2026届高考物理一轮复习讲义：受力分析 共点力的平衡

专题三 受力分析　共点力的平衡
[人教版必修第一册]
1．第三章第5节P72页，共点力作用下物体平衡的条件是什么？
提示：合力为0。
2．第三章第5节【例1】对小孩进行受力分析时的各力分析顺序能否颠倒？
提示：不能，受力分析时先分析场力（重力），再分析接触力（支持力、摩擦力），其中分析接触力时需先分析支持力，再分析摩擦力。
3．第三章第5节【例2】三力的平衡用什么方法解决？
提示：①合成法：两个力的合力和第三个力平衡的方法；②正交分解法；③分解法：按作用效果进行分解。
4．第三章第5节P75页【练习与评价T3】如何处理OA段刚被拉断的题目条件？
提示：此刻OA段达到最大拉力的临界，即OA段拉力为50 N。
5．第三章【复习与提高A组T3】设计一个测量纸跟桌面之间的动摩擦因数的小实验？
提示：把纸粘在木块的下表面，使纸跟水平桌面接触，用测力计水平拉木块做匀速运动，测出拉力F与木块的重力G，由Ff＝F，FN＝G，则即可测出。
6．第三章【复习与提高B组T7】为什么拔河时身体要往后倾倒，跟地面的夹角很小？
提示：拔河时，可以认为静止的运动员受到重力G、水平方向绳子的拉力FT和地面对运动员的作用力F这三个共点力作用而处于平衡，F的水平分力为静摩擦力Ff，竖直分量为地面支持力FN。当绳子上的拉力增大时，人要不被拉动，要求静摩擦力也增大。由于共点力平衡可知，由于FN＝G是不变的，F与地面的夹角越小，Ff就越大，因此人要往后倾倒。
受力分析：
1．受力分析的一般顺序
2．受力分析的方法步骤
题型一 单个物体的受力分析
（多选）（2024·河南·联考题）如图所示，一个质量m＝0.4 kg的小球穿在水平直杆上处于静止状态，现对小球施加一个5 N的拉力F，F与杆的夹角为53°，小球与杆之间的动摩擦因数μ＝0.5，则（g取10 N/kg）（　　）
A．小球受到2个力 B．小球受到3个力
C．若F＝10 N，则小球受4个力 D．若F＝10 N，则小球受3个力
答案 AC
解析　如图在沿杆和垂直杆方向建立直角坐标系，当F＝5 N时，F在y轴上的分力Fy＝Fsin 53°＝4 N，F与重力在y轴上的合力刚好为0，所以杆与小球只接触不挤压，无弹力和摩擦力，A正确，B错误；当F＝10 N时，Fy＝8 N，F与重力在y轴上的合力为4 N，垂直于杆向上，此时杆对小球的弹力垂直于杆向下，且F在水平方向上有分力，因此杆对小球还有摩擦力，小球一共受4个力，C正确，D错误。
题型二 多个物体的受力分析（整体隔离法）
（2024·江苏·模拟题）如图所示，倾角为θ的斜面体C置于水平面上，B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与A相连接，连接B的一段细绳与斜面平行，A、B、C都处于静止状态。则（　　）
A．B受到C的摩擦力一定不为零
B．C受到水平面的摩擦力一定不为零
C．水平面对C的摩擦力方向可能向右
D．水平面对C的支持力大于B、C的总重力
答案 B
解析 A、当B的重力沿斜面向下的分力等于绳子的拉力时，B不受摩擦力；当B的重力沿斜面向下的分力不等于绳子的拉力时，B受摩擦力，故A错误；
BC、以BC组成的整体为研究对象，分析受力，画出力图如图：
根据平衡条件得水平面对C的摩擦力f＝Fcos θ，方向一定水平向左，故B正确，C错误；
D、由图得到水平面对C的支持力大小N＝GC＋GB－Fsin θ＜GC＋GB，故D错误。
受力分析的两种方法
整体法 将加速度相同的几个相互关联的物体作为一个整体进行受力分析的方法 选用原则 （1）当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法。 （2）在分析系统内各物体（或一个物体各部分）间的相互作用时，宜用隔离法。 （3）整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法。
隔离法 将所研究的对象从周围的物体中分离出来，单独进行受力分析的方法
1．如图所示，A、B两质量均匀的钢管，管上端分别用细线悬挂着，管下端搁在水平地面上，处于静止状态。悬挂A管的细线倾斜，悬挂B管的细线恰好竖直。关于两管的受力情况，下列说法正确的是（ ）
A．地面对A管的作用力方向竖直向上
