16.3.2 完全平方公式 教案 2025-2026学年数学人教版八年级上册

16.3.2 第1课时 完全平方公式
【素养目标】
1．利用图形的面积探究完全平方公式，感受数形结合思想；
2．掌握“和的平方”与“差的平方”公式的区别与联系，会用它们简化相应的特殊整式乘法．
【教学重点】
完全平方公式及运用．
【教学难点】
掌握“和的平方”与“差的平方”公式的区别与联系，并准确运用．
【教学过程】
任务一：创设情境，导入新课．
如图，你能用两种方法表示图中的“全面积”吗？
发现：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
这是新的乘法公式吗？
任务二：探究完全平方公式．
1．思考：你能证明(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2吗？用文字语言怎样表述它呢？
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2.
归纳：
(1)和的完全平方公式：两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍．
(2)用式子表示：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，它是多项式乘法(a＋b)(p＋q)中，p＝a，q＝b的特殊情形．
2．探究：如图，试着表示涂色四边形的面积，你有什么新发现？
发现：(a－b)2＝a2－2ab＋b2
(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.
归纳：
(1)差的完全平方公式：两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍．
(2)用式子表示：(a－b)2＝a2－2ab＋b2，它是多项式乘法(a－b)(p＋q)中，p＝a，q＝－b的特殊情形．
3．思考：“和的完全平方公式”与“差的完全平方公式”统称为“完全平方公式”，观察、比较两个公式，说说它们的共同点和区别．
归纳：
(1)完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．
(2)根据以上语言表述，完全平方公式应该这样运用：先求“平方和”(一、三项)，再求积的2倍(第二项).
小结：
(1)熟练用语言表述完全平方公式：
两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍．
两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍．
(2)根据语言表述，先求“平方和”(一、三项)，再求积的2倍(第二项)，自然会区别两个公式．
应用：完成教材P115例38例4.
4．思考：(a＋b)2与a2＋b2相等吗？(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？
(1)(a＋b)2表示a，b两数和的平方，a2＋b2表示a，b两数的平方和．
∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
∴只有当ab＝0时，(a＋b)2＝a2＋b2；
其他情况，(a＋b)2≠a2＋b2；
(2)(a－b)2表示a，b两数差的平方，a2－b2表示a，b两数的平方差．做差比较，(a－b)2－(a2－b2)＝a2－2ab＋b2－a2＋b2＝2b2－2ab，只有当b2－ab＝0时，(a－b)2与a2－b2相等；
其他情况，(a－b)2与a2－b2不相等．
归纳：(a＋b)2与a2＋b2，(a－b)2与a2－b2表示的意义不同，一般不相等，不要混淆．
任务三：运用完全平方公式简化乘法运算．
运用完全平方公式，直接写出下列乘法的积．
动画展示：先求“平方和”(一、三项)，再求积的2倍(第二项)．
p，1和的平方(p＋1)2＝p2＋2×p×1＋12
m，2和的平方(m＋2)2＝m2＋2×m×2＋22
p，1差的平方(p－1)2＝p2－2×p×1＋12
m，2差的平方(m－2)2＝m2－2×m×2＋22
任务四：尝试练习，巩固内化．
解答教材P115－P116练习1、2、3.
任务五：课堂小结，形成体系．
1．反思与交流：
完成今天的学习后，你学到了什么呢？你能解决什么样的问题呢？你还有疑问吗？
2．知识结构：
【布置作业】
教材P117－P118习题16.3，第2、4、7题．
【教学反思】
本课时设计与教材安排有两点不同．一是根据研究平方差公式的几何意义的经验，本课时直接从图形面积探究完全平方公式；二是P115“思考”，只研究其中的(a－b)2与a2－b2是否相等，另两个内容用“添括号”很方便解决，所以移到下一课时．
本课时一直在强调熟练用语言表述完全平方公式，根据语言表述，先求“平方和”(一、三项)，再求积的2倍(第二项)，力图突破区别并运用两个完全平方公式这个难点．
16.3.2 第2课时 多个数的完全平方、平方差运算
【素养目标】
1．理解添括号法则；
2．会适当添括号，创造运用公式的条件，简化多个数的完全平方、平方差运算，体会其中的转化思想．
【教学重点】
添括号法则，简化多个数的完全平方、平方差运算．
【教学难点】
适当添括号，使一些乘法符合运用公式的条件．
【教学过程】
任务一：创设情境，导入新课．
乘法的平方差公式、完全平方公式都是关于两个数的，那就需要把三个数分成两组，这需要添括号．
任务二：添括号．
1．思考：我们学习过“去括号”，根据“去括号法则”得
a＋(b＋c)＝a＋b＋c；
a－(b＋c)＝a－b－c.
