2026年高考数学一轮复习 一、二次函数及方程、不等式（含解析）

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高考数学一轮复习 一、二次函数及方程、不等式
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 灌南县期末）不等式（x+1）（x+3）＞0的解集为（　　）
A．{x|x＜﹣1} B．{x|x＞﹣1或x＜﹣3}
C．{x|x＞﹣3} D．{x|﹣3＜x＜﹣1}
2．（2026 贵州模拟）已知x∈R，则“（x﹣1）（x﹣2）＜0”是“方程|x﹣1|+|x﹣2|＝1”的（　　）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2025 九龙坡区校级一模）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|y＝lnx}，则A∪B＝（　　）
A．（0，2] B．[﹣1，+∞） C．（0，2） D．[﹣1，2]
4．（2025春 浙江期中）设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B＝（　　）
A．[﹣1，4] B．[﹣1，0] C．[0，3] D．[3，4]
5．（2025 日照模拟）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2}
C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1}
6．（2025春 秦淮区校级期末）设函数f（x）＝x2+2（4﹣a）x+2在区间（﹣∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣7 B．a≥7 C．a≥3 D．a≤﹣7
7．（2025春 杭州期末）已知集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，B＝[﹣2，0]，则A∩B＝（　　）
A．（﹣2，0] B．[﹣1，0] C．{﹣1，0} D．{﹣2，﹣1}
8．（2025 湖南模拟）不等式（x）（x）＞0的解集为（　　）
A．{x|x} B．{x|x}
C．{x|x} D．{x|x或x}
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 余姚市校级模拟）关于x的一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为（﹣1，），则下列成立的是（　　）
A．a2+b2＝5 B．a+b＝﹣3 C．ab＝﹣2 D．2
（多选）10．（2024秋 拱墅区校级期末）对 x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[﹣2.7]＝﹣3，我们把y＝[x]，x∈R叫做取整函数，也称为高斯函数．以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（　　）
A． x，y∈R，[x﹣y]＜[x]﹣[y]
B． x，y∈R，若[x]＝[y]，则x﹣y＜1
C． x∈R，[|x|]＝|[x]|
D．不等式2[x]2﹣[x]﹣3≥0的解集为（﹣∞，0）∪[2，+∞）
（多选）11．（2024秋 昆明期末）下列说法正确的是（　　）
A．若，则a＞b
B．“x＞0”是“x2＞0”的充要条件
C．命题p： x∈R，使得x2+2x+3＜0，则￢p： x∈R，x2+2x+3＞0
D．函数f（x）＝﹣x2的单调增区间为（﹣∞，0]
（多选）12．（2024秋 宁远县校级期末）已知a为常数，则关于x的不等式（x﹣a）（x﹣1）＜0的解集可能是（　　）
A．（1，a） B．（a，1） C． D．R
三．填空题（共4小题）
13．（2025 甘肃校级三模）定义：[M（x）＞0]表示不等式M（x）＞0的整数解，已知M1（x）＝|x﹣1|﹣3，M2（x）＝﹣2x2﹣（2a+7）x﹣7a，若[M1（x）＞0]与[M2（x）＞0]有唯一公共解﹣3，则实数a的取值范围是 　 　 ．
14．（2025春 浦东新区校级期末）已知关于x的不等式x2﹣2ax+1＞0的解集为R，则实数a的取值范围是 　 　 ．
15．（2025 杨浦区校级模拟）ax+b＜0的解集为（﹣∞，﹣1），则（ax﹣b）（x+2）＜0的解集为 　 　 ．
16．（2025 青浦区校级模拟）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x3﹣3x≤1}，则A∩B＝　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 浦东新区校级期末）已知方程的两根为m与n．求下列各式的值：
（1）m2n+mn2；
（2）．
18．（2025春 无锡期末）已知关于x的一元二次不等式mx2+nx﹣3＞0的解集．
（1）求实数m，n的值；
（2）集合B＝{x|log2（x﹣a）＞﹣1}，且“x∈ RA”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．
19．（2024秋 袁州区校级期末）已知集合A＝{x|x＜﹣2或x＞3}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m+3}，m∈R，C＝{x|x2+4x+3≤0，x∈Z}．
（1）求A∩C；
（2）若A∩B＝ ，求实数m的取值范围．
20．（2024秋 内蒙古校级期末）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|a﹣3＜x＜a+5}．
（1）当a＝3时，求A∪B；
（2）若A∩B＝ ，求a的取值范围．
高考数学一轮复习 一、二次函数及方程、不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 灌南县期末）不等式（x+1）（x+3）＞0的解集为（　　）
A．{x|x＜﹣1} B．{x|x＞﹣1或x＜﹣3}
C．{x|x＞﹣3} D．{x|﹣3＜x＜﹣1}
【考点】解一元二次不等式．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】由题可得不等式解集．
【解答】解：由（x+1）（x﹣3）＞0，得x＞﹣1或x＜﹣3．