B．A管的下端有向左运动的趋势
C．地面对B管的支持力可能为零
D．地面对B管的摩擦力方向向右
答案 B
解析 AB、A管上方的细线对A管的拉力斜向左上方，A管的下端有向左运动的趋势，地面对A管有向右的摩擦力，同时地面对A管的支持力方向竖直向上，所以地面对A管的作用力方向斜向右上方，故A错误、B正确；
CD、B管上方的细线沿竖直方向，B管相对于地面水平方向没有运动趋势，地面对B管没有摩擦力；B管受到重力、细线的拉力、地面的支持力而平衡，所以地面对B管的支持力不可能为零，故CD错误。
故选：B。
2．如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在力F作用下，A、B保持静止。物体B的受力个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 先以AB整体为研究对象，受到竖直向下的重力和竖直向上的推力F，若墙对整体有水平方向的支持力，则A、B不能保持静止，故墙对整体没有支持力。
再以物体A为研究对象，受力情况如图甲所示，此时，墙对物体A没有支持力。
最后以物体B为研究对象，结合牛顿第三定律，其受力情况如图乙所示，即要保持物体B平衡，B应受到重力、压力、摩擦力、力F共4个力的作用，故C正确。
1．共点力的平衡条件
（1）平衡状态：物体处于静止或匀速直线运动的状态，即a＝0。
（2）平衡条件：F合＝0或
2．平衡条件的推论
（1）二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反。
（2）三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余两个力的合力大小相等，方向相反。
（3）多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合力大小相等，方向相反。
3．求解共点力的平衡问题的常用方法
方法 内容
合成与分解法 三个共点力平衡时，任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反；或将任意一个力沿着另外两个力的方向分解，则其分力一定分别与两个力大小相等、方向相反
正交分解法 物体受到多个力作用平衡时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
矢量三角形法 三个共点力平衡时，将力的矢量图平移，使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
题型一 合成法与分解法的应用
（2025·河北·历年真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（ ）
A． B． C．G D．
答案 B
解析 分析可知当凹槽底部对小球支持力为零时，此时拉力F最大，
根据平衡条件有2Fmcos 45°＝G
解得Fm＝
故选B。
题型二 正交分解法的应用
（2024·贵州·历年真题）如图（a），一质量为m的匀质球置于固定钢质支架的水平横杆和竖直墙之间，并处于静止状态，其中一个视图如图（b）所示。测得球与横杆接触点到墙面的距离为球半径的1.8倍，已知重力加速度大小为g，不计所有摩擦，则球对横杆的压力大小为（ ）
A． B． C． D．
答案 D
解析 球的受力分析如图
根据几何关系可知sin α＝
根据力的分解可知FN cos α＝mg，解得FN＝
根据牛顿第三定律可知球对横杆的压力大小为，故ABC错误，D正确。
故选：D。
题型三 力的三角形法的应用
（2024·广西·模拟题）如图所示，内壁光滑的等边三角形框架中放置一铁球，铁球跟三角形框架的三个面刚好接触，在一次搬运过程中，工人将框架以A为轴逆时针缓慢抬起，当AC边转到偏离竖直方向向左的夹角为15°时（sin 75°＝），AB边与AC边受到的压力之比为（ ）
A． B． C． D．
答案　A
解析　当AC边以A为轴逆时针转动到向左偏离竖直方向15°角时，对铁球进行受力分析可知，此时BC边跟铁球之间没有作用力，铁球受到重力G、AB边作用力FAB和AC边作用力FAC三个力作用，力的方向及力的矢量三角形如图所示，根据正弦定理有，A项正确。
