16.3.1 平方差公式 教案 2025-2026学年数学人教版八年级上册

16.3.1 平方差公式
【素养目标】
1．探究并理解平方差公式；
2．掌握平方差公式的结构和运用条件，熟练地用文字描述公式，运用平方差公式简化相应的乘法运算；
3．理解平方差公式的几何意义，感受数形结合思想.
【教学重点】
平方差公式、运用平方差公式简化运算．
【教学难点】
准确发现符合公式条件的两个数．
【教学过程】
任务一：创设情境，导入新课．
乘法的运算律！还有一个“法宝”——乘法公式！
某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇到相同形式的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果．
任务二：探究(乘法的)平方差公式．
探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
①(x＋1)(x－1)＝____________；
②(m＋2)(m－2)＝____________；
③(2x＋1)(2x－1)＝____________．
提示：右边合并后都是两个数的平方差，左边与这两个数有什么关系呢？
发现：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2.
归纳：
(1)乘法的平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．“平方差”，先平方，再求差．
(2)平方差公式用式子表示：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.平方差公式是(a＋b)(p＋q)中，p＝a，q＝－b的特殊情形．
任务三：运用平方差公式简化乘法运算．
1．运用平方差公式计算：
提示：运用平方差公式，关键是确定两个数；两个数的和、这两个数的差．
动画展示：
归纳：
(1)运用平方差公式，关键是确定两个数．
为方便确定两个数，可以调整括号中数的顺序：把符号相同的项移到括号内的第一项，把符号不同的项移到括号内的第二项．
(2)公式中的两个数，既可以是具体的数或字母，也可以是单项式、多项式；
(3)当两个数是分数、负数、单项式或多项式时要加括号．
2．计算：
(1)(x－1)(x＋1)(x2＋1)；
(2)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)；
(3)102×98.
提示：
(1)符合平方差公式条件的直接用公式；不符合的，按乘法法则进行运算；
(2)有些乘法可以化成符合平方差公式的形式．
解：(1)原式＝(x2－1)(x2＋1)＝(x2)2－12＝x4－1；
(2)原式＝y2－22－(y2＋5y－y－5)＝y2－4－y2－4y＋5＝－4y＋1；
(3)原式＝(100＋2)(100－2)＝1002－22＝9996.
归纳：
(1)只有符合(或能化成)平方差公式条件的乘法，才能运用公式简化运算；
(2)不符合平方差公式条件的乘法，按乘法法则进行运算．
任务四：理解平方差公式的几何意义．
思考：你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
动画展示：
归纳：
用图形的面积解释乘法的平方差公式，让平方差公式有了几何意义．这是“数”与“形”的完美结合，它体现了代数与几何之间的内在联系．“数形结合”是研究数学的重要思想．
任务五：尝试练习，巩固内化．
解答教材P113－P114练习1、2、3.
任务六：课堂小结，形成体系．
1．反思与交流：
完成今天的学习后，你学到了什么呢？你能解决什么样的问题呢？你还有疑问吗？
2．知识结构：
【布置作业】
(1)教材P117—P118习题16.3，第1、8题．
(2)教材P119“活动2”和为定值的两数积的规律．
【教学反思】
从多项式乘法到乘法公式是从一般到特殊的认识过程，乘法公式的应用十分广泛，是本章的重点内容之一．教学时，要强调学生会用语言表述公式，不要只记(a＋b)(a－b)＝a2－b2，语言表述就是对公式结构特征的说明．在运用公式时，不要生搬硬套地说谁是a、谁是b，而是确定“两个数”．
本课时在探究出公式后，没有用图形的面积去验证公式，而是直接运用公式计算，后面设置了活动“了解平方差公式的几何意义”，这样设计可能更符合学生的认知顺序，也升华了对平方差公式的理解．