1.1 第一课时 菱形的性质 教学课件(共39张PPT)2025-2026学年北师大版九年级数学上册

(共39张PPT)
第一章 特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
情景导入
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
欣赏视频，前面的图片中出现的图形是平行四边形，和视频中菱形一致，那么什么是菱形呢？
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实践探究
探究1：菱形的性质
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢
平行四边形
菱形
邻边相等
思考
归纳总结
定义：
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
(1)菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？
(2)你认为菱形还具有哪些特殊的性质？
思考
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
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活动1
在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:
(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
(2)菱形中有哪些相等的线段？
活动2
归纳总结
通过上面的折纸活动，我们可以发现菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，对称轴互相垂直；它的四条边相等．
探究2
如何推理证明“菱形的四条边相等，对角线互相垂直”这两个性质呢？
A
B
C
O
D
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1) AB = BC = CD =AD；
(2) AC⊥BD；
A
B
C
O
D
思考：(1)菱形是特殊的平行四边形，你能从平行四边形的性质证明菱形的四条边相等吗？
(2)可以利用什么性质来证明AC⊥BD.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴OB = OD （菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，
即AC⊥BD.
A
B
C
O
D
归纳
定理 菱形的四条边相等；
定理 菱形的对角线相互垂直.
探究3：定理的拓展延伸
过对“菱形的对角线互相垂直”的证明过程，你还能发现菱形的对角线有什么性质？
方法提示：由折叠过程或等腰三角形“三线合一”推出菱形对角线的性质．
归纳
菱形的每条对角线平分一组对角．
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相互平分.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
归纳总结
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
应用举例
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长．
例1
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD(菱形的四条边都相等)，AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，
OB＝OD＝ BD＝ ×6＝3(菱形的对角线互相平分)．
在等腰△ABD中，∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝6.
在Rt△AOB中，由勾股定理得OA2＋OB2＝AB2，
∴OA＝ ，∴AC＝2OA＝ .
如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC且交BC的延长线于点E.
求证：DE＝ BE.
例2
【方法指导】连接BD，由四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，易得BD⊥AC，∠DBC＝30°，又由DE∥AC，即可证得DE⊥BD，由30°所对的直角边等于斜边的一半，即可证得DE＝ BE.
A
B
C
D
E
证明：连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BD⊥AC，∠DBE＝30°.
∵DE∥AC，
∴DE⊥BD，即∠BDE＝90°.
∵在Rt△BDE中，∠DBE＝30°，
∴DE＝ BE.
A
B
C
D
E
课堂小结
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
周长=边长的四倍
角
对角线
1.两组对边平行且相等
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分
2.每一条对角线平分一组对角
随堂练习
知识点1　菱形的定义及对称性
1.下列说法正确的是( )
A.两组对边分别相等的四边形是菱形
B.两组对角分别相等的四边形是菱形
C.一组邻边相等的平行四边形是菱形
D.一组对边平行且相等的四边形是菱形
C
2.如图，在菱形OABC中，若点B在x轴上，点A的坐标为(3，5)，则点C的坐标为___________.
(3，－5)
知识点2　菱形的边、角的性质
3.在菱形ABCD 中，若AB＝6，则菱形ABCD 的周长为( )
A.6 B.12
C.24 D.48
C
4.如图，已知菱形ABCD.
(1)若∠B＝70°，则∠BAC的度数是_______；
(2)若AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为______.
55°
10
5.(教材P9习题T1变式)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD.求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
在△ABE和△ADF中，
∵∠AEB＝∠AFD，∠B＝∠D，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴BE＝DF.
知识点3　菱形的对角线的性质
6.如图，四边形ABCD为菱形，下列描述不一定正确的是( )
A.CA平分∠BCD
B.AC，BD互相平分
C.∠AOB＝90°
D.AC＝CD
D
7.【新情境·传统文化】中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.如图，小陶家有一个中国结装饰，可以近似地看作菱形ABCD，测得BD＝16 cm，AC＝12 cm，则此菱形的周长为( )
A.28 cm B.40 cm
C.56 cm D.80 cm
B
8.如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为( )
A. B.1
C. D.
D
[变式](2025·鞍山岫岩月考)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，P是边AB上的一个动点，E，F分别是DP，BP的中点，则线段EF的长为( )
A.2 B.4
C.2 D.2
A
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，A，B两点的坐标分别是(2，2)，(－1，－)，点D在第一象限，则点D的坐标是( )
A.(6，2) B.(8，2)
C.(6，) D.(8，)
B
10.(教材P9习题T3变式)如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )
A. B.6
C. D.12
A
11.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线FE交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF.
(1)求证：AF＝DF；
解：证明：如图，连接BF.
∵EF垂直平分AB，
∴AF＝BF.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠DAF＝∠BAF.
又∵AF＝AF，
∴△DAF≌△BAF(SAS)，
∴DF＝BF，
∴AF＝DF.
11.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线FE交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF.
(2)若∠BAD＝70°，求∠FDC的度数.
解：证明：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝70°，
∴∠DAF＝∠BAD＝35°，
∠ADC＝180°－∠BAD＝110°.
∵AF＝DF，
∴∠ADF＝∠DAF＝35°，
∴∠FDC＝∠ADC－∠ADF＝110°－35°＝75°.
12.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且点E，F不与点B，C，D重合.
(1)求证：不论点E，F在BC，CD上如何滑动，总有BE＝CF.
解：证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠1＋∠EAC＝60°，AB＝AC.
∵△AEF为等边三角形，
∴∠EAF＝∠2＋∠EAC＝60°，
∴BE＝CF.
∴∠1＝∠2.
在△ABE和△ACF中，
∵∠1＝∠2，AB＝AC，∠ABC＝∠ACD，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴BE＝CF.
12.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且点E，F不与点B，C，D重合.
(2)点E，F在BC，CD上滑动的过程中，四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值.
解：证明：四边形AECF的面积不变，
△CEF的周长发生变化.
由(1)，得△ABE≌△ACF，
∴S△ABE＝S△ACF，
∴S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC，是定值.
过点A作AH⊥BC于点H(图略)，则∠AHB＝90°.
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°.
∵∠ABC＝60°，∴∠BAH＝30°.
∵AB＝4，∴BC＝4，BH＝AB＝2，
∴S四边形AECF＝S△ABC＝BC·AH＝BC·
＝4.
∵△CEF的周长为CE＋CF＋EF＝CE＋BE＋
EF＝BC＋EF＝BC＋AE，
由“垂线段最短”可知，当等边三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，
∴△AEF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，△CEF的周长最小，最小值为4＋＝4＋2.