2026年高考数学一轮复习 圆锥曲线综合（含解析）

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高考数学一轮复习 圆锥曲线综合
一．选择题（共8小题）
1．（2025 湖北模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点O1是A1C1与B1D1的交点，点Q是直线AO1上异于A的一点，点P是平面C1BD上的动点，满足直线PQ与直线AQ的夹角为，则动点P的轨迹在（　　）
A．圆上 B．椭圆上 C．抛物线上 D．双曲线上
2．（2025 北京校级模拟）设直线l经过抛物线x2＝8y的焦点，P为直线l上任意一点，过P总能作圆x2+y2＝1的切线，则直线l斜率k的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
3．（2025 牡丹江校级模拟）2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点F1（﹣a，0），F2（a，0）（a＞0）的距离之积为定值．当a＝3时，C上第一象限内的点P满足△PF1F2的面积为，则（　　）
A．6 B．
C． D．
4．（2025 泸县校级模拟）点P（1，0），点Q是圆x2+y2＝4上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025 崂山区校级模拟）已知圆M的圆心在曲线xy＝2（x＞0）上，圆M与直线x+2y+1＝0相切，则圆M面积最小值为（　　）
A． B． C．5π D．10π
6．（2025 罗湖区校级模拟）若抛物线y2＝8x的准线经过双曲线的一个焦点，则双曲线离心率为（　　）
A． B． C．4 D．
7．（2025春 南阳期中）已知双曲正弦函数，双曲余弦函数，若点P在曲线y＝sinhx上，α为曲线在点P处切线的倾斜角，则α的范围是（　　）
A． B．[0，π）
C． D．
8．（2025 昌江区校级模拟）已知点F是抛物线E：x2＝4y的焦点，点A是抛物线E上一点．过点A作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为B，C，且分别交抛物线的准线于M，N两点，M，N位于y轴异侧（如图所示）．若，则|AF|的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 江西模拟）已知A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），M为坐标平面内的动点，直线MA，MB的斜率分别为kMA，kMB，且满足kMA﹣kMB＝a（a为定值），设动点M的轨迹为C．则（　　）
A．轨迹C关于原点对称
B．轨迹C关于直线对称
C．当a＝0时，轨迹C为一条直线
D．当a＞0时，轨迹C存在最高点
（多选）10．（2025 崂山区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，曲线E上任一点M，满足到点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离的倒数和为定值，即，则下列说法正确的是（　　）
A．对于不同的λ值，曲线E总是关于y轴对称
B．当时，曲线E经过原点
C．当λ＝1时，|MF1|+|MF2|的取值范围为
D．当λ＝3时，x轴上存在4个不同的点在曲线E上
（多选）11．（2025 鼓楼区校级模拟）已知a＞0，F1（﹣a，0），F2（a，0），若平面内动点P（x，y）满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（　　）
A．双纽线是轴对称图形
B．△PF1F2的面积的最大值为
C．|PF1|+|PF2|＝2a
D．直线y＝0.9x与双纽线有三个交点
（多选）12．（2024秋 宜春校级期末）“大鹏曲线”的方程为，其图像因为形似一只展翅高飞的大鹏而得名．直线y＝ax+b与C的交点可能个数的集合记为D（a，b），下列选项正确的是（　　）
A．该曲线关于y轴对称
B．D（a，2）＝{0，1，2}
C．D（a，﹣3a）＝{0，1，2}
D．“D（a，b）＝{3}”的充要条件是“且b＜0”
三．填空题（共4小题）
13．（2025 开封模拟）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）经过椭圆C的上、下顶点和焦点，则椭圆C的离心率e＝ 　 　 ．
14．（2025 重庆校级模拟）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线AA1的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长是　 　 ．