将这两个式子反过来，得到
a＋b＋c＝a＋(b＋c)；
a－b－c＝a－(b＋c).
观察左边多项式的各项与括到括号里的项的关系，你发现了添括号的方法吗？请用语言描述它．
归纳：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
2．在等号右边的括号内填上适当的项，并说明理由．
(1)a＋b－c＝a＋(　　)；
(2)a－b＋c＝a－(　　)；
(3)a＋b－c＝a－(　　)；
(4)a＋b＋c＝a－(　　).
归纳：
(1)熟记添括号法则；
(2)添括号时容易出错，可以用“去括号法则”检验．
3．(a＋b)2与(－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？为什么？
提示：
(－a－b)2＝[－(a＋b)]2＝(a＋b)2.
(b－a)2＝[－(a－b)]2＝(a－b)2.
任务三：简化多个数的完全平方、平方差运算．
1．用乘法公式计算：
(1)(a＋b＋c)2；
(2)(a－b＋c－d)2.
提示：把它们转化成“两个数”的完全平方．
(1)(a＋b＋c)2(多个数的完全平方)
＝[(a＋b)＋c]2(添括号，变成两个数的完全平方)
＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2(和的完全平方公式)
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
(2)(a－b＋c－d)2(多个数的完全平方)
＝[(a＋c)－(b＋d)]2(添括号，变成两个数的完全平方)
＝(a＋c)2－2(a＋c)(b＋d)＋(b＋d)2(运用和的完全平方公式)
＝a2＋b2＋c2＋d2－2ab＋2ac－2ad－2bc＋2bd－2cd.
2．运用乘法公式计算：
(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；
(2)(x＋y－m＋n)(x－y＋m＋n).
提示：把多个数分成两组，怎么分呢？
(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)(把相同的数分成一组，放在括号的前部分位置；把相反的数分成一组，放在括号的后部分位置)
＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)](添括号，转化成“两个数”的和与差的积)
＝x2－(2y－3)2(运用平方差公式)
＝x2－4y2＋12y－9；
(2)(x＋y－m＋n)(x－y＋m＋n)
＝(x＋n＋y－m)(x＋n－y＋m)(把相同的数分成一组，放在括号的前部分位置；把相反的数分成一组，放在括号的后部分位置)
＝[(x＋n)＋(y－m)][(x＋n)－(y－m)](添括号，转化成“两个数”的和与差的积)
＝(x＋n)2－(y－m)2(运用平方差公式)
＝x2＋2xn＋n2－y2＋2ym－m2.
任务四：尝试练习，巩固内化．
解答教材P117练习2、3.
任务五：课堂小结，形成体系．
1．反思与交流：
完成今天的学习后，你学到了什么呢？你能解决什么样的问题呢？你还有疑问吗？
2．知识结构：
【布置作业】
教材P117习题16.3，第2、5、6题．
【教学反思】
本课时的知识点是添括号法则，主要目标是简化多个数的完全平方、平方差运算．适当添括号是难点，课时设计中指出一些方法，如多个数的完全平方，把同号的数结合在一起分成两组；多个数的平分差，把相同的数分成一组，放在括号的前部分位置，把相反的数分成一组，放在括号的后部分位置．
本课时计算了三个数、四个数的完全平方，但因为前面没有将“差的平方”统一到“和的平方”，所以没有将两个数的完全平方公式可以推广到多个数．