题型四 整体法和隔离法在多物体平衡中的应用
（2024·浙江·历年真题）如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50 g，细线c、d平行且与水平成θ＝30°（不计摩擦），则细线a、b的拉力分别为（　　）
A．2 N，1 N B．2 N，0.5 N C．1 N，1 N D．1 N，0.5 N
答案 D
解析 对A、B整体受力分析，如图1所示，由于Td＝Tc＝mg（由于不计摩擦，所以滑轮两侧的绳子上的拉力大小相等，对配重P、Q分别受力分析，由力的平衡条件有Td＝Tc＝mg），且二者共线反向，则由力的平衡条件有Ta＝2mg＝1 N，方向竖直向上；对A单独受力分析，如图2所示，根据力的平衡条件，水平方向上有Tbcos α＝Tccos θ，竖直方向上有Tbsin α＋Tcsin θ＝mg，联立并代入数据解得α＝θ＝30°，Tb＝Tc＝mg＝0.5 N。综上可知，D正确。
应用共点力平衡条件解题的步骤：
①确定平衡状态：一般为静止或匀速直线运动状态（即加速度为零）。
②选取研究对象：根据题目要求，选取一个平衡体（单个物体或系统，也可以是结点）作为研究对象。
③画受力示意图：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
④合成或分解：一般情况下三个力直接合成或分解，四个及四个以上的力采用正交分解法。
⑤列方程求解：根据平衡条件列出平衡方程，解平衡方程，对结果进行讨论。
1．（2023·河北·历年真题）如图，轻质细杆AB上穿有一个质量为m的小球C，将杆水平置于相互垂直的固定光滑斜面上，系统恰好处于平衡状态。已知左侧斜面与水平面成30°角，则左侧斜面对杆AB支持力的大小为（　　）
A．mg B． C． D．
答案 B
解析　对轻杆和小球组成的系统进行受力分析，如图，设左侧斜面对杆AB支持力的大小为NA，由平衡条件有NA＝mgcos 30°，得NA＝，故选B。
2．如图所示，质量m＝2 kg的三角形木楔置于倾角θ＝37°的固定粗糙斜面上，三角形木楔的AB边和AC边相等，∠BAC＝74°，它与斜面间的动摩擦因数为0.5，水平向右的推力F垂直作用在AB边上，在力F的推动下，木楔沿斜面向上匀速运动，ABC与斜面在同一竖直平面内，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，则木楔匀速运动过程中受到的摩擦力大小为（　　）
A．20.0 N B．12.8 N C．12.0 N D．8.0 N
答案 A
解析　因AB边和AC边长度相等，∠BAC＝74°，由几何知识可知∠ABC＝53°，由于斜面倾角θ＝37°，故AB边竖直，推力F水平向右，对木楔的受力分析如图所示，根据平衡条件可得Fcos θ＝Ff＋mgsin θ，FN＝Fsin θ＋mgcos θ，摩擦力Ff＝μFN，联立解得Ff＝20 N，故A正确。
3．（2023·重庆·模拟题）如图所示，一轻杆两端固定两个小球A、B，A球的质量是B球质量的3倍，轻绳跨过滑轮连接A和B，一切摩擦不计，平衡时OA和OB的长度之比为（　　）
A．1∶2 B．2∶1 C．1∶3 D．1∶4
答案 C
解析 设绳上拉力为FT，OA长L1，OB长L2，过O点作竖直向下的辅助线交AB于C点，如图所示， 对小球A进行受力分析，其所受绳子拉力FT和重力mAg的合力与轻杆的弹力等大、反向， 则力的三角形与△OCA相似，则有，同理对B球进行受力分析可得，联立以上两式可得，故A、B、D错误，C正确。
4．（2024·湖北·历年真题）如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为（　　）
A． B． C．2f D．3f
答案 B
解析　由题意可知货船S做匀速直线运动，对其受力分析如图甲所示，根据受力平衡有2Tcos 30°＝f，解得缆绳的拉力大小T＝，由于拖船P也做匀速直线运动，对其受力分析如图乙所示，根据受力平衡有(Tsin 30°)2＋(f＋Tcos 30°)2＝F2，解得F＝，B正确。
1．在共点力作用下的动态平衡过程中物体始终处于一系列的平衡状态，在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。