15．（2025春 金山区校级期中）已知椭圆中心在原点，长轴长为4，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的标准方程为 　 　 ．
16．（2025春 湖北期中）设O为原点，双曲线Ω的方程是（a＞0，b＞0），离心率．直线x+2y﹣m＝0与双曲线Ω的两条渐近线分别交于A，B，与圆x2+y2＝a2相切于点N．若，，则直线OM的斜率为　 　 ，双曲线Ω的实轴长为　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 陕西模拟）函数与圆锥曲线是我们高中最常见的知识板块，现进行探究：
（1）化简，并求方程|x|+|y|＝1表示的曲线所围成的图形的周长．
（2）已知曲线C：|x|+y＝1，试研究曲线C的范围．
（3）已知抛物线C：y2＝ax（a＞0）上一点到焦点F的距离为2t，抛物线上一点A的纵坐标为1，过点Q（﹣4，2）的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合），连接PN，PM，若PN，PM所成角为直角，求A关于直线MN对称点R．
18．（2025 河南模拟）已知动圆过定点P（2，0），且在y轴上截得的弦长为4．动圆圆心的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设过点F（1，0）的直线交曲线E于A，B两点，过点M（﹣1，0）的直线MA与E的另一个交点为C，点A在M与C之间．
（i）证明：线段BC垂直于x轴；
（ii）记△FBC的面积为S1，△MFC的面积为S2，求5S2﹣S1的取值范围．
19．（2024秋 青海期末）已知动点M到点（﹣10，0）的距离比它到直线x﹣12＝0的距离小2，记动点M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为（﹣6，﹣4），求直线l的方程．
20．（2025 彭山区校级开学）已知圆C的圆心为C（3，0），且过点．
（1）求圆C的半径及标准方程；
（3）若O为坐标原点，点P（x，y）满足|PO|＝2|PC|，求点P的轨迹方程．
高考数学一轮复习 圆锥曲线综合
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 湖北模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点O1是A1C1与B1D1的交点，点Q是直线AO1上异于A的一点，点P是平面C1BD上的动点，满足直线PQ与直线AQ的夹角为，则动点P的轨迹在（　　）
A．圆上 B．椭圆上 C．抛物线上 D．双曲线上
【考点】轨迹方程．
【专题】计算题；整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意得P在以Q为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为AO1，进一步即可求解．
【解答】解：根据题目可知：直线PQ与直线AQ的夹角为，
所以P在以Q为顶点的对顶圆锥上，即对顶圆锥的轴线为AO1，
AO1∥平面C1BD，因此动点P的运动轨迹在双曲线上．
故选：D．
【点评】本题考查轨迹方程，属于基础题．
2．（2025 北京校级模拟）设直线l经过抛物线x2＝8y的焦点，P为直线l上任意一点，过P总能作圆x2+y2＝1的切线，则直线l斜率k的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】由题意可得直线与圆的位置关系，根据抛物线方程，可得焦点坐标，从而设出直线方程，利用点到直线距离公式，建立不等式，可得答案．
【解答】解：根据题意，P为直线l上任意一点，过P总能作圆x2+y2＝1的切线，
则直线l与圆x2+y2＝1不相交，故圆心（0，0）到直线l的距离d大于等于半径r，即d≥r＝1，
抛物线x2＝8y，其焦点（0，2），易知直线l的斜率存在，
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y＝kx+2，
由，则，整理可得k2+1≤4，解得，
所以直线l的斜率k的最大值为．
故选：B．
【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，涉及抛物线的几何性质，属于基础题．
3．（2025 牡丹江校级模拟）2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点F1（﹣a，0），F2（a，0）（a＞0）的距离之积为定值．当a＝3时，C上第一象限内的点P满足△PF1F2的面积为，则（　　）
A．6 B．
C． D．