则解集为{x|x＞﹣1或x＜﹣3}．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次不等式的求解，属于基础题．
2．（2026 贵州模拟）已知x∈R，则“（x﹣1）（x﹣2）＜0”是“方程|x﹣1|+|x﹣2|＝1”的（　　）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】解一元二次不等式；充分不必要条件的判断．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】求出不等式及方程的解集，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得．
【解答】解：|x﹣1|+|x﹣2|≥|x﹣1﹣（x﹣2）|＝1，
当且仅当（x﹣1）（x﹣2）≤0，即1≤x≤2时取等号，因此方程|x﹣1|+|x﹣2|＝1的解集为[1，2]，
不等式（x﹣1）（x﹣2）＜0解集为（1，2），
又（1，2）是[1，2]的真子集，所以“（x﹣1）（x﹣2）＜0”是“方程|x﹣1|+|x﹣2|＝1”的充分不必要条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式及方程的解集，属于基础题．
3．（2025 九龙坡区校级一模）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|y＝lnx}，则A∪B＝（　　）
A．（0，2] B．[﹣1，+∞） C．（0，2） D．[﹣1，2]
【考点】解一元二次不等式；求集合的并集．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式的求解以及对数函数的定义域化简两个集合，即可由并集的定义求解．
【解答】解：由A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|y＝lnx}＝{x|x＞0}，
故A∪B＝[﹣1，+∞）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合并集运算，属于基础题．
4．（2025春 浙江期中）设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B＝（　　）
A．[﹣1，4] B．[﹣1，0] C．[0，3] D．[3，4]
【考点】解一元二次不等式；求集合的交集．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，
则A∩B＝[0，3]．
故选：C．
【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题．
5．（2025 日照模拟）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2}
C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1}
【考点】解一元二次不等式；求集合的交集．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】B
【分析】结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
则A∩B＝{0，1，2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题．
6．（2025春 秦淮区校级期末）设函数f（x）＝x2+2（4﹣a）x+2在区间（﹣∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣7 B．a≥7 C．a≥3 D．a≤﹣7
【考点】二次函数的性质与图象．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】由已知结合二次函数的性质即可求解．
【解答】解：∵f（x）＝x2+2（4﹣a）x+2在区间（﹣∞，3]上是减函数，对称轴x＝a﹣4，
∴a﹣4≥3即a≥7．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数性质的简单应用，属于基础试题．
7．（2025春 杭州期末）已知集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，B＝[﹣2，0]，则A∩B＝（　　）
A．（﹣2，0] B．[﹣1，0] C．{﹣1，0} D．{﹣2，﹣1}
【考点】解一元二次不等式；求集合的交集．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】A
【分析】结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝[﹣2，0]，
则A∩B＝（﹣2，0]．
故选：A．
【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题．
8．（2025 湖南模拟）不等式（x）（x）＞0的解集为（　　）
A．{x|x} B．{x|x}
C．{x|x} D．{x|x或x}
【考点】一元二次不等式及其应用．
【专题】不等式的解法及应用．
【答案】A
【分析】把不等式（x）（x）＞0化为（x）（x）＜0，求出它的解集即可．
【解答】解：不等式（x）（x）＞0可化为
（x）（x）＜0；
解得x；
∴原不等式的解集为{x|x}．
故选：A．
【点评】本题考查了求一元二次不等式的解集问题，解题时应根据解一元二次不等式的基本步骤，进行解答即可，是容易题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 余姚市校级模拟）关于x的一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为（﹣1，），则下列成立的是（　　）
A．a2+b2＝5 B．a+b＝﹣3 C．ab＝﹣2 D．2
【考点】一元二次不等式及其应用．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由题意可得﹣1，是方程ax2+bx+1＝0的解，由韦达定理可得a，b的值，进而可得正确的结论．
