18.5.1 分式方程及其解法 教案 2025-2026学年数学人教版八年级上册

18.5.1 分式方程及其解法
【素养目标】
1．了解分式方程的概念；
2．会用去分母的方法将分式方程转化为整式方程，体会转化思想；
3．理解解分式方程检验的必要性，掌握分式方程的解的检验方法；
4．能较熟练地解分式方程，并归纳出解法的一般步骤．
【教学重点】
分式方程的概念和解法．
【教学难点】
理解解分式方程检验的必要性，养成检验的习惯．
【教学过程】
任务一：创设情境，导入新课．
一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，求江水的流速为多少？
相等关系：以最大航速顺流航行90km所用时间＝以最大航速逆流航行60km所用时间，设江水的流速为v千米/时．
根据相等关系列方程，得＝.
这个方程与以前学习的方程不同，它的分母中含有未知数，像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程．
我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．
任务二：探索解分式方程的基本思路．
思考：如何解分式方程＝呢？
提示：
我们会解分母中没有未知数的整式方程，能把这个分式方程转化为整式方程吗？
如果化去＝中的分母，自然不再是分式方程，而是整式方程了．
类比解一元一次方程－2＝－，两边乘各分母的最小公倍数10，就可以“去分母”的方法，我们在＝的两边乘各分母的最简公分母(30＋v)(30－v)，得90(30－v)＝60(30＋v)，
解得v＝6，
追问：v＝6是原分式方程的解吗？
检验：将v＝6代入原分式方程中，左边＝2.5，右边＝2.5，
因此v＝6是原分式方程的解．
归纳：
解分式方程的基本思路：
任务三：探究分式方程的解的检验方法．
1．思考：运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程，＝你发现了什么问题？
解：方程两边乘最简公分母(x＋5)(x－5)，去分母得整式方程
x＋5＝10.
解得x＝5.
检验：将x＝5代入原分式方程，分母x－5和x2－25的值都为0，所以，x＝5时分式无意义．因此，x＝5虽然是整式方程x＋5＝10的解，但不是分式方程的解．
实际上，这个分式方程无解．
归纳：
去分母得到的整式方程的解可能不是原分式方程的解！所以解分式方程一定要检验！
2．探究：比较解分式方程＝①和＝②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
动画展示：
去分母后所得整式方程的解是分式方程的解．
↑
＝①90(30－v)＝60(30＋v)
去分母后所得整式方程的解不是分式方程的解．
↑
＝②x＋5＝10
归纳：
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解．
任务四：归纳解分式方程的一般步骤．
解答教材P165例1及P166例2，并从中归纳出解分式方程的一般步骤．
归纳：
(1)解分式方程的关键是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母；
(2)得到整式方程的解后，要对其进行检验；
(3)解分式方程的一般过程如下：
任务五：尝试练习，巩固内化．
解答教材P166练习．
任务六：课堂小结，形成体系．
1．反思与交流：
完成今天的学习后，你学到了什么呢？你能解决什么样的问题呢？你还有疑问吗？
2．知识结构：
【布置作业】
教材P169习题18.5，第1、3、4题．
【教学反思】
老版教材把本课时的内容分为两个课时，一是去分母，二是检验和解法的一般步骤，并设置了两个练习，这样安排造成了学生忘记检验的后果．新版教材的安排更合理．
对于去分母化成的整式方程的解可能不是原分式方程的解(增根)的理论原因，新教材是回避的，只是从最简公分母可能等于0的表象让学生理解检验的必要性和得出有效的检验方法．对于因“增根”引起的问题，教材也是回避的，练习、习题和复习题中都没有出现．