2026年高考数学一轮复习 椭圆（含解析）

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高考数学一轮复习 椭圆
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 江西月考）已知椭圆C的方程为，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 永州三模）已知椭圆E：1，点F（﹣1，0），若直线x+λy﹣1＝0（λ∈R）与椭圆E交于A，B两点，则△ABF的周长为（　　）
A． B．4 C． D．8
3．（2025 保山校级二模）若椭圆C：1（a＞b＞0）的上顶点与右顶点的连线l1垂直于下顶点与右焦点连线l2，则椭圆的离心率e为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025春 东莞市校级月考）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025春 亳州校级期末）已知椭圆的两焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则|PF1|+|PF2|的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
6．（2024秋 潮州期末）若椭圆的离心率为，则a＝（　　）
A． B．4 C． D．2
7．（2025 巧家县校级模拟）已知椭圆C：1，称点P（x0，y0）和直线l：1是椭圆C的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系．当P在椭圆外时，其极线l是椭圆从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）．结合阅读材料回答下面的问题：已知P是直线yx+4上的一个动点，过点P向椭圆C：1引两条切线，切点分别为M，N，直线MN恒过定点T，当时，直线MN的方程为（　　）
A．x+2y﹣4＝0 B．x+2y+4＝0 C．2x﹣y﹣4＝0 D．2x+y﹣4＝0
8．（2025 喀什市模拟）直线过椭圆：1（a＞0，b＞0）的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若3，∠POQ＝120°，则椭圆离心率为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 邵阳模拟）已知P是椭圆上一点，F1、F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是（　　）
A．P点纵坐标为3
B．△F1PF2的周长为
C．
D．△F1PF2的内切圆半径为
（多选）10．（2024秋 枣强县校级期末）椭圆1的焦距为4，则m的值可能是（　　）
A．12 B．10 C．6 D．4
（多选）11．（2024秋 新疆期末）下列说法中正确的是（　　）
A．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段
B．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）两点的距离之和等于点M（5，3）到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）距离相等的点的轨迹是椭圆
（多选）12．（2024秋 保山期末）已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．1≤|PF2|≤3
B．椭圆C上存在点P使得∠F1PF2＝90°
C．若直线l：y＝kx（k≠0）与椭圆C相交于A、B两点，则|AF1|+|BF1|＝4
D．若，则△F1PF2的面积为3
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 崇明区期末）椭圆的两个焦点之间的距离为 　 　 ．
14．（2025春 宝山区校级期末）椭圆9x2+25y2＝225的短轴的长是　 　 ．
15．（2025 湖南模拟）已知椭圆C：上一动点到其两个焦点的距离之和为2m，则m＝ 　 　 ．
16．（2024秋 海南州期末）已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为1.53×108km，1.47×108km，则这个椭圆的离心率为 　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 武功县校级模拟）若一个三角形的三条边均与曲线Γ相切，则称这个三角形是以这三个切点为顶点的三角形的“Γ伴随三角形”．已知椭圆，且Γ1上的点到点的距离的最大值为．
（1）求a1；
（2）若△An+1Bn+1Cn+1是△AnBn n的“Γn伴随三角形”，且An，Bn， n均不与Γn的顶点重合．
（ⅰ）求△AnBn n与△An+1Bn+1Cn+1的面积之比；
（ⅱ）求．
18．（2025 怀宁县校级模拟）已知椭圆，若椭圆的长轴长为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆方程；
（2）若△OPQ面积为，求此时直线PQ的方程；
（3）若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点S（s，0）使得∠PST＝∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．
19．（2024秋 武强县校级期末）设椭圆的左，右焦点是F1，F2，离心率为，上顶点坐标为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，求焦点三角形F1PF2的周长和面积．