【解答】解：由题意可得﹣1，是方程ax2+bx+1＝0的解，
可得﹣1，﹣1，可得a﹣2b＝0，即a＝2b，且a＝﹣2，
所以可得b＝﹣1，
可得ABD正确，C不正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查不等式与方程之间的转化，属于基础题．
（多选）10．（2024秋 拱墅区校级期末）对 x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[﹣2.7]＝﹣3，我们把y＝[x]，x∈R叫做取整函数，也称为高斯函数．以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（　　）
A． x，y∈R，[x﹣y]＜[x]﹣[y]
B． x，y∈R，若[x]＝[y]，则x﹣y＜1
C． x∈R，[|x|]＝|[x]|
D．不等式2[x]2﹣[x]﹣3≥0的解集为（﹣∞，0）∪[2，+∞）
【考点】解一元二次不等式．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据取整函数的定义结合举反例，一元二次不等式的解法对选项逐一分析即可．
【解答】解：对 x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，
则[2﹣1.1]＝[0.9]＝0，[2]﹣[1.1]＝2﹣1＝1，0＜1，所以A为真命题；
因为[x]＝[y]，
所以x，y∈[n，n+1），n∈Z，
所以x﹣y＜1，B为真命题；
[|﹣2.5|]＝[2.5]＝2，|[﹣2.5]|＝|3|＝3，所以C为假命题；
解不等式2[x]2﹣[x]﹣3≥0，
得[x]≤﹣1或，
所以不等式的解集为（﹣∞，0）∪[2，+∞），D为真命题．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查取值函数的应用，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．
（多选）11．（2024秋 昆明期末）下列说法正确的是（　　）
A．若，则a＞b
B．“x＞0”是“x2＞0”的充要条件
C．命题p： x∈R，使得x2+2x+3＜0，则￢p： x∈R，x2+2x+3＞0
D．函数f（x）＝﹣x2的单调增区间为（﹣∞，0]
【考点】二次函数的单调性与单调区间；充分条件必要条件的判断；求存在量词命题的否定；等式与不等式的性质．
【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑思维．
【答案】AD
【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用集合的包含关系结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用存在量词命题的否定可判断C选项；利用二次函数的单调性可判断D选项．
【解答】解：对于A选项，若，则c2＞0，由不等式的基本性质可得a＞b，A对；
对于B选项，由x2＞0可得x≠0，
因为{x|x＞0}是{x|x≠0}的真子集，故“x＞0”是“x2＞0”充分不必要条件，B错；
对于C选项，命题p为特称命题，该命题的否定为￢p： x∈R，x2+2x+3≥0，C错；
对于D选项，由二次函数的图像与性质，函数f（x）＝﹣x2的单调增区间为（﹣∞，0]，D对．
故选：AD．
【点评】本题主要考查简易逻辑与函数性质、不等式性质的综合，属于基础题．
（多选）12．（2024秋 宁远县校级期末）已知a为常数，则关于x的不等式（x﹣a）（x﹣1）＜0的解集可能是（　　）
A．（1，a） B．（a，1） C． D．R
【考点】解一元二次不等式．
【专题】分类讨论；定义法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】讨论a与1的大小，即可得出不等式的解集．
【解答】解：a＝1时，不等式为（x﹣1）2＜0，解集 ，选项C正确；
a＞1时，不等式的解集为（1，a），选项A正确；
a＜1时，不等式的解集为（a，1），选项B正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 甘肃校级三模）定义：[M（x）＞0]表示不等式M（x）＞0的整数解，已知M1（x）＝|x﹣1|﹣3，M2（x）＝﹣2x2﹣（2a+7）x﹣7a，若[M1（x）＞0]与[M2（x）＞0]有唯一公共解﹣3，则实数a的取值范围是 　[﹣5，3）　 ．
【考点】二次函数的性质与图象．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解；新定义类．
【答案】[﹣5，3）．
【分析】根据新定义及绝对值不等式的解法求解[M1（x）＞0]，根据新定义及一元二次不等式的解法求解[M2（x）＞0]，根据唯一公共解列不等式组求解即可．
【解答】解：根据定义[M1（x）＞0]得M1（x）＝|x﹣1|﹣3＞0，所以x﹣1＞3或x﹣1＜﹣3，即x＞4或x＜﹣2，
即M1（x）＞0的整数解为x＞4或x＜﹣2内的整数，
[M2（x）＞0]得，
所以（2x+7）（x+a）＜0，由题意满足（2x+7）（x+a）＜0，所以﹣a＞﹣3，
所以（2x+7）（x+a）＜0的解为﹣3.5＜x＜﹣a，
M2（x）＞0的整数解为﹣3.5＜x＜﹣a内的整数，
因为[M1（x）＞0]与[M2（x）＞0]有唯一公共解﹣3，所以，所以﹣5≤a＜3，
即实数a的取值范围是[﹣5，3）．
故答案为：[﹣5，3）
【点评】本题考查新定义与不等式综合运用，属于基础题．
14．（2025春 浦东新区校级期末）已知关于x的不等式x2﹣2ax+1＞0的解集为R，则实数a的取值范围是 　（﹣1，1）　 ．
【考点】解一元二次不等式．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（﹣1，1）．
【分析】根据一元二次不等式的解集列不等式即可求解．
【解答】解：因为关于x的不等式x2﹣2ax+1＞0的解集为R，
所以Δ＝4a2﹣4＜0，
解得﹣1＜a＜1．
故答案为：（﹣1，1）．
【点评】本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于基础题．
15．（2025 杨浦区校级模拟）ax+b＜0的解集为（﹣∞，﹣1），则（ax﹣b）（x+2）＜0的解集为 　（﹣2，1）　 ．