【考点】曲线与方程．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题设有，设P（x，y）结合定义得（x2+y2）2＝18（x2﹣y2），利用三角形面积公式有∠F1PF2＝90°，即P是曲线（x2+y2）2＝18（x2﹣y2）与以F1F2直线的圆的交点，联立曲线与圆x2+y2＝9求得，应用两点距离公式求．
【解答】解：由曲线C过坐标原点O，
C上的点到两定点F1（﹣a，0），F2（a，0）（a＞0）的距离之积为定值，
可得原点在曲线上，，
设P（x，y），x＞0，y＞0，
可得，
化简可得（x2+y2+9）2﹣36x2＝81，
所以（x2+y2）2＝18（x2﹣y2），
由，且|PF1||PF2|＝9，可得sin∠F1PF2＝1，
所以∠F1PF2＝90°，易知P是曲线（x2+y2）2＝18（x2﹣y2）与以F1F2直径的圆的交点，
联立，且P在第一象限，可得，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查曲线与方程的关系，以及圆的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
4．（2025 泸县校级模拟）点P（1，0），点Q是圆x2+y2＝4上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轨迹方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】根据相关点法，即可求解．
【解答】解：设点M的坐标为M（x，y），
∵P（1，0），线段PQ的中点为M，
∴Q（2x﹣1，2y），
又点Q在圆x2+y2＝4上，
∴（2x﹣1）2+（2y）2＝4，
即．
故选：A．
【点评】本题考查根据相关点法求解轨迹方程，属基础题．
5．（2025 崂山区校级模拟）已知圆M的圆心在曲线xy＝2（x＞0）上，圆M与直线x+2y+1＝0相切，则圆M面积最小值为（　　）
A． B． C．5π D．10π
【考点】曲线与方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意可设，根据点到直线的距离公式结合基本不等式可得，即可得结果．
【解答】解：根据题意，圆M的圆心在曲线xy＝2（x＞0）上，不妨设，
又因为圆M与直线x+2y+1＝0相切，
则圆M的半径为点M到直线x+2y+1＝0的距离，
即，
当且仅当，即a＝2时等号成立，
即圆M的半径的最小值，所以圆M面积的最小值为．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及不等式的性质和应用，属于基础题．
6．（2025 罗湖区校级模拟）若抛物线y2＝8x的准线经过双曲线的一个焦点，则双曲线离心率为（　　）
A． B． C．4 D．
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意得出即2，且c＝2，求出a，即可求解．
【解答】解：因为y2＝8x，所以准线为x＝﹣2，
由题意抛物线y2＝8x的准线经过双曲线的一个焦点，
即2，
解得b2＝2，且c＝2，
故，
所以双曲线离心率为．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线与抛物线方程即性质的应用，属于基础题．
7．（2025春 南阳期中）已知双曲正弦函数，双曲余弦函数，若点P在曲线y＝sinhx上，α为曲线在点P处切线的倾斜角，则α的范围是（　　）
A． B．[0，π）
C． D．
【考点】曲线与方程．
【专题】计算题；整体思想；函数的性质及应用．
【答案】C
【分析】sinhx的导数为coshx，coshx≥1时，即tanα≥1，．
【解答】解：设，则，
即tanα≥1，所以．
故选：C．
【点评】本题考查曲线与方程，属于基础题..
8．（2025 昌江区校级模拟）已知点F是抛物线E：x2＝4y的焦点，点A是抛物线E上一点．过点A作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为B，C，且分别交抛物线的准线于M，N两点，M，N位于y轴异侧（如图所示）．若，则|AF|的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；抛物线的焦点弦及焦半径．
【答案】B
【分析】设MN与圆O相切于点D，由切线长定理可得△AMN的周长为，可得，设A（x0，y0），由题意得y0＞1，可得，计算可得，结合已知可得y0，可求|AF|．
【解答】解：设MN与圆O相切于点D，如图，切线长相等可得：|AB|＝|AC|，|ND|＝|NC|，|MB|＝|MD|，
所以△AMN的周长为2|MN|+2|AB|，
所以S△AMN，
设A（x0，y0），由题意得y0＞1，
因为S△AMN，由等面积法，可得，
所以|MN|，
由|MN|，则，解得y0＝2，所以|AF|＝y0+1＝3．