2．动态平衡的常用方法
（1）解析法
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式（通常要用到三角函数），最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
（2）图解法
此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。一般按照以下流程解题：
（3）相似三角形法
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且能找到矢量三角形与空间几何三角形相似，则可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
（4）正弦定理法（辅助圆法）
正弦定理法：如图1所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任何一个力的大小分别与另外两个力的夹角的正弦成正比，即。推导过程如下，由于三个力处于平衡状态，则F1和F2的合力与F3等大反向，如图2所示，在三力所构成的矢量三角形中，利用正弦定理可得，利用三角函数化简即可得到。
在动态平衡问题中，如果一个恒力所对的另外两个力的夹角不变，通常能用此法很好解决问题。
辅助圆法：一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。
基本矢量图，如图所示。
题型一 解析法的应用
（多选）（2024·河北·联考题）如图所示，木块甲在光滑的水平面上，质量为m的球乙置于木块与光滑竖直墙壁之间，在水平向左的推力F作用下，系统处于静止状态。其中O点为乙的球心，A点为甲、乙之间的接触点，OA与竖直方向的夹角为30°，取重力加速度大小为g。则（ ）
A．推力F的大小为
B．木块甲对球乙的支持力大小为
C．若木块甲左移少许，系统仍静止，墙壁对球乙的支持力变小
D．若木块甲左移少许，系统仍静止，地面对木块甲的支持力变大
答案　AC
解析　以球乙为研究对象，受力分析如图（a），根据受力平衡，可得FN1sin 30°＝FN2，FN1cos 30°＝mg，解得FN1＝，FN2＝，对甲受力分析，如图（b），由牛顿第三定律可知，球乙对木块甲的压力大小为FN1′＝FN1＝，由平衡条件得F＝FN1′sin 30°＝，A项正确，B项错误；若木块甲左移少许，OA与竖直方向的夹角会变小，系统仍静止，有FN2＝mgtan θ，墙壁对球乙的支持力变小，C项正确；若木块甲左移少许，系统仍静止，整个系统竖直方向受力平衡，地面对木块甲的支持力仍然等于系统的重力大小，D项错误。
题型二 图解法的应用
（2025·河北邢台·联考题）“安吉游戏”源起浙江省安吉县，是安吉幼儿园“游戏”式的教学方法的简称。“安吉游戏”提倡把游戏还给孩子，让他们在自主、自由的游戏中学习。如图所示，是一个小朋友将一个篮球放在斜坡上，并用竖直挡板挡住，篮球处于静止状态。已知斜坡的倾角为θ（θ为锐角），挡板对篮球的弹力为F1，斜面对篮球的弹力为F2，不考虑篮球受到的摩擦力，下列说法正确的是（　　）
A．斜面对篮球的弹力F2小于挡板对篮球的弹力F1
B．斜面对篮球的弹力F2小于篮球重力G
C．缓慢地把挡板绕其与坡面的接触轴逆时针转一个较小角度，F1减小
D．缓慢地把挡板绕其与坡面的接触轴逆时针转一个较小角度，F2增大
答案 C
解析　对篮球受力分析如图所示，
设篮球质量m，由于篮球处于静止状态，所以F1和mg的合力大小等于F2，则有F2＝，F1＝mgtan θ＝Gtan θ，故F2＞F1，F2＞G，故A、B错误；对篮球进行受力分析如图所示
绕O缓慢把挡板绕其与坡面的接触轴逆时针转一个较小角度，图中的B点缓慢下移，则F1减小，F2也减小，故C正确，D错误。故选C。
题型三 相似三角形法的应用
（多选）（2024·广东·模拟题）如图所示，一轻杆通过铰链固定在竖直墙上的O点，轻杆的另一端C用弹性轻绳连接，轻绳的另一端固定在竖直墙上的A点。某人用竖直向下、大小为F的拉力作用于C点，静止时AOC构成等边三角形。下列说法正确的是（　　）
A．此时弹性轻绳的拉力大小为F
B．此时弹性轻绳的拉力大小为2F
C．若缓慢增大竖直向下的拉力，则在OC到达水平位置之前，轻绳AC的拉力增大
