2026年高考数学一轮复习 一元函数导数及其应用（含解析）

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高考数学一轮复习 一元函数导数及其应用
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 上饶期末）已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（　　）
A．[﹣1，3] B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
C．[0，2] D．（﹣∞，0）∪[2，+∞）
2．（2025春 龙岩期末）设函数f（x）＝ex，若f′（a）＝1，则a＝（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（2025春 江西期末）已知函数f（x）＝xaex﹣1，若f′（1）＝0，则a＝（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
4．（2025春 四川校级期末）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内极大值点有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2025春 郏县校级期末）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图像如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．﹣3是函数f（x）的极大值点
B．﹣1是函数f（x）的最小值点
C．函数f（x）在区间（﹣3，0）上单调递增
D．曲线y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零
6．（2025春 南京校级期中）已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 苏州校级模拟）已知函数，曲线y＝f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线2x﹣y＝0平行，则实数a的值为（　　）
A． B． C． D．1
8．（2025 甘肃校级三模）如果质点按规律s（t）＝2t2﹣t（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（　　）
A．8m/s B．7m/s C．6m/s D．5m/s
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 宁波期末）已知函数，则下列选项中正确的是（　　）
A．函数f（x）在区间上单调递增
B．函数f（x）的值域为[2，6]
C．函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣3x+4
D．关于x的方程f（x）＝a有2个不同的根当且仅当
（多选）10．（2025 仁寿县校级模拟）下列求导运算正确的是（　　）
A．（e3x）′＝3ex B．
C．（2sinx﹣3）′＝2cosx D．
（多选）11．（2025 辽宁模拟）已知函数f（x）＝（x﹣m）（x2﹣1）（m∈R），则（　　）
A．f（x）有三个零点
B． m∈R，使得点（2，f（2））为曲线y＝f（x）的对称中心
C．f（x）既有极大值又有极小值
D． m∈R， x＞0，f（x）≥0
（多选）12．（2025春 河南月考）已知某物体运动的位移S（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为，则下列说法正确的是（　　）
A．该物体在2s到4s这段时间内的平均速度为3m/s
B．该物体在t＝3s这个时刻的瞬时速度为3m/s
C．该物体在0s到8s这段时间内的平均速度为1m/s
D．该物体在t＝5s这个时刻的瞬时速度为8m/s
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 浦东新区校级期末）已知函数f（x）＝ex，则 　 　 ．
14．（2025春 闵行区校级期末）设函数图像上任意一点处的切线为l1，总存在函数g（x）＝2asinx+x（a＞0）图像上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的最小值是 　 　 ．
15．（2025春 雁塔区校级期末）若关于x的不等式|x﹣1|+|3﹣x|≥2a+1恒成立，则实数a的取值范围为 　 　 ．
16．（2025春 浦东新区校级期末）曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线方程为 　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 衢州期末）已知函数f（x）＝loga（3﹣x）+loga（x+1）．
（1）当0＜a＜1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）≥2在上恒成立，求实数a的取值范围．
18．（2025春 河南月考）求下列函数的导数：
（1）y＝x2025﹣log2025x；
（2）y＝sin2x+3x；
（3）．
19．（2025 新余校级模拟）已知函数，a∈R．
（1）若曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与y轴相互垂直，求f（x）的单调区间；
（2）若a＝0，求证：f（x）＞2；
（3）若直线y＝a与曲线y＝f（x）有两个不同的交点，求实数a的取值范围．
20．（2025 雷州市校级模拟）已知函数．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