【考点】解一元二次不等式．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（﹣2，1）．
【分析】根据不等式 ax+b＜0 的解集为 （﹣∞，﹣1），算出b＝a且a＞0，代入题中的一元二次不等式，进而求出答案．
【解答】解：根据不等式 ax+b＜0 的解集为 （﹣∞，﹣1），可得，
代入题中一元二次不等式，可得（ax﹣a）（x+2）＜0，即a（x﹣1）（x+2）＜0，
结合a＞0，化简得（x﹣1）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜1，不等式的解集为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题主要考查不等式的性质、一元二次不等式的解法等知识，属于基础题．
16．（2025 青浦区校级模拟）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x3﹣3x≤1}，则A∩B＝　{0，1}　 ．
【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】{0，1}．
【分析】由已知结合集合交集运算即可求解．
【解答】解：因为集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x3﹣3x≤1}，
则A∩B＝{0，1}．
故答案为：{0，1}．
【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 浦东新区校级期末）已知方程的两根为m与n．求下列各式的值：
（1）m2n+mn2；
（2）．
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】由一元二次方程韦达定理求出m+n，mn，再将所求式子变形代入即可分别求解．
【解答】解：（1）由题意可得，，
所以．
（2）．
【点评】本题主要考查了方程根与系数关系的应用，属于基础题．
18．（2025春 无锡期末）已知关于x的一元二次不等式mx2+nx﹣3＞0的解集．
（1）求实数m，n的值；
（2）集合B＝{x|log2（x﹣a）＞﹣1}，且“x∈ RA”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．
【考点】解一元二次不等式；充分条件必要条件的应用．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）m＝2，n＝1．
（2）（﹣∞，﹣2）．
【分析】（1）由条件可得和1是方程mx2+nx﹣3＝0的两个根，由韦达定理求解即可；
（2）先求出集合B，由“x∈ RA”是“x∈B”的充分条件，得 RA B，求解实数a的取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意可知，和1是方程mx2+nx﹣3＝0的两个根，且m＞0．
所以，所以m＝2，n＝1．
（2）由，所以，即，
故，，
“x∈ RA”是“x∈B”的充分条件，所以 RA B，
所以，所以a＜﹣2．
故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）．
【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
19．（2024秋 袁州区校级期末）已知集合A＝{x|x＜﹣2或x＞3}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m+3}，m∈R，C＝{x|x2+4x+3≤0，x∈Z}．
（1）求A∩C；
（2）若A∩B＝ ，求实数m的取值范围．
【考点】解一元二次不等式；集合交集关系的应用．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）A∩C＝{﹣3}；
（2）{m|m＜﹣4或﹣1≤m≤0}．
【分析】（1）求出集合C，利用交集的定义可得出集合A∩C；
（2）分B＝ 、B≠ 两种情况讨论，根据A∩B＝ 可得出关于m的不等式（组），综合可解得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）因为A＝{x|x＜﹣2或x＞3}，
C＝{x|x2+4x+3≤0，x∈Z}＝{x|﹣3≤x≤﹣1，x∈Z}＝{﹣3，﹣2，﹣1}，
故A∩C＝{﹣3}．
（2）因为A∩B＝ ，
当B≠ 时，则有，解得﹣1≤m≤0，
当B＝ 时，m﹣1＞2m+3，解得m＜﹣4，满足A∩B＝ ；
综上所述，实数m的取值范围是{m|m＜﹣4或﹣1≤m≤0}．
【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
20．（2024秋 内蒙古校级期末）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|a﹣3＜x＜a+5}．
（1）当a＝3时，求A∪B；
（2）若A∩B＝ ，求a的取值范围．
【考点】解一元二次不等式；求集合的并集；集合交集关系的应用．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】（1）{x|0＜x＜4}；
（2）（﹣∞，﹣6]∪[7，+∞）．
【分析】（1）当a＝3时，求得集合B，利用并集的意义求解即可；
（2）由A∩B＝ 直接得到a的不等式，求解即可．
【解答】解：（1）A＝{x|﹣1＜x＜4}，当a＝3时，B＝{x|a﹣3＜x＜a+5}＝{x|0＜x＜8}，
所以A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}∪{x|0＜x＜8}＝{x|﹣1＜x＜8}；
（2）显然a﹣3＜a+5恒成立，
则B≠ ，若A∩B＝ ，需a+5≤﹣1或a﹣3≥4，
解得a≤﹣6或a≥7，
综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣6]∪[7，+∞）．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，并集的运算，交集和空集的定义及运算，是基础题．
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