2026年高三数学上学期专题突破练：不等式问题（含解析）

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2026年高三数学上学期专题突破练：不等式问题
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 鄞州区校级期中）已知a＞b＞0，则“”是“m＞0”的（　　）
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
2．（2025春 双峰县校级月考）不等式的解集是（　　）
A．[2024，2025] B．[2024，2025）
C．（﹣∞，2025] D．（2024，+∞）
3．（2026 杭州校级开学）设a，b，c均为不等于1的正数，且a﹣2＝b3＝c6，则abc的值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
4．（2026春 山东校级期末）已知a＞0，b∈R，若关于x的不等式（ax﹣2）（x2+bx﹣6）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，则4a﹣b的最小值是（　　）
A．2 B． C．3 D．
5．（2026春 山东校级期末）已知a＞0，b＞0且a+b＝1，则的最小值是（　　）
A．49 B．50 C．51 D．52
6．（2025 肇庆一模）已知函数，则不等式f（x）＞1的解集为（　　）
A．（﹣1，+∞） B．（﹣1，3）
C．（1，+∞） D．（﹣1，1）∪（e，+∞）
7．（2024秋 固镇县校级期末）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”．发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025春 双峰县校级月考）对于二维形式的柯西不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），a，b，c，d∈R，我们证明它的最直接的一种方法就是作差法，事实上也可以根据向量不等式证明，例如取，，并结合向量不等式即可证明，根据以上提示，请问函数的最大值是（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 大理州月考）已知a＞0，b＞0，且，则（　　）
A．ab≤2 B．b＞1
C． D．
（多选）10．（2026春 山东校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＜b，c＞d，则a﹣c＜b﹣d
C．若a＞b，则
D．若a3＞b3，则a＞b
（多选）11．（2025春 米东区校级期末）已知正数x、y，满足x+y＝2，则下列说法正确的是（　　）
A．xy的最大值为1 B．x2+y2的最小值为
C．的最小值为2 D．的最小值为3
三．填空题（共3小题）
12．（2025秋 罗湖区校级月考）已知正数a，b满足a+4b+ab＝12，则ab的最大值为　 　 ．
13．（2025春 凭祥市校级月考）已知函数，则f（x）的最小值为 　 　 ．
14．（2026春 山东校级期末）已知a＞0，b＞0，且2a+b＝2，若恒成立，则实数t的取值范围是 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 保定期中）已知关于x的不等式ax2﹣2x﹣8＜0的解集为{x|﹣2＜x＜b}．
（1）求a，b的值；
（2）若x＞0，y＞﹣2，且，求x+2y的最小值．
16．（2025春 廊坊期中）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝2．
（1）证明：．
（2）求的最小值．
17．（2025春 临渭区校级期末）已知正实数x，y满足x+3y＝1．
（1）求xy的最大值；
（2）若不等式有解，求实数m的取值范围．
18．（2024秋 蒲江县校级月考）（1）已知x＞2，求的最小值；
（2）已知，求x+y的最小值．
（3）已知x，y∈R+，x+y＝1，求的最小值．
19．（2024秋 南昌县校级期末）问题：正实数a，b满足a+b＝1，求的最小值．其中一种解法是：
，当且仅当且a+b＝1时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数x，y满足x+y＝1，求的最小值：
（2）若实数a，b，x，y满足，求证：a2﹣b2≤（x﹣y）2；
（3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值．
2026年高三数学上学期专题突破练：不等式问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C B A D B B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD BD ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 鄞州区校级期中）已知a＞b＞0，则“”是“m＞0”的（　　）
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
【解答】解：若m＞0，a＞b＞0，则，则，
所以“”是“m＞0”的必要性成立；
反之，若，则，
又a＞b＞0，所以，即m（b+m）＞0，此时m＞0不一定成立，
比如m＝﹣3＜0，b＝2＞0，此时m（b+m）＝3＞0，充分性不成立，
所以“”是“m＞0”的充分性不成立，
所以“”是“m＞0”的必要不充分条件．
故选：D．
2．（2025春 双峰县校级月考）不等式的解集是（　　）
A．[2024，2025] B．[2024，2025）
C．（﹣∞，2025] D．（2024，+∞）
【解答】解：，
即不等式的解集为[2024，2025）．
故选：B．
3．（2026 杭州校级开学）设a，b，c均为不等于1的正数，且a﹣2＝b3＝c6，则abc的值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
【解答】解：根据题意，a﹣2＝b3＝c6，即b3＝c6，
由于b3＝c6，变形可得b＝c2，
若b3，则有a2b3＝a2b2b＝a2b2c2＝（abc）2＝1，
又a，b，c均为不等于1的正数，必有abc＝1．
故选：C．
4．（2026春 山东校级期末）已知a＞0，b∈R，若关于x的不等式（ax﹣2）（x2+bx﹣6）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，则4a﹣b的最小值是（　　）
A．2 B． C．3 D．
【解答】解：由a＞0，可知函数f（x）＝ax﹣2在区间（0，+∞）上单调递增，
当时，f（x）＜0；当时，f（x）＞0．
令g（x）＝x2+bx﹣6，若关于x的不等式（ax﹣2）（x2+bx﹣6）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，
则g（x）＜0在时成立；g（x）＞0在时成立．
由此可得0，即6＝0，整理得，
所以，当且仅当，即时取等号，
综上所述，a且b时，4a﹣b的最小值为．
故选：B．
5．（2026春 山东校级期末）已知a＞0，b＞0且a+b＝1，则的最小值是（　　）
A．49 B．50 C．51 D．52
【解答】解：a＞0，b＞0且a+b＝1，则（）（a+b）
＝16+925+225+24，当且仅当，即4a＝3b，而a+b＝1，
即a，b时取等号．
故选：A．
6．（2025 肇庆一模）已知函数，则不等式f（x）＞1的解集为（　　）
A．（﹣1，+∞） B．（﹣1，3）
C．（1，+∞） D．（﹣1，1）∪（e，+∞）
【解答】解：，
当x≥1时，lnx＞1，解得x＞e，
{x|x＞e}与{x|x≥1}求交集得{x|x＞e}，
当x＜1，ex+1＞1，解得x＞﹣1，
{x|x＞﹣1}与{x|x＜1}求交集得{x|﹣1＜x＜1}，
故f（x）＞1的解集为（﹣1，1）∪（e，+∞）．
故选：D．
7．（2024秋 固镇县校级期末）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”．发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，80（1+a）（1+b）＝80（1+x）2，而a＞0，b＞0，x＞0，
因此，当且仅当a＝b时取等号，
所以．
故选：B．
8．（2025春 双峰县校级月考）对于二维形式的柯西不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），a，b，c，d∈R，我们证明它的最直接的一种方法就是作差法，事实上也可以根据向量不等式证明，例如取，，并结合向量不等式即可证明，根据以上提示，请问函数的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），，
当且仅当时，即时，等号成立．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 大理州月考）已知a＞0，b＞0，且，则（　　）
A．ab≤2 B．b＞1
C． D．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，且，所以，即ab≥2，当且仅当2a＝b＝2时，等号成立，A错误．
因为，所以．因为a＞0，所以0，解得b＞1，B正确．
因为，所以，所以．因为ab≥2，所以，即，C正确．
因为，所以，当且仅当时，等号成立，D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（2026春 山东校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＜b，c＞d，则a﹣c＜b﹣d
C．若a＞b，则
D．若a3＞b3，则a＞b
【解答】解：当c＝0时，A显然错误；
由a＜b，c＞d可得﹣c＜﹣d，则a﹣c＜b﹣d，B正确；
当a＝1，b＝﹣1时，C显