故选：B．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程的应用，切线长定理与三角形的面积的应用，是中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 江西模拟）已知A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），M为坐标平面内的动点，直线MA，MB的斜率分别为kMA，kMB，且满足kMA﹣kMB＝a（a为定值），设动点M的轨迹为C．则（　　）
A．轨迹C关于原点对称
B．轨迹C关于直线对称
C．当a＝0时，轨迹C为一条直线
D．当a＞0时，轨迹C存在最高点
【考点】轨迹方程．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】BD
【分析】设M（x，y），根据题意写出斜率之差的方程，化简可得M的轨迹为挖去两个点的关于y轴对称的抛物线，由此可以分析各个选项的正误．
【解答】解：设M（x，y），则，整理得ax2+2y﹣a＝0（x≠±1），
即，所以轨迹为挖去两个点的关于y轴对称的抛物线，故A错误，B正确；
当a＝0时，y＝0（x≠±1），即一条直线挖去了两个点，故C错误；
当a＞0时，轨迹为，开口向下，有最高点，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查轨迹方程问题，属于简单题．
（多选）10．（2025 崂山区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，曲线E上任一点M，满足到点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离的倒数和为定值，即，则下列说法正确的是（　　）
A．对于不同的λ值，曲线E总是关于y轴对称
B．当时，曲线E经过原点
C．当λ＝1时，|MF1|+|MF2|的取值范围为
D．当λ＝3时，x轴上存在4个不同的点在曲线E上
【考点】曲线与方程．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】ACD
【分析】对于A，设M关于y轴的对称点为M1，通过分析得到，由此可判断；
对于B，当时，通过检验是否成立可判断；
对于C，当λ＝1时，结合题设得及，令t＝|MF1|﹣1，得，利用函数单调性求得，即可判断C；
对于D，当λ＝3时，设曲线E在x轴上的点为（x，0），由题设得，通过分类讨论结合曲线E的对称性求得x的值，可判断D．
【解答】解：对于选项A，由于F1（﹣1，0），F2（1，0），可知O（0，0）为线段F1F2的中点，
又因为M满足，设动点M关于y轴对称的点为M1，
那么可得|MF1|＝|M1F2|，|MF2|＝|M1F1|，可得，
因此曲线E关于y轴对称，所以选项A正确；
对于选项B，当时，将原点O（0，0）代入，那么可得，所以选项B错误；
对于选项C，当λ＝1时，，那么可得|MF1|＞1．
由于||MF1|﹣|MF2||≤|F1F2|＝2，所以，解得，，
令，那么，
根据对勾函数可知函数在内单调递增，在内单调递减，
且f（1）＝4，，那么，
因此，所以选项C正确；
对于选项D，当λ＝3时，设曲线E在x轴上的点为（x，0），根据题意得，
由于曲线图象关于y轴对称，考虑x＞0的情形，
当0＜x＜1时，方程化为3x2＝1，解得，
当x＞1时，方程化为3x2﹣2x﹣3＝0，解得，
因此x＞0时，x轴上有2个点，所以x轴上存在4个不同的点在曲线E上，所以选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查曲线与方程，属于中档题．
（多选）11．（2025 鼓楼区校级模拟）已知a＞0，F1（﹣a，0），F2（a，0），若平面内动点P（x，y）满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（　　）
A．双纽线是轴对称图形
B．△PF1F2的面积的最大值为
C．|PF1|+|PF2|＝2a
D．直线y＝0.9x与双纽线有三个交点
【考点】轨迹方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】AD
【分析】对于A，利用两点的距离公式整理方程，将关于坐标轴对称的点代入，可得答案；对于B，利用一元二次方程根的存在性，求得动点坐标的范围，结合三角形面积公式，可得答案；对于C，根据三角形三边关系，可得答案；对于D，联立方程，因式分解求方程的根，可得答案．
【解答】解：根据题意，F1（﹣a，0），F2（a，0），平面内动点P（x，y）满足，
则，
变形可得x4+y4﹣2a2x2+2a2y2+2x2y2＝0，
即双纽线的方程为x4+y4﹣2a2x2+2a2y2+2x2y2＝0，
依次分析选项：
对于A，曲线方程为x4+y4﹣2a2x2+2a2y2+2x2y2＝0，