D．若缓慢增大竖直向下的拉力，则在OC到达水平位置之前，轻杆OC对C点的作用力减小
答案 AC
解析 AB．轻杆通过铰链固定在竖直墙上的O点，可知轻杆对C端的支持力方向沿杆的方向，两边细线的拉力方向成120°角，轻杆的弹力方向在两细绳拉力的平分线上，可知两边细绳的拉力大小相等，均为F，选项A正确，B错误；
CD．对C受力分析如图
由相似三角形可知
若缓慢增大竖直向下的拉力F，则在OC到达水平位置之前，轻绳AC的拉力T增大，轻杆OC对C点的作用力N变大，选项C正确，D错误。
故选AC。
题型四 正弦定理法（或辅助圆法）的应用
（多选）（2023·湖北·模拟题）如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定圆环上的A、B两点，O为圆心。O点下面悬挂一物体M，绳OA水平，拉力大小为F1，绳OB与绳OA的夹角α＝120°，拉力大小为F2。将两绳同时缓慢顺时针转过75°，并保持两绳之间的夹角α始终不变，物体始终保持静止状态。则在旋转过程中，下列说法正确的是（　　）
A．F1逐渐增大 B．F1先增大后减小
C．F2逐渐减小 D．F2先减小后增大
答案 BC
解析 方法一：正弦定理法
如图所示，以结点O为研究对象进行受力分析。由正弦定理得，其中α＝120°不变，则比值不变，γ由钝角变为锐角，sin γ先变大后变小，则F1先增大后减小，β由90°变为钝角，则sin β变小，F2逐渐减小，故B、C正确，A、D错误。
方法二：辅助圆法
物体始终保持静止，合力为零，所以mg、F1、F2构成封闭的矢量三角形如图所示
由于重力不变，以及F1和F2夹角α＝120°不变，即β＝60°
矢量三角形动态图如图所示，当θ＝β＝60°
F1为圆的直径最大，所以F1先增大后减小，F2一直减小。
故选BC。
一力恒定，另一力方向不变，则用图解法；
一力恒定，另两力均变化，且能找到力的矢量三角形跟几何三角形相似，则用相似三角形法；
一力恒定，另两力均变化，但两力的夹角不变，则可以用正弦定理法。
1．如图，一昆虫悬挂在水平树枝下，其足的股节与基节间的夹角为θ，且六条足都处于相同的拉力下。若昆虫稍微伸直足，则足的股节部分受到的拉力（　　）
A．增大 B．减小 C．不变 D．先减小后增大
答案 B
解析　设昆虫的质量为m，每条股节部分受到的拉力均为T，则由力的平衡条件可得6Tsin θ＝mg，解得T＝，向当昆虫稍微伸直足时，角θ变大，因此可知足的股节部分受到的拉力T将减小，故选B。
2．（2024·山东泰安·联考题）半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板MN。在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑的均匀小圆柱体Q，整个装置处于平衡状态，如图所示是这个装置的纵截面图。现使MN保持竖直并且缓慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，发现P始终保持静止。则在此过程中，下列说法中正确的是（　　）
A．MN对Q的弹力逐渐减小 B．地面对P的摩擦力逐渐增大
C．P、Q间的弹力先减小后增大 D．Q所受的合力逐渐增大
答案 B
解析　对Q受力分析，F1表示P对Q的弹力，F2表示MN对Q的弹力，F2的方向水平向左保持不变，F1的方向顺时针旋转，如图所示
由平行四边形的边长变化可知，F1与F2都逐渐增大，故A、C错误；对P、Q整体受力分析，由平衡条件得，Ff＝F2，由于F2不断增大，故Ff不断增大，故B正确；由于挡板MN缓慢移动，Q处于平衡状态，所受合力为零，故D错误。
3．（多选）如图所示，一斜面固定在水平面上，一半球形滑块固定在斜面上，球心O的正上方有一定滑轮A（视为质点），细线的一端与一质量分布均匀的光滑圆球B连接，另一端绕过滑轮A在水平向右的拉力F作用下使圆球B保持静止。改变拉力F的大小，使圆球B从两球心等高的位置缓慢移动到圆球B的球心正好在O点的正上方（不考虑该位置的情况）。圆球B不会与定滑轮A接触，则下列说法正确的是（　　）
A．拉力F一直减小
B．拉力F先增大后减小
C．半球形滑块对圆球B的支持力先增大后减小