高考数学一轮复习 一元函数导数及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 上饶期末）已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（　　）
A．[﹣1，3] B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
C．[0，2] D．（﹣∞，0）∪[2，+∞）
【考点】利用导数求解函数的极值．
【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑思维．
【答案】A
【分析】根据题意，求得f′（x）＝﹣x2+2（1﹣m）x﹣4，由函数f（x）没有极值，得到Δ≤0，即可求解．
【解答】解：根据，可得导函数f′（x）＝﹣x2+2（1﹣m）x﹣4，
由于f（x）没有极值，可得根的判别式Δ＝[2（1﹣m）]2﹣4×（﹣1）×（﹣4）＝4（1﹣m）2﹣16≤0，
即（1﹣m）2≤4，可得﹣2≤m﹣1≤2，解得﹣1≤m≤3，
因此m的取值范围为[﹣1，3]．
故选：A．
【点评】本题考查导数的综合应用，属于简单题．
2．（2025春 龙岩期末）设函数f（x）＝ex，若f′（a）＝1，则a＝（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】利用导数即可求解．
【解答】解：根据题意可知，f′（x）＝ex，所以f′（a）＝ea，
又f′（a）＝1，所以ea＝1，解得a＝0．
故选：D．
【点评】本题考查了导数的性质，属于基础题．
3．（2025春 江西期末）已知函数f（x）＝xaex﹣1，若f′（1）＝0，则a＝（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】对函数求导，然后把x＝1代入到导函数中求解即可．
【解答】解：由题意可得，f′（x）＝（axa﹣1+xa）ex﹣1，
则f′（1）＝a+1＝0，
所以a＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
4．（2025春 四川校级期末）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内极大值点有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；导数的综合应用．
【答案】B
【分析】根据运用导数判断极值的方法：考虑导数与x轴的交点的左右两侧导数的变化，找左正右负的．
【解答】解：由导函数的图象可知，在（a，b）内，与x轴有四个交点，第一个点处导数左正右负，第二个点处导数左负右正，第三个点处导数左正右正，第四个点处导数左正右负，则函数f（x）在开区间（a，b）内极大值点有2个．
故选：B．
【点评】本题考查导数的运用：判断极值，注意图象与x轴的交点的左右两侧导数的变化，属于基础题．
5．（2025春 郏县校级期末）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图像如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．﹣3是函数f（x）的极大值点
B．﹣1是函数f（x）的最小值点
C．函数f（x）在区间（﹣3，0）上单调递增
D．曲线y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】根据导函数f′（x）的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断．
【解答】解：由导函数f′（x）的图象可知，当x＞﹣1时f′（x）＞0；当﹣3＜x＜﹣1时f′（x）＞0；
当x＜﹣3时f′（x）＜0，当x＝﹣3或x＝﹣1时f′（x）＝0，
则f（x）在（﹣3，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣3）上单调递减，故B错误，C正确；
所以函数在x＝﹣3处取得极小值即最小值，
所以﹣3是函数的极小值点与最小值点故A错；
因为f′（0）＞0，所以曲线y＝f（x）在x＝0处切线的斜率大于零，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了导数的正负与函数的单调性，属于基础题．
6．（2025春 南京校级期中）已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用．
【专题】计算题；整体思想；导数的综合应用；运算求解．
【答案】B
【分析】先分别求出x≤0和x＞0时函数f（x）的单调性和最值，画出函数图象，再根据函数g（x）＝f（x）﹣m的零点个数与y＝m和y＝f（x）图象交点个数的关系，确定m的取值范围．
【解答】解：根据题目：已知函数，函数g（x）＝f（x）﹣m有3个零点，
当x≤0时，f（x）＝x2+2x，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）单调递减；
当x∈（﹣1，0）时，f（x）单调递增．
所以当x≤0时，f（x）min＝f（﹣1）＝﹣1，f（0）＝0，当x→﹣∞，f（x）→+∞，
当x＞0时，，则，
当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
当x＞0时，，当x→0+，f（x）→﹣∞，当x→+∞，f（x）→0，
作出函数f（x）的图象如图所示．
因为函数g（x）＝f（x）﹣m有3个零点，所以y＝m与f（x）的图象有3个交点，由图知．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
7．（2025 苏州校级模拟）已知函数，曲线y＝f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线2x﹣y＝0平行，则实数a的值为（　　）
A． B． C． D．1
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．
【专题】方程思想；转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，直线平行的条件，建立方程，即可求解．