由（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），显然当（x，y）满足方程时，（x，﹣y）也满足方程，
则双纽线关于x轴对称，是轴对称图形，故A正确；
对于B，由曲线方程x4+y4﹣2a2x2+2a2y2+2x2y2＝0，
整理可得关于x2的方程（x2）2+（2y2﹣2a2）x2+y4+2a2y2＝0，
由Δ＝（2y2﹣2a2）2﹣4（y4+2a2y2）≥0，解得，
由，则其最大值为，故B错误；
对于C，当点P不在原点，则构成△PF1F2，则|PF1|+|PF2|＞|F1F2|＝2a，故C错误；
对于D，将y＝0.9x代入方程x4+y4﹣2a2x2+2a2y2+2x2y2＝0，
整理可得x2（1.812x2﹣0.38a2）＝0，解得x＝0或，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查曲线和方程，涉及轨迹方程的求法，属于中档题．
（多选）12．（2024秋 宜春校级期末）“大鹏曲线”的方程为，其图像因为形似一只展翅高飞的大鹏而得名．直线y＝ax+b与C的交点可能个数的集合记为D（a，b），下列选项正确的是（　　）
A．该曲线关于y轴对称
B．D（a，2）＝{0，1，2}
C．D（a，﹣3a）＝{0，1，2}
D．“D（a，b）＝{3}”的充要条件是“且b＜0”
【考点】曲线与方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据椭圆及双曲线的性质可判断选项A；根据直线经过定点，利用直线方程与圆锥曲线方程联立结合圆锥曲线的性质可判断选项B，C；根据反例可判断选项D．
【解答】解：当y≥0时，曲线方程为，
此时为双曲线，其渐近线方程为，
当y＜0时，曲线方程为，
对于选项A：由双曲线及椭圆的性质可得该曲线关于y轴对称，故选项A正确；
对于选项B：因为y＝ax+2恒过点（0，2），
当直线时，此时直线y＝ax+2与渐近线平行，直线与C的交点为1，
当时，直线与C的交点为1，
当时，直线与C的交点为2，
则D（a，2）＝{1，2}，故选项B错误；
对于选项C：因为y＝ax﹣3a＝a（x﹣3）恒过点（3，0），
联立，消去y并整理得（1+4a2）x2﹣24a2x+36a2﹣4＝0，
此时Δ＝（﹣24a2）2﹣4（1+4a2）（36a2﹣4）＝﹣16（5a2﹣1），
当时，Δ＝0，
则直线与下半椭圆相切，
当直线时，直线与C的交点为2，
当时，直线与C的交点为1，
当时，直线与C的交点为0，
当或时，直线与C的有1个交点，
当时，直线与C的交点为2，
则D（a，﹣3a）＝{0，1，2}，故选项C正确；
对于选项D：取a＝1，b＝﹣3，
由选项C可知直线与C的交点为1，
则且b＜0，
不能得到D（a，b）＝{3}，故选项D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 开封模拟）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）经过椭圆C的上、下顶点和焦点，则椭圆C的离心率e＝ 　　 ．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的离心率．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】由圆和椭圆的方程推得b＝c，再由a，b，c的关系和离心率公式，可得所求值．
【解答】解：圆O：x2+y2＝r2（r＞0）经过椭圆C的上、下顶点（0，b），（0，﹣b）
和焦点（﹣c，0），（c，0），
可得b2＝r2＝c2，
则e．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆和圆的方程与性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
14．（2025 重庆校级模拟）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线AA1的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长是　　 ．
【考点】轨迹方程；空间中点到平面的距离．
【专题】计算题；整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出点P的轨迹方程，再分类探讨轨迹并求出长度．
【解答】解：根据题目，建立如图所示的空间直角坐标系，
设点P（x，y，z），x，y，z∈[0，2]，A（2，0，0），A1（2，0，2），在AA1上任取点A2（2，0，z），
，，依题意，，所以（x﹣2）2+y2＝z2，
当z＝0时，x＝2，y＝0，点P的轨迹是一个点，轨迹长度为0；
