.机械振动
物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动.
产生条件:受回复力，阻力足够小.要点·疑点·考点2.回复力
使振动物体返回平衡位置的力叫做回复力.回复力时刻指向平衡位置.回复力是以效果命名的力，它是振动物体在振动方向上的合外力，可能是几个力的合力，也可能是某一个力，还可能是某一个力的分力，注意回复力不一定等于合外力.例如单摆的振动.要点·疑点·考点3.简谐运动
物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的力作用下的振动，受力特征：F=-kx，例如：弹簧振子的振动.要点·疑点·考点4.描述简谐运动的物理量
(1)振幅A：标量，反映振动的强弱.
(2)周期T和频率f：描述振动快慢的物理量，其大小由振动系统本身的性质决定，所以也叫固有周期和固有频率，与振幅无关.
(3)位移x：由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，矢量，其最大值等于振幅?
速度、加速度、动量、动能、势能等也可用来描述简谐运动.要点·疑点·考点5.简谐运动的位移x、回复力F、加速度a、速度v、动能Ek、势能Ep的变化特点
(1)凡离开平衡位置的过程，v、Ek均减小，x、F、a、Ep均增大；凡向平衡位置移动时，v、Ek均增大，x、F、a、Ep均减小.
(2)平衡位置两侧的对称点上，x、F、a、v、Ek、Ep的大小均相同.课 前 热 身1.质点在一条直线上做简谐运动的振幅为A，则质点在一次全振动过程中通过的路程为4A.
2.关于简谐运动的回复力，下列说法正确的是(D)
A.可以是恒力
B.可以是方向不变而大小变化的力
C.可以是大小不变而方向改变的力
D.一定是变力课 前 热 身3.关于振动物体的平衡位置，下列说法中正确的是(ABC)
A.位移的起点
B.回复力为0的位置
C.速度最大的位置
D.加速度最大的位置课 前 热 身4.简谐运动的特点是(AC)
A.回复力跟位移成正比且反向
B.速度跟位移成反比且反向
C.加速度跟位移成正比且反向
D.动量跟位移成正比且反向能力·思维·方法【例1】弹簧振子做简谐运动，周期为T，下述正确的是(C)
A.若t时刻和(t+ △t)时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则△t一定等于T的整数倍
B.若t时刻和(t+ △t)时刻振子运动速度的大小相等，方向相反，则△t一定等于T/2的整数倍
C.若△t =T，则在t时刻和(t+ △t)时刻振子运动的加速度一定相等
D.若△t =T/2，则在t时刻和(t+ △t)时刻弹簧的长度一定相等能力·思维·方法【解析】如图7-1-1所示，对选项A，只能说明这两个时刻振子位于同一位置，设为P，并未说明这两个时刻振子的运动方向是否相同， △t可以是振子由P向B再回到P的时间，故认为膖一定等于T的整数倍是错误的.
对选项B，振子两次到P位置时速度大小相等，方向相反，但并不能肯定膖等于△t= T/2的整数倍，选项B也是错误的.能力·思维·方法 在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必相等，选项C是正确的.
相隔T/2的两个时刻，振子位移大小相等，方向相反，其位置可位于P和对称的P′处，在P处弹簧处于伸长状态，在P′处弹簧处压缩状态，弹簧长度并不相等，选项D是错误的.
本题正确答案是C.能力·思维·方法【解题回顾】做简谐运动的弹簧振子的运动具有往复性、对称性和周期性.在同一位置P，位移相同，回复力、加速度、动能、势能也相同，速度的大小相等，但方向可相同，也可相反；P与其对称位置P′两位置比较，质点的位移大小相等、方向相反；回复力、加速度也是大小相等、方向相反；动能、势能对应相等；速度大小相等，方向可能相同，也可能相反；运动时间也有对称性，如振子由O到P的时间tOP与P到O的时间tPO相等.还有tPB=tBP，tP′C=tCP′等.一个做简谐运动的质点，经过时间t=nT(n为正整数)，则质点必回到出发点，而若经过t=(2n+1)T/2(n为正整数)，则质点的末位置必与初位置关于平衡位置对称.能力·思维·方法【例3】质量为m的砝码，悬挂在轻质弹簧的下端.砝码在竖直方向上自由振动.证明：砝码做简谐运动.能力·思维·方法【解析】做简谐运动物体受力特征f=-kx.因而只要证明回复力与位移大小成正比，方向相反就证明了该物体的振动是简谐运动.