【解答】解：因为，所以f′（x），
又y＝f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线2x﹣y＝0平行，
所以f′（1）2，解得a．
故选：A．
【点评】本题考查导数的几何意义的应用，属基础题．
8．（2025 甘肃校级三模）如果质点按规律s（t）＝2t2﹣t（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（　　）
A．8m/s B．7m/s C．6m/s D．5m/s
【考点】瞬时变化率．
【专题】整体思想；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】利用瞬时变化率的定义即可求得该质点在2s末的瞬时速度．
【解答】解：因为s（t）＝2t2﹣t，
所以s′（t）＝4t﹣1，
则质点在2s末的瞬时速度为7m/s．
故选：B．
【点评】本题主要考查了瞬时变化率的求解，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 宁波期末）已知函数，则下列选项中正确的是（　　）
A．函数f（x）在区间上单调递增
B．函数f（x）的值域为[2，6]
C．函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣3x+4
D．关于x的方程f（x）＝a有2个不同的根当且仅当
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据已知条件，对函数f（x）求导，结合导数的几何意义，即可求解．
【解答】解：函数，
求导可得，f'（x）＝3x2﹣3，
令f'（x）＝3x2﹣3＝0，解得x＝1（负值舍去），
当时，f'（x）＜0，当1＜x≤2时，f'（x）＞0，
故f（x）在[，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，故A错误；
f（x）在x＝1处取得极小值，也为最小值，
又f（2）＝6，f（），
故函数f（x）的值域为[2，6]，故B正确；
f'（0）＝﹣3，f（0）＝4，
故函数f（x）在点（0，4）处的切线方程为y﹣4＝﹣3（x﹣0），即y＝﹣3x+4，故C正确；
由AB选项可知，关于x的方程f（x）＝a有2个不同的根当且仅当，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值，属于基础题．
（多选）10．（2025 仁寿县校级模拟）下列求导运算正确的是（　　）
A．（e3x）′＝3ex B．
C．（2sinx﹣3）′＝2cosx D．
【考点】导数及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】CD
【分析】利用初等函数的导数公式以及复合函数求导法则、导数的运算法则，可判断各选项的正误．
【解答】解：对于A选项，（e3x）′＝e3x （3x）′＝3e3x，A错误；
对于B选项，，B错误；
对于C选项，（2sinx﹣3）′＝2cosx，C正确；
对于D选项，，D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
（多选）11．（2025 辽宁模拟）已知函数f（x）＝（x﹣m）（x2﹣1）（m∈R），则（　　）
A．f（x）有三个零点
B． m∈R，使得点（2，f（2））为曲线y＝f（x）的对称中心
C．f（x）既有极大值又有极小值
D． m∈R， x＞0，f（x）≥0
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】结合零点的定义分析可得当m＝±1时，函数f（x）只有2个零点，即可判断A；利用f（x）+f（4﹣x）＝2f（2）检验判断B；求导，分析函数f（x）的单调性即可判断C；举特例判断D．
【解答】解：对于A，令f（x）＝（x﹣m）（x2﹣1）＝0，解得x＝m或x＝±1，
当m＝±1时，函数f（x）只有2个零点，故A错误；
对于B，f（x）＝（x﹣m）（x2﹣1）＝x3﹣mx2﹣x+m，
则f（x）+f（4﹣x）＝x3﹣mx2﹣x+m+（4﹣x）3﹣m（4﹣x）2﹣（4﹣x）+m
＝（12﹣2m）x2+（8m﹣48）x+60﹣14m，
又2f（2）＝12﹣6m，
要使点（2，f（2））为曲线y＝f（x）的对称中心，
则对 x∈R，（12﹣2m）x2+（8m﹣48）x+60﹣14m＝12﹣6m，
此时m＝6，但60﹣14m＝12﹣6m，故B正确；
对于C，由f（x）＝x3﹣mx2﹣x+m，则f′（x）＝3x2﹣2mx﹣1，
由于Δ＝（﹣2m）2﹣4×3×（﹣1）＝4m2+12＞0，
则方程f′（x）＝3x2﹣2mx﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，设x1＜x2，
则x＜x1或x＞x2时，f′（x）＞0；x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，
则函数f（x）在（x1，x2）上单调递减，在（﹣∞，x1）和（x2，+∞）上单调递增，
则函数f（x）在x＝x2取得极小值，在x＝x1取得极大值，故C正确；
对于D，当m＝1时，f（x）＝（x﹣1）（x2﹣1）＝（x﹣1）2（x+1），
此时 x＞0，f（x）≥0，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查导数与单调性及最值关系的应用，函数对称性的应用，属于中档题．
（多选）12．（2025春 河南月考）已知某物体运动的位移S（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为，则下列说法正确的是（　　）
A．该物体在2s到4s这段时间内的平均速度为3m/s
B．该物体在t＝3s这个时刻的瞬时速度为3m/s
C．该物体在0s到8s这段时间内的平均速度为1m/s
D．该物体在t＝5s这个时刻的瞬时速度为8m/s