当z＝2时，（x﹣2）2+y2＝4，点P的轨迹是以A1为圆心，2为半径的圆弧，轨迹长度为π；
当x＝0时，4+y2＝z2，所以y＝0，z＝2，点P的轨迹是一个点，轨迹长度为0；
当x＝2时，y2＝z2，y＝z，点P的轨迹是线段AB1，轨迹长度为；
当y＝0时，2﹣x＝z，点P的轨迹是线段AD1，轨迹长度为；
当y＝2时，（x﹣2）2+4＝z2，则x＝z＝2，点P的轨迹是一个点，轨迹长度为0，
因此曲线W的周长是．
故答案为：．
【点评】本题考查轨迹方程，属于中档题．
15．（2025春 金山区校级期中）已知椭圆中心在原点，长轴长为4，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的标准方程为 　　 ．
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】双曲线的顶点为，可得椭圆的焦半径为，由长轴定义及椭圆的标准方程即可求解．
【解答】解：易知双曲线的顶点为，
所以椭圆的焦点在x轴上，
设所求椭圆的方程为，
因为该椭圆长轴长为4，
所以2a＝4，
解得a＝2，
因为该椭圆以双曲线的顶点为焦点，
所以，
此时b2＝a2﹣c2＝2，
则所求椭圆的标准方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
16．（2025春 湖北期中）设O为原点，双曲线Ω的方程是（a＞0，b＞0），离心率．直线x+2y﹣m＝0与双曲线Ω的两条渐近线分别交于A，B，与圆x2+y2＝a2相切于点N．若，，则直线OM的斜率为　﹣4　 ，双曲线Ω的实轴长为　14　 ．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；过圆上一点的圆的切线方程；双曲线的几何特征．
【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】﹣4，14．
【分析】利用点差法，可求直线OM的斜率，在△OMN中，利用勾股定理可求a的值．
【解答】解：如图：
设点A（x1，y1），B（x2，y2），渐近线方程为
或，
则，，
相减整理后得，
，所以kOM＝﹣4，
设AB与x轴交于C，∠MOC＝α，∠MCO＝β，
则tanα＝﹣4，，
，
在直角△OMN中，|ON|＝a，，，
所以，解得a＝7，实轴长为14．
故答案为：﹣4；14．
【点评】本题考查双曲线的几何性质以及直线与圆的位置关系，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 陕西模拟）函数与圆锥曲线是我们高中最常见的知识板块，现进行探究：
（1）化简，并求方程|x|+|y|＝1表示的曲线所围成的图形的周长．
（2）已知曲线C：|x|+y＝1，试研究曲线C的范围．
（3）已知抛物线C：y2＝ax（a＞0）上一点到焦点F的距离为2t，抛物线上一点A的纵坐标为1，过点Q（﹣4，2）的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合），连接PN，PM，若PN，PM所成角为直角，求A关于直线MN对称点R．
【考点】曲线与方程．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】（1）；．
（2）x∈R，y∈（﹣∞，1]．
（3）或．
【分析】（1）根据椭圆定义直接化简已知方程即可；分类讨论可得方程|x|+|y|＝1围成的图形为边长为的正方形，由此可得结果；
（2）分别讨论x≥0和x≤0的情况即可得到结果；
（3）根据抛物线焦半径公式可构造方程求得a，进而得到抛物线方程，设直线MN：x＝ny+m，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，根据垂直关系可整理得到MN方程，由点关于直线对称点的求法可求得结果．
【解答】解：（1）表示（x，y）到（0，﹣3）和（0，3）的距离之和为10，
那么这是以（0，﹣3）和（0，3）为焦点，长轴长度为10的椭圆，
那么焦距2c＝6，2a＝10，所以c＝3，a＝5，所以b2＝a2﹣c2＝16，
所以可化简为．
根据|x|+|y|＝1得：或或或，
因此方程表示（1，0）、（﹣1，0）、（0，1）、（0，﹣1）为顶点的正方形，如下图所示，
那么正方形边长为，周长为：．
（2）当x≤0时，方程为﹣x+y＝1 y＝x+1，
当x≥0时，方程为x+y＝1 y＝1﹣x，
所以C由两条射线y＝1﹣x（x≥0）和y＝x+1（x≤0）组成，如下图所示，
所以ymax＝1，无最小值，所以C的范围为x∈R，y∈（﹣∞，1]．
（3）因为点到焦点F的距离为2t，所以，解得，所以点，
所以，又因为a＞0，所以a＝1，所以A（1，1），抛物线方程为y2＝x，
根据题意知：过点Q（﹣4，2）的直线斜率不为0，
那么可设直线MN：x＝ny+m，N（x2，y2），M（x1，y1），