D．半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变
答案 AD
解析 对B进行受力分析并合成三角形如图所示，根据几何关系可知图中力构成的矢量三角形与阴影部分的三角形相似，则，移动过程中，高度h和两球的球心距离r不变，所以半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变，绳子长度l变短，F减小，BC错误，AD正确。故选AD。
4．如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（　　）
A．圆柱体对木板的压力逐渐增大
B．圆柱体对木板的压力先增大后减小
C．两根细绳上的拉力均先增大后减小
D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
答案 B
解析 设两绳子对圆柱体的拉力的合力为FT，木板对圆柱体的支持力为FN，从右向左看如图所示，在矢量三角形中，根据正弦定理，在木板以直线MN为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，α不变，γ从90°逐渐减小到0，又γ＋β＋α＝180°且α＜90°，则开始时β为锐角，当γ减小到0°时，β为钝角，故β从锐角逐渐增大到钝角，根据，由sin γ不断减小可知FT不断减小，sin β先增大后减小，可知FN先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小；设两绳子之间的夹角为2θ，绳子拉力为FT′，则2FT′cos θ＝FT，可得FT′＝，θ不变，FT逐渐减小，可知绳子拉力不断减小，故B正确，ACD错误。故选B。
1．临界问题：当某物理量变化时， 会引起其他几个物理量的变化， 从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等。
常见临界状态有：
（1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
（2）绳子恰好绷紧，拉力F＝0。
（3）刚好离开接触面，支持力FN＝0。
2．极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
题型一 数学分析法
（2024·河南·联考题）物理老师举行技巧挑战赛，要求用一根最大能承受拉力为75 N的细绳，尽可能沿水平地面拉动更重的物体，如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物体可视为质点，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，则理论上利用这根细绳能拉动物体的最大重量是（　　）
A．150 N B．125 N C．100 N D．75 N
答案 B
解析 设绳子与水平方向的夹角为θ时， 能拉动物体的重量为G， 根据平衡条件得竖直方向有G＝Tmax sin θ＋N，水平方向有Tmax cos θ＝f，又f＝μN，联立可得G＝100cos θ＋75sin θ＝125sin (θ＋53°)N，可知当θ＝37°时，重物的重量最大为125 N，故B正确。
题型二 物理分析法
（2023·山西·联考题）如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L。现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加力的最小值为（　　）
A．mg B． C． D．
答案 C
解析 由题图可知，为使CD绳水平，各绳均应绷紧，由几何关系可知，AC与水平方向的夹角为60°；结点C受力平衡，受力分析如图所示，则CD绳的拉力FT＝mgtan 30°＝；D点受CD绳拉力大小等于FT，方向向左，要使CD绳水平，D点两绳的拉力与外界的力的合力应为零，则CD绳对D点的拉力可分解为沿BD绳的F1及另一分力F2，由几何关系可知，当BD绳上的拉力F′与F1大小相等，且力F2与BD绳垂直时，F2最小，而F2的大小等于施加在D点的力的大小，故最小力F＝F2＝FTsin 60°＝，故C正确。
题型三 极限分析法