20．（2025春 重庆校级月考）已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与C交于不同两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），且满足为坐标原点，则：
①△POQ的面积S△POQ是否为定值？
②椭圆C上是否存在点M（异于点P、Q），满足，如果存在，请判断△PQM的形状；如果不存在，请说明理由．
高考数学一轮复习 椭圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 江西月考）已知椭圆C的方程为，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】直接根据椭圆的简单几何性质计算可得．
【解答】解：由已知得，a2＝2，b2＝1，则c2＝a2﹣b2＝1，
所以C的离心率为．
故选：B．
【点评】本题主要考查求椭圆的离心率，属于基础题．
2．（2025 永州三模）已知椭圆E：1，点F（﹣1，0），若直线x+λy﹣1＝0（λ∈R）与椭圆E交于A，B两点，则△ABF的周长为（　　）
A． B．4 C． D．8
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意，结合椭圆的定义和性质求解即可．
【解答】解：易知a＝2，b，c＝1，
所以椭圆的左焦点F（﹣1，0），右焦点F′（1，0），
因为直线的方程为x+λy﹣1＝0，
即λy+（x﹣1）＝0，
此时直线过点F′（1，0），
则△ABF的周长C＝AF+AF′+BF+BF′＝2a+2a＝4a＝8．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
3．（2025 保山校级二模）若椭圆C：1（a＞b＞0）的上顶点与右顶点的连线l1垂直于下顶点与右焦点连线l2，则椭圆的离心率e为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】利用已知条件，通过斜率乘积为﹣1，转化求解椭圆的离心率即可．
【解答】解：椭圆C：1（a＞b＞0）的上顶点与右顶点的连线l1垂直于下顶点与右焦点连线l2，
可得，所以ac＝b2＝a2﹣c2，
可得e＝1﹣e2，因为e∈（0，1），所以解得e．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
4．（2025春 东莞市校级月考）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，再通过已知条件建立方程即可求解．
【解答】解：∵椭圆C的中心为原点，又右焦点为F（1，0），
∴设椭圆C的方程为，（a＞b＞0），
则a2﹣b2＝c2＝1，又离心率e，c＝1，
∴a＝2，b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3，
∴椭圆C的方程是．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，方程思想，属基础题．
5．（2025春 亳州校级期末）已知椭圆的两焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则|PF1|+|PF2|的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【考点】椭圆的定义．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】根据已知条件求得a，利用椭圆的定义求得正确答案．
【解答】解：由已知得，，由椭圆的定义可得．
故选：D．
【点评】本题主要考查椭圆的定义，属于基础题．
6．（2024秋 潮州期末）若椭圆的离心率为，则a＝（　　）
A． B．4 C． D．2
【考点】由椭圆的离心率求解方程或参数．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用离心率的意义求出a值．
【解答】解：依题意，e，解得a＝2．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
7．（2025 巧家县校级模拟）已知椭圆C：1，称点P（x0，y0）和直线l：1是椭圆C的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系．当P在椭圆外时，其极线l是椭圆从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）．结合阅读材料回答下面的问题：已知P是直线yx+4上的一个动点，过点P向椭圆C：1引两条切线，切点分别为M，N，直线MN恒过定点T，当时，直线MN的方程为（　　）
A．x+2y﹣4＝0 B．x+2y+4＝0 C．2x﹣y﹣4＝0 D．2x+y﹣4＝0
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】A
【分析】根据极点极线的定义，写出极点坐标和极线方程，再利用切点弦和弦中点斜率乘积为定值，得直线MN的方程．
【解答】解：设，则MN的直线方程为：1，
整理得x0（x﹣2y）+16y﹣16＝0，
由.解得，定点T（2，1），
，则T为MN中点，，所以，
，即x+2y﹣4＝0．
故选：A．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，属于简单题．
8．（2025 喀什市模拟）直线过椭圆：1（a＞0，b＞0）的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若3，∠POQ＝120°，则椭圆离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求椭圆的离心率；椭圆与平面向量．
