抛物线与面积问题

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抛物线与面积问题
抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题时，要充分利用抛物线和面积的有关知识，重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的线段长或高，从而求解。
例1. 如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0）。点C（0，5）、点D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点。
图1
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积。
解：（1）设抛物线的解析式为
，根据题意得
，解得
∴所求的抛物线的解析式为
（2）∵C点坐标为（0，5），∴OC＝5
令，则，
解得
∴B点坐标为（5，0），OB＝5
∵，
∴顶点M的坐标为（2，9）
过点M作MN⊥AB于点N，
则ON＝2，MN＝9
∴
例2. 如图2，面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上，二次函数的图像过原点、A点和斜边OB的中点M。
图2
（1）求出这个二次函数的解析式和对称轴。
（2）在坐标轴上是否存一点P，使△PMA中PA＝PM，如果存在，写出P点的坐标，如果不存在，说明理由。
解：（1）∵等腰直角△OAB的面积为18，
∴OA＝OB＝6
∵M是斜边OB的中点，
∴
∴点A的坐标为（6，0）
点M的坐标为（3，3）
∵抛物线
∴，解得
∴解析式为，
对称轴为
（2）答：在x轴、y轴上都存在点P，使△PAM中PA＝PM。
①P点在x轴上，且满足PA＝PM时，点P坐标为（3，0）。
②P点在y轴上，且满足PA＝PM时，点P坐标为（0，－3）。
例3. 二次函数的图像一部分如图3，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。
图3
（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由。
（2）设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值。
解：（1）由图象可知：；图象过点（0，1），所以c＝1；图象过点（1，0），则；
当时，应有，则
当代入
得，即
所以，实数a的取值范围为。
（2）此时函数，
要使
，
可求得。
例4. 如图4，在同一直角坐标系内，如果x轴与一次函数的图象以及分别过C（1，0）、D（4，0）两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7。
图4
（1）求K的值；
（2）求过F、C、D三点的抛物线的解析式；
（3）线段CD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿DC的方向移动（点P不重合于点C），过P点作直线PQ⊥CD交EF于Q。当P从点D出发t秒后，求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围。
解：（1）∵点A、B在一次函数的图象上，
∴
且
∵四边形ABDC的面积为7
∴
∴。
（2）由F（0，4），C（1，0），D（4，0）得
（3）∵PD＝1×t＝t
∴OP＝4－t
∴
即。
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