【考点】瞬时变化率．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；数学建模．
【答案】ABC
【分析】根据已知关系式，结合导数的物理意义及平均速度、瞬时速度的定义依次判断各项的正误．
【解答】解：当t∈[0，4]时，，则S（4）＝8，S（2）＝2，所以平均速度m/s，A对；
当t∈[0，4]时，S′（t）＝t，则S′（3）＝3，所以物体在t＝3s这个时刻的瞬时速度为3m/s，B对；
该物体在0s到8s这段时间内的平均速度为m/s，C对；
由t∈（4，8]时，S（t）＝8，则S′（t）＝0，故S′（5）＝0，D错．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 浦东新区校级期末）已知函数f（x）＝ex，则 　　 ．
【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．
【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据瞬时变化率的定义及基本初等函数的导数即可求解．
【解答】解：因为f（x）＝ex，
所以f′（x）＝ex．
则 f′（﹣1）＝e﹣1．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了导数定义的应用，属于基础题．
14．（2025春 闵行区校级期末）设函数图像上任意一点处的切线为l1，总存在函数g（x）＝2asinx+x（a＞0）图像上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的最小值是 　　 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的值域；导数与切线的斜率．
【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】求出两个函数的导函数的值域后结合包含关系可求实数a的最小值．
【解答】解：根据题意，函数，其导数，
函数g（x）＝2asinx+x，其导数g′（x）＝2acosx+1，
故，g′（x）∈[﹣2a+1，2a+1]，
故，
因为函数图像上任意一点处的切线为l1，
总存在函数g（x）＝2asinx+x（a＞0）图像上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，
故（﹣4，0）∪（0，4）为[﹣2a+1，2a+1]的子集，
所以，解得，故实数a的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查导数的几何意义，涉及函数的值域，属于基础题．
15．（2025春 雁塔区校级期末）若关于x的不等式|x﹣1|+|3﹣x|≥2a+1恒成立，则实数a的取值范围为 　（﹣∞，]　 ．
【考点】不等式恒成立的问题．
【专题】整体思想；定义法；不等式；逻辑思维．
【答案】（﹣∞，]．
【分析】根据绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|3﹣x|≥|x﹣1+3﹣x|＝2，即可得2≥2a+1求解，
【解答】解：因为|x﹣1|+|3﹣x|≥|x﹣1+3﹣x|＝2，因此可得（|x﹣1|+|3﹣x|）min≥2a+1，所以2≥2a+1，
当且仅当1≤x≤3时取到等号，所以a．
故答案为：（﹣∞，]．
【点评】本题考查不等式恒成立问题，属于简单题．
16．（2025春 浦东新区校级期末）曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线方程为 　2x﹣y﹣1＝0　 ．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】2x﹣y﹣1＝0．
【分析】根据导数的几何意义，即可求解．
【解答】解：因为y＝f（x）＝x+lnx，所以f′（x），
所以f（1）＝1，f′（1）＝2，
所以所求切线方程为y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0．
故答案为：2x﹣y﹣1＝0．
【点评】本题考查函数的切线问题的求解，属基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 衢州期末）已知函数f（x）＝loga（3﹣x）+loga（x+1）．
（1）当0＜a＜1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）≥2在上恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】不等式恒成立的问题；求对数函数及对数型复合函数的单调性．
【专题】分类讨论；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）（1，3）；
（2）{a|}．
【分析】（1）结合对数的运算法则求出函数的定义域，利用复合函数的单调性即可求解；
（2）结合复合函数的单调性求出f（x）的单调性，利用单调性求出最值，结合恒成立问题即可求解．
【解答】解：（1）由，得﹣1＜x＜3，所以f（x）的定义域为（﹣1，3），
，
令t＝﹣x2+2x+3，则t在（﹣1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，
又0＜a＜1，y＝logat为减函数，
所以f（x）的单调递增区间为（1，3）；
（2）题意等价于当，f（x）min≥2，
当a＞1时，y＝logat为增函数，
所以f（x）在（﹣1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以f（x）min＝f（0）＝loga3≥2，
即a2≤3，解得；
当0＜a＜1时，由（1）得f（x）在（0，1）上单调递减，在上单调递增，
所以f（x）min＝f（1）＝loga4＜0，不符合题意；
综上所述，，即实数a的取值范围为{a|}．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，不等式恒成立问题，属于中档题．