【专题】数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】根据圆的性质求出直线PQ的斜率，再根据A，F的坐标得出直线PQ的斜率，从而得出b，c的关系，进而求出椭圆的离心率．
【解答】解：∵椭圆的焦点在x轴上，∴a＞b＞0，
∴F（﹣c，0），A（0，b），
故直线FA的方程为，即bx﹣cy+bc＝0．
过O作PQ的垂线OM，则M为PQ的中点，
∵∠POQ＝120°，∴∠OPM＝30°，
∴tan30°，
∵，∴F是MQ的中点，
∴直线PQ的斜率k＝tan∠MFO2 ，
∴，不妨令b＝2，c＝3，则a，
∴椭圆的离心率e．
故选：D．
【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 邵阳模拟）已知P是椭圆上一点，F1、F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是（　　）
A．P点纵坐标为3
B．△F1PF2的周长为
C．
D．△F1PF2的内切圆半径为
【考点】椭圆的焦点三角形．
【专题】数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】BCD
【分析】利用三角形的面积公式可判断A选项；利用椭圆的定义可判断B选项；设∠F1PF2＝θ，利用三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系可得出关于sinθ、cosθ的方程，解出cosθ的值，可判断C选项；利用等面积法可判断D选项．
【解答】解：对于A选项，在椭圆中，
∵，b＝2，∴，
∴|F1F2|＝2c＝4，则F1（﹣2，0）、F2（2，0），如图，
设点P（m，n），∴，∴，故选项A错误；
对于B选项，由椭圆的定义可知，
△F1PF2的周长为，故选项B正确；
对于C选项，设∠F1PF2＝θ，，可得|PF1| |PF2|sinθ＝6，
由余弦定理可得
，
所以，
所以，解得，故选项C正确；
对于D选项，设△F1PF2的内切圆半径为r，
则，
∴，故选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查椭圆的焦点三角形，属于中档题．
（多选）10．（2024秋 枣强县校级期末）椭圆1的焦距为4，则m的值可能是（　　）
A．12 B．10 C．6 D．4
【考点】由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】AD
【分析】由椭圆的标准方程中a2＝b2+c2即可求解．
【解答】解：因为椭圆的焦距为2c＝4，则c＝2，
当焦点在y轴上时，0＜m＜8，a2＝8，b2＝m，
由a2＝b2+c2，即8＝m+22，解得m＝4．
当焦点在x轴上时，m＞8，a2＝m，b2＝8，
由a2＝b2+c2，即m＝8+22＝12，解得m＝12；
故m＝4或12．
故选：AD．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，属于基础题．
（多选）11．（2024秋 新疆期末）下列说法中正确的是（　　）
A．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段
B．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）两点的距离之和等于点M（5，3）到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）距离相等的点的轨迹是椭圆
【考点】椭圆的定义．
【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据已知条件，结合椭圆的定义，即可求解．
【解答】解：对于A，∵|F1F2|＝8，
∴平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，故A正确，
对于B，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，故B错误，
对于C，点M（5，3）到F1，F2的距离之和为|F1F2|＝8，其轨迹为椭圆，故C正确，
对于D，轨迹为线段F1F2的垂直平分线，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了椭圆的定义，考查了计算能力，属于基础题．
（多选）12．（2024秋 保山期末）已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．1≤|PF2|≤3
B．椭圆C上存在点P使得∠F1PF2＝90°
C．若直线l：y＝kx（k≠0）与椭圆C相交于A、B两点，则|AF1|+|BF1|＝4
D．若，则△F1PF2的面积为3
【考点】椭圆的焦点三角形；椭圆的焦点弦及焦半径．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】AC
【分析】由焦半径范围公式a﹣c≤|PF2|≤a+c即可求解判断A；求出焦三角中∠F1PF2最大值即可判断B，由对称性得|BF1|＝|AF2|，再结合椭圆定义即可求解判断C，对于D，法一：由椭圆定义结合余弦定理求出|PF1||PF2|即可由面积公式求解求解．
【解答】解：对于A，当点P为椭圆C的左顶点时，|PF2|取得最大值a+c＝3；
当点P为椭圆C的右顶点时，|PF2|取得最小值a﹣c＝1，
则1≤|PF2|≤3，
故A正确；
对于B，记M，N分别为椭圆C的上、下顶点，
则点P与点M或N重合时∠F1PF2最大，
易知|MF1|＝|MF2|＝|F1F2|＝2，△F1MF2为正三角形，
则（∠F1PF2）max＝60°，
所以椭圆C上不存在点P使得∠F1PF2＝90°，
故B错误；
对于C，由椭圆的对称性知，四边形AF1BF2为平行四边形，
所以|BF1|＝|AF2|，
从而由椭圆的定义得|AF1|+|BF1|＝|AF1|+|AF2|＝2a＝4，