（2025·河北·联考题）如图所示，两个相同小物块A、B（可视为质点）静止放在粗糙水平面上，两物块与水平面间的动摩擦因数相同，两根等长轻杆一端分别通过光滑铰链连接在A、B上，另一端通过光滑铰链连接在O处，两杆之间的夹角为α。现对O施加一个竖直向上的拉力F，已知物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）若A、B的重力大小均为G，动摩擦因数为μ，要使两物块发生滑动，F应满足什么条件？
（2）若α＝60°，对O施加一个竖直向下的压力F，无论F多大均不能使A、B与水平面发生相对滑动，则物块与水平面间的动摩擦因数应满足什么条件？
答案 解：（1）把力F的作用效果分解，对A受力分析，如图
则F＝，可得F2＝
若A刚好要相对滑动，水平方向＝Ff1，竖直方向FN1＋＝G，
又Ff1＝μFN1，解得F＝
要使两物块发生滑动，F应满足F＞
（2）把力F效果分解，对A受力分析，如图
则F＝
要使A不发生相对滑动，对A，水平方向＝Ff2，竖直方向FN2＝G＋
又Ff2≤fmax＝μFN2，解得μ≥
当F→∞时μ≥
所以无论F多大均不能使A、B与水平面发生相对滑动，则物块与水平面间的动摩擦因数应满足μ≥
（一）数学分析法
根据物体的平衡条件列方程，在解方程时利用数学知识求极值。通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论公式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。
（二）物理分析法
根据平衡条件作出力的矢量图，若只受三个力，则这三个力能构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。
（三）极限分析法
首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。
1．一个质量为1 kg的物体放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做匀速运动，已知这个最小拉力为6 N，g＝10 m/s2，则下列关于物体与地面间的动摩擦因数μ，最小拉力与水平方向的夹角θ的取值正确的是（ ）
A．μ＝，θ＝0 B．μ＝，tan θ＝
C．μ＝，tan θ＝ D．μ＝，tan θ＝
答案　B
解析　受力分析如图所示，因为物体处于平衡状态，水平方向有Fcos α＝μFN，竖直方向有Fsin α＋FN＝mg，联立可解得F＝，tan φ＝，当α＋φ＝90°时，sin (α＋φ)＝1，F有最小值Fmin＝，代入数值得μ＝，此时α＝θ，tan θ＝tan α＝，B项正确。
2．将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示。用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且O、a间细线与竖直方向的夹角保持θ＝30°，重力加速度为g。则F达到最小值时O、a间细线上的拉力为　（ ）
A． B．mg C． D．
答案　A
解析　以两个小球组成的整体为研究对象，分析受力，作出F在三个方向时整体的受力图，根据平衡条件知，F与FT的合力与重力2mg总是大小相等、方向相反， 由力的合成图可知，当F与O、a间细绳垂直时，F有最小值，即图中2位置，根据平衡条件得F＝2mgsin 30°＝mg，FT＝2mgcos 30°＝，A项正确。
3．（2023·河北·模拟题）北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示．若支撑点距水平地面的高度为 m，木棍与水平地面间的动摩擦因数为，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端不发生侧滑，则木棍的长度最大为（　　）
A．1.5 m B． m C．2 m D． m
答案 C
解析 设木棍与水平方向夹角为θ，木棍长度为L，粮仓对木棍的作用力大小为F，则为使木棍下端一定不发生侧滑，由平衡条件有Fcos θ≤μFsin θ，由几何知识有tan θ＝，两式联立解得L≤2 m，即木棍的长度最大为2 m，故A、B、D错误，C正确。