设弹簧的劲度系数为k，当砝码在平衡位置时，弹簧伸长x0.此时，mg-kx0=0，即kx0=mg，能力·思维·方法 如图7-1-2中甲所示.当砝码经过任意位置时，受力情况如图7-1-2中乙所示，此时弹簧的伸长量为x0+x，由牛顿第二定律得:mg-k(x0+x)=ma=f，
解得f=-kx.所以砝码的运动为简谐运动.能力·思维·方法【解题回顾】可见判断其振动是要为简谐运动的过程是：首先找出振动的平衡位置，并列出平衡条件；其次是任选一位置设位移x(自变量)，并分析此时受力，找出合力表达式(函数式)，最后与简谐运动定义式对照加以判断?其中任选位置(参量)找出一般规律(函数式)的方法，不单是数学中常用，物理中也常用.能力·思维·方法【例4】如图7-1-3所示，一质量为M的无底木箱，放在水平地面上，一轻质弹簧一端悬于木箱的上边，另一端挂着用细线连接在一起的两物体A和B，mA=mB=m.剪断A、B间的细线后，A正好做简谐运动，则当A振动到最高点时，木箱对地面的压力为mg.能力·思维·方法【解析】本题考查简谐运动的特点及物体受力情况的分析.
剪断细线前A的受力情况：
重力mg，向下；细线拉力T=mg，向下；弹簧对A的弹力F=2mg，向上.
此时弹簧的伸长为
△x=F/k=2mg/k.能力·思维·方法 剪断细线后，A做简谐运动，其平衡位置在弹簧的伸长量为△x ′=mg/k处，最低点(刚剪断细线时的位置)离平衡位置的距离即振幅为mg/k.由简谐运动的特点知最高点离平衡位置的距离也为mg/k，所以最高点的位置恰好在弹簧的原长处.此时弹簧对木箱作用力为0，所以此时木箱对地面的压力为Mg.能力·思维·方法【解题回顾】本题涉及的物体较多，但只要结合它们的运动状态逐个分析、列式，再结合它们之间的关联条件即可求解.对于运动过程或运动状态较多的问题也可采用同样的方法解决.延伸·拓展【例5】如图7-1-4所示，轻弹簧一端固定另一端与物体A相连，A放在光滑平台上，物体B通过轻绳跨过光滑滑轮与A相连，两物体A、B质量均为m=1kg，开始时弹簧被拉长，A、B均处于静止状态，?=60°.图7-1-4延伸·拓展当连接A、B的轻质绳突然断开后，A做周期T=0.89s的简谐运动，且当B落地时，A恰好第一次将弹簧压缩至最短，弹簧的劲度系数k=50 N/m.求：
(1)A在平台上运动的范围；
(2)B原来距地面的高度h.(g取10m/s2)延伸·拓展【解析】(1)系统静止时，物体A的受力如图7-1-5所示，根据物体B受力的平衡条件可得绳子的拉力T=mg，由水平方向物体A受力的平衡可得弹簧此时的弹力f=kA0=T1=Tcos?
图7-1-5延伸·拓展A0=Tcos?/k=mgcos?/k=1×10×cos60°/50=0.1m，
A0即为绳断开后弹簧振子的振幅.
所以物体A在平台上的运动范围是0.2m.
(2)B物体做自由落体运动的时间是弹簧振子振动周期的一半t=T/2，
所以h=1/2gt2=1/2×10×(0.89/2)2=0.99m.
即B物体原来距地面高度为0.99m.延伸·拓展【解题回顾】本题是力学中几个知识点的综合运用，除要求，熟练掌握有关规律及其应用方法外，关键就是找出在题设条件下它们之间的相互联系.