故C正确；
对于D，因为|PF1|+|PF2|＝4①，
又在△PF1F2中，，
即△PF1F2中，②，
联立①②得|PF1||PF2|＝4，
则△F1PF2的面积为．
所以D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了直线与椭圆的位置关系，属中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 崇明区期末）椭圆的两个焦点之间的距离为 　2　 ．
【考点】求椭圆的焦点和焦距．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】2．
【分析】确定椭圆焦点坐标，即可求解．
【解答】解：由椭圆方程可知：a2＝4，b2＝3，
所以c2＝a2﹣b2＝1，即c＝1，
所以两个焦点之间的距离为2c＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查椭圆的焦距的求法，属于基础题．
14．（2025春 宝山区校级期末）椭圆9x2+25y2＝225的短轴的长是　6　 ．
【考点】椭圆的长短轴．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】6．
【分析】方程化为椭圆的标准方程，即可得出b，求解即可．
【解答】解：方程9x2+25y2＝225化为标准方程为，
所以b2＝9，故2b＝6，
所以椭圆的短轴的长为6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查椭圆的长短轴，属于基础题．
15．（2025 湖南模拟）已知椭圆C：上一动点到其两个焦点的距离之和为2m，则m＝ 　3　 ．
【考点】根据定义求椭圆的标准方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】3．
【分析】由题意可知椭圆的焦点在x轴上，或在y轴上，结合椭圆的定义列式求出m的值，可得答案．
【解答】解：①若椭圆的焦点在x轴上，则a2＝m＞9，
由椭圆的定义得2a＝2m，
即am，解得m＝1，不符合题意，舍去；
②若椭圆的焦点在y轴上，则0＜m＜9，a2＝9，a＝3，
由椭圆的定义得2a＝2m＝6，解得m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查椭圆的定义与简单几何性质，属于基础题．
16．（2024秋 海南州期末）已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为1.53×108km，1.47×108km，则这个椭圆的离心率为 　0.02　 ．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】0.02．
【分析】由题意，设该椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，结合椭圆的定义以及离心率公式进行求解即可．
【解答】解：设该椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，
因为若地球到太阳的最大距离为1.53×108km，最小距离为1.47×108km，
所以，
解得a＝1.5×108，c＝0.03×108，
则这个椭圆的离心率e0.02．
故答案为：0.02．
【点评】本题考查求椭圆的离心率，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 武功县校级模拟）若一个三角形的三条边均与曲线Γ相切，则称这个三角形是以这三个切点为顶点的三角形的“Γ伴随三角形”．已知椭圆，且Γ1上的点到点的距离的最大值为．
（1）求a1；
（2）若△An+1Bn+1Cn+1是△AnBn n的“Γn伴随三角形”，且An，Bn， n均不与Γn的顶点重合．
（ⅰ）求△AnBn n与△An+1Bn+1Cn+1的面积之比；
（ⅱ）求．
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）a1＝1；
（2）（ⅰ）；
（ⅱ）
【分析】（1）设点P（x0，y0）在曲线上，用两点之间的距离公式和基本不等式即可计算a1＝2的值；
（2）（ⅰ）设点，，，直线Bn+1Cn+1的方程为y＝kx+m，联立方程再通过韦达定理即可求得面积之比；
（ⅱ）由（ⅰ）和点在椭圆Γn及直线Bn+1Cn+1上可得直线Bn+1Cn+1，直线An+1Cn+1和直线AnBn的方程，再通过直线AnBn的方程与椭圆方程联立，韦达定理，得{an}是以a1＝1为首项，4为公比的等比数列即可计算．
【解答】解：（1）设点P（x0，y0）在上，
此时，
因为椭圆Γ1上的点到点的距离的最大值为，
所以点P到点的距离
，
当且仅当时，d取得最大值，最大值为，
此时，
所以a1＝1；
（2）（ⅰ）因为点An，Bn， n均不与Γn的顶点重合，
所以直线Bn+1Cn+1，Cn+1An+1，An+1Bn+1的斜率均存在且不为0，
设直线Bn+1Cn+1，Cn+1An+1，An+1Bn+1与椭圆Γn的切点分别为An，Bn， n，，，，直线Bn+1Cn+1的方程为y＝kx+m，
联立，消去y并整理得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4an＝0，
此时，
所以，
同理得，
所以，
即点An是线段Bn+1Cn+1的中点，
同理得点Bn， n分别是线段Cn+1An+1，An+1Bn+1的中点，
所以△AnBn n与△An+1Bn+1Cn+1的面积之比为；
（ⅱ）由（ⅰ）知，
即，
因为点在椭圆Γn及直线Bn+1Cn+1上，
所以，
整理得，
即，
所以直线Bn+1Cn+1的方程为，
即，
同理得直线An+1Cn+1的方程为，
所以，，
所以直线AnBn的方程为，
即，
联立，消去y并整理得，
由韦达定理得，
所以
，
由（ⅰ）知，，
同理得，
所以，