因为Q∈直线MN，所以﹣4＝2n+m，所以m＝﹣2n﹣4；
根据得：y2﹣ny﹣m＝0，
所以根的判别式Δ＝n2+4m＞0，根据韦达定理可得y1y2＝﹣m＝2n+4，y1+y2＝n，
因为PN⊥PM，所以，
所以
，
所以
化简得：60n2+296n+357＝0，所以（10n+21）（6n+17）＝0，
解得：或；
当时，，所以；
设R（x0，y0），则，解得：，所以；
当时，，所以，满足A 直线MN；
设R（x0，y0），那么，解得：，所以．
综上所述：或．
【点评】本题考查曲线与方程，属于难题．
18．（2025 河南模拟）已知动圆过定点P（2，0），且在y轴上截得的弦长为4．动圆圆心的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设过点F（1，0）的直线交曲线E于A，B两点，过点M（﹣1，0）的直线MA与E的另一个交点为C，点A在M与C之间．
（i）证明：线段BC垂直于x轴；
（ii）记△FBC的面积为S1，△MFC的面积为S2，求5S2﹣S1的取值范围．
【考点】轨迹方程．
【答案】（1）y2＝4x；
（2）（i）证明见解析；（ii）．
【分析】（1）由题意，建立方程化简可得动圆圆心轨迹方程；
（2）（i）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，由设出的点的坐标，表示出直线MA，MB的斜率，研究其关系，可得答案；
（ii）由点的坐标，表示出三角形的面积，化简函数解析式，利用导数求得最值，可得答案．
【解答】解：（1）由题意，动圆过定点P（2，0），
设圆心T（x，y），弦的中点为R，连接RT，则由圆的性质得|PT|2＝|RT|2+22，
∴（x﹣2）2+y2＝x2+4，整理得y2＝4x．
当y＝0时，也满足上式，
∴曲线E的方程为y2＝4x．
（2）（i）如图，
∵直线AB与抛物线有两个交点，∴直线AB的斜率不为0，故设AB的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立可得：y2﹣4ty﹣4＝0，
Δ＝（﹣4t）2+16＞0，
则y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，
．
故∠BMF＝∠CMF，
故直线BM与直线CM关于x轴对称，即点B与点C关于x轴对称，
∴线段BC垂直于x轴．
（ii）由（i）可知C（x2，﹣y2），不妨设y2＞0，
∵点A在M与C之间，∴x2＞1，y2＞2，
，
，
则，
令，
则，
令f′（y）＞0，则8﹣y2＞0，解得；
令f′（y）＜0，8﹣y2＜0，解得．
则f（y）在上单调递增，在上单调递减，
，
∴5S2﹣S1的取值范围为．
【点评】本题主要考查点的轨迹方程以及直线与抛物线综合，属于中档题．
19．（2024秋 青海期末）已知动点M到点（﹣10，0）的距离比它到直线x﹣12＝0的距离小2，记动点M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为（﹣6，﹣4），求直线l的方程．
【考点】轨迹方程．
【专题】运动思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】（1）y2＝﹣40x；
（2）5x﹣y+26＝0．
【分析】（1）根据已知可得到，满足抛物线的定义，根据定义即可求解；
（2）利用点差法求出直线l的斜率即可．
【解答】解：（1）由题意知动点M的轨迹是以（﹣10，0）为焦点，直线x＝10为准线的抛物线，
所以轨迹C的方程为y2＝﹣40x；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
两式子相减得，整理可得，
因为线段AB的中点坐标为（﹣6，﹣4），所以y1+y2＝﹣8，
所以直线l的斜率，
故直线l的方程为y+4＝5（x+6），即5x﹣y+26＝0．
【点评】本题考查了利用抛物线定义求动点轨迹．
20．（2025 彭山区校级开学）已知圆C的圆心为C（3，0），且过点．
（1）求圆C的半径及标准方程；
（3）若O为坐标原点，点P（x，y）满足|PO|＝2|PC|，求点P的轨迹方程．
【考点】轨迹方程；根据圆的几何属性求圆的标准方程．
【专题】方程思想；定义法；直线与圆；逻辑思维．
【答案】（1）3，（x﹣3）2+y2＝9；
（2）x2+y2﹣8x+12＝0．
【分析】（1）求出圆的半径，即可求圆C的标准方程；
（2）设P（x，y），则由题意可得，化简可得结论．
【解答】解：（1）由题意，圆心为C（3，0），过点，
则半径，
所以圆C的标准方程为（x﹣3）2+y2＝9；
（2）设P（x，y），则由题意可得，
化简可得x2+y2﹣8x+12＝0．
【点评】本题考查点的轨迹方程，属于简单题．
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