18.4.1 整数指数幂 教案 2025-2026学年数学人教版八年级上册

18.4.1 整数指数幂
【素养目标】
1．理解负整数指数幂的意义；
2．理解正整数指数幂的性质在整数指数的范围内仍然适用，会计算含负整数指数幂的运算；
3．根据除法转化为乘法，把幂的运算性质归纳为同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方，体会转化思想．
【教学重点】
负整数指数幂的意义，整数指数幂的运算．
【教学难点】
理解与负整数指数幂相关的意义、运算性质等．
【教学过程】
任务一：创设情境，导入新课
幂的符号的演变经历了漫长的时间，a2，a3，a4的一些表示如下图所示．
an这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广，所以沿用至今．
1676年，牛顿提出了一个设想：
“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…，所以我将，，，…写成a-1，a-2，a-3，….”
任务二：探究负整数指数幂的意义．
1．思考：你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数幂am表示什么？
阅读教材P158—P159“思考”中的内容，回答上面的问题．
(1)负整数指数幂的产生．
a5÷a3＝a5-3＝a2；依据：am÷an＝am－n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)．
去掉m＞n，假设能使用，得a3÷a5＝a3-5＝a-2.
(2)a-2＝？
a3÷a5＝＝＝.
∴a-2＝.
(3)根据am÷an＝am－n(a≠0，m，n是正整数)，得a-2＝.
类似地，a-3＝________；a-4＝________．
归纳：
一般地，我们规定：当n是正整数时，
a－n＝(a≠0)
这就是说，a－n(a≠0)是an的倒数．
今后，如无特别说明，本套书中涉及的负整数指数幂的底数均不为0.
2．填空．
(1)2-3＝________，3-2＝________；
(2)(－3)-2＝________，－3-2＝________；
(3)＝10______，＝3______.
提示：
(1)a－n(a≠0)是an的倒数；
(2)＝a－n(a≠0).
任务三：把幂的运算推广到“整数指数幂”．
1．探究：引入负整数指数和0指数后，指数的取值范围就扩充到全体整数．
当m，n是任意整数时，am·an＝am＋n还成立吗？
如：a3·a-5a3+(-5)；
a-3·a-5a(-3)＋(-5)；
a0·a-5a0+(-5).
提示：a3·a-5＝a3·＝＝；
a-3·a-5＝·＝＝；
a0·a-5＝1·＝.
a3+(-5)＝a-2＝；
a(-3)＋(-5)＝a-8＝；
a0+(-5)＝a-5＝a0+(-5).
∴a3·a-5＝a3+(-5)；a-3·a-5＝a-3+(-5)；a0·a-5＝a0+(-5).
归纳：当m，n是任意整数时，am·an＝am＋n仍成立．
2．探究：类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他四个正整数指数幂的运算性质进行尝试，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用？
(1)(am)n＝amn(m，n是正整数)；
(2)(ab)n＝anbn(n是正整数)；
(3)am÷an＝am－n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)；
(4)()n＝(n是正整数)．
如：a-2÷a-5＝÷＝·a5＝a3，a-2-(-5)＝a3，∴a-2÷a-5＝a-2-(-5).
a0÷a-4＝1÷＝a4，a0-(-4)＝a4，∴a0÷a-4＝a0-(-4).
归纳：
(1)
(2)随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，幂的运算推广到了整数指数幂的运算，正整数指数幂的运算性质也推广到整数指数幂的运算性质．
完成教材P160例1.
任务四：归纳幂的运算性质．
探究：数和式的除法都能转化为乘法，能把am÷an转化为am·a－n，把()n转化为(ab-1)n吗？
　am÷an　同底数幂的除法
＝am·
＝am·a－n　同底数幂的乘法
　()n　商的乘方
＝(a·)n
＝(a·b-1)n　积的乘方
归纳：
整数指数幂的运算性质可以归纳为：
(1)aman＝am＋n(m，n是整数)；
(2)(am)n＝amn(m，n是整数)；
(3)(ab)n＝anbn(n是整数).
任务五：尝试练习，巩固内化．
解答教材P161练习1、2.
任务六：课堂小结，形成体系．
1．反思与交流：
完成今天的学习后，你学到了什么呢？你能解决什么样的问题呢？你还有疑问吗？
2．知识结构：
【布置作业】
教材P162－P163习题18.4，第1、2、3、6、7题．
【教学反思】
分式的乘方()n＝(b≠0)实际上是幂的运算性质“商的乘方”，a－n＝(a≠0)中，是分式，所以整数指数幂是分式的延伸和拓展，或者说是分式的补充．幂的指数的扩充与数和式的扩充一样，会解决新的问题，或为计算及解决问题带来方便．