解得或，
因为Γn与Γn+1不重合，
所以，
则{an}是以a1＝1为首项，4为公比的等比数列．
故．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
18．（2025 怀宁县校级模拟）已知椭圆，若椭圆的长轴长为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆方程；
（2）若△OPQ面积为，求此时直线PQ的方程；
（3）若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点S（s，0）使得∠PST＝∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）存在，．
【分析】（1）由长轴长求出a，将代入椭圆方程求出a，b，得到答案；
（2）根据题意设直线，与椭圆方程联立可得y1+y2，y1y2，由，代入运算化简求解；
（3）根据题意有kPS+kQS＝0，转化为，由第二问韦达定理代入运算得解．
【解答】解：（1）因为椭圆的长轴长为4且经过点，
所以2a＝4，，
解得a＝2，b2＝2，
则椭圆C的方程为；
（2）易知直线PQ的斜率不为0，且直线PQ与椭圆必相交，
设直线，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，消去x并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
若△OPQ面积为，
此时，
解得m＝±1，
所以直线PQ的方程为或；
（3）在x轴上存在点使得∠PST＝∠QST，理由如下：
因为∠PST＝∠QST，
所以kPS+kQS＝0，
即，
可得，
所以且m≠0，
解得．
故在x轴上存在点，使得∠PST＝∠QST．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19．（2024秋 武强县校级期末）设椭圆的左，右焦点是F1，F2，离心率为，上顶点坐标为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，求焦点三角形F1PF2的周长和面积．
【考点】椭圆的焦点三角形；根据椭圆的几何特征求标准方程．
【专题】应用题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解；新定义类．
【答案】（1）；
（2），．
【分析】（1）由椭圆的上顶点坐标求得b，由离心率及椭圆中a，b，c的关系可求得b，从而得椭圆的方程；
（2）根据椭圆的定义得|PF1|+|PF2|＝2a及焦距长|F1F2|可得，由|PF1|+|PF2|＝2a平方及余弦定理解焦点三角形，得|PF1| |PF2|，再结合三角形面积公式求得．
【解答】解：（1）由题意：离心率为，上顶点坐标为．
知，解得a＝3，
∴椭圆的方程为．
（2）由（1）知，∴，
又∵P为椭圆上一点，∴|PF1|+|PF2|＝2a＝6，
∴焦点三角形F1PF2的周长．
在△F1PF2中，由余弦定理，得，
即 ①，
由|PF1|+|PF2|＝6平方，得 ②，
②﹣①，整理得|PF1| |PF2|＝8，
所以三角形F1PF2的面积．
【点评】本题考查椭圆的焦点三角形，属于中等题．
20．（2025春 重庆校级月考）已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与C交于不同两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），且满足为坐标原点，则：
①△POQ的面积S△POQ是否为定值？
②椭圆C上是否存在点M（异于点P、Q），满足，如果存在，请判断△PQM的形状；如果不存在，请说明理由．
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）①答案见解析；
②不存在，理由见解析．
【分析】（1）根据点在椭圆上及椭圆的离心率即可得椭圆方程；
（2）直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝kx+m，且m≠0，联立直线与椭圆得交点坐标关系，根据，k，m关系；①确定原点到直线的距离d，根据面积公式求解即可判断S△POQ是否为定值；②若，则O为△PQM的重心，且3+4k2＝2m2，由重心坐标公式判断即可．
【解答】解：（1）因为椭圆C的离心率为，且过点，
所以，
解得，
则椭圆C的方程为；
（2）①若直线l与C交于不同两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），
当直线l的斜率不存在时，
此时x1＝x2，y1＝﹣y2，
因为，
所以，，
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝kx+m（m≠0），
联立，消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
此时Δ＞0，
解得3+4k2＞m2，
由韦达定理得，
因为，
所以，
整理得（4k2﹣3）（4k2+3﹣2m2）＝0，
解得或3+4k2＝2m2；
当直线l的斜率不存在时，，
当直线l的斜率存在时，
易知点O到直线l的距离，
所以
，
若，
此时不是定值；
若3+4k2＝2m2，
此时为定值；
②设M（x0，y0），
因为点M在椭圆上，
所以，
因为，
所以点O到三边的距离等于对应边上的高长的，
则O为△PQM的重心，
此时，
由（2）知3+4k2＝2m2，
则，
，
即，
所以，
又3+4k2＝2m2，
此时联立无解，
所以不存在点M使得条件成立．
故椭圆C上不存在点M，满足．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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