18．（2025春 河南月考）求下列函数的导数：
（1）y＝x2025﹣log2025x；
（2）y＝sin2x+3x；
（3）．
【考点】简单复合函数的导数．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】（1）．
（2）2cos2x+3xln3．
（3）．
【分析】根据导数的运算法则、以及复合函数求导规则逐一计算即可．
【解答】解：（1）函数定义域为x∈（0，+∞），根据求导法则及复合函数求导规则，
．
（2）函数定义域为x∈R，根据求导法则及复合函数求导规则，
y′＝（sin2x+3x）′＝（sin2x）′+（3x）′＝cos2x （2x）′+3xln3＝2cos2x+3xln3．
（3）函数定义域为x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），根据求导法则及复合函数求导规则，
．
【点评】本题考查复合函数导数，属于基础题．
19．（2025 新余校级模拟）已知函数，a∈R．
（1）若曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与y轴相互垂直，求f（x）的单调区间；
（2）若a＝0，求证：f（x）＞2；
（3）若直线y＝a与曲线y＝f（x）有两个不同的交点，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑思维．
【答案】（1）单调递增区间为（0，+∞），递减区间为（﹣1，0）．
（2）证明见解析．
（3）（1，+∞）．
【分析】（1）利用导数的几何意义得到方程求参数a＝1，再利用导数的正负来判断单调区间即可；
（2）利用隐零点来分析单调区间，同时利用隐零点的等式关系来转化最小值，最后问题得证；
（3）利用分类讨论思想来研究函数的零点个数，当a＞1时需要对函数进行二次求导，再来分析原函数的单调性，并结合零点存在性定理求解参数范围．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ex﹣ln（x+a），导函数，
因此，解得a＝1；
因此函数f（x）＝ex﹣ln（x+1）（x＞﹣1），导函数；
而导函数f′（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f′（0）＝0；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
因此f（x）的递减区间为（﹣1，0），单调递增区间为（0，+∞）．
（2）证明：函数，导函数，
易知导函数f′（x）在（0，+∞）上单调递增，因此 x0∈（0，+∞）且x0≠1，
使得，同时满足
且当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，
因此；
由于x0≠1，因此上式等号不成立，即f（x）＞2．
（3）令函数F（x）＝f（x）﹣a＝ex﹣ln（x+a）﹣a，
根据第一问知，若a＝1，那么函数F（x）有最小值F（0）＝0，函数F（x）有唯一零点0．
因此函数F（x）＝ex﹣ln（x+1）﹣1≥F（0）＝0，
若a＜1，那么x+a＜x+1，函数F（x）＝ex﹣ln（x+a）﹣a＞ex﹣ln（x+1）﹣1≥0，
此时函数F（x）没有零点；
若a＞1，那么导函数，
令函数g（x）＝F′（x），那么函数g（x）在（﹣a，+∞）上单调递增，
根据﹣a＜﹣a+e﹣a＜0，可得，
又因为，因此 x0∈（﹣a，0），使得g（x0）＝0，
当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，即F′（x）＞0，F（x）单调递增；
当x∈（﹣a，x0）时，g（x）＜0，即F′（x）＜0，F（x）单调递减，
因此F（x0）＜F（0）＝1﹣lna﹣a＜0．
取，，
取，，
设函数t（x）＝﹣x+ex﹣ln2x（x＞1），导函数，在（1，+∞）上单调递增，
所以t′（x）＞t′（1）＝e﹣2＞0，所以t（x）＞t（1）＝e﹣1﹣ln2＞0，所以F（x2）＞0，
所以 α∈（﹣a+e﹣a，x0），使F（α）＝0；，使F（β）＝0，
所以若直线y＝a与曲线y＝f（x）有两个不同的交点，故a的取值范围为（1，+∞）．
【点评】本题考查导数的综合应用，属于难题．
20．（2025 雷州市校级模拟）已知函数．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．
【专题】综合题；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）y＝x；
（2）f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（﹣∞，0），（2，+∞），
极小值为0，极大值为．
【分析】（1）由题意，对f（x）进行求导，得到f'（1）和f（1）的值，代入切线方程中即可求解；
（2）结合（1）中所得f'（x）的表达式，利用导数即可得到函数的单调性和极值．
【解答】解：（1）已知，函数定义域为R，
可得f'（x）＝﹣x2+2x，
此时f'（1）＝﹣1+2＝1，
又f（1），
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y1（x﹣1），
即y＝x；
（2）令f'（x）＝﹣x2+2x＝0，
解得x＝0或x＝2，
当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）极小值＝f（0）＝0，，
综上：f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（﹣∞，0），（2，+∞），
极小值为0，极大值为．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性；考查了分析问题解决问题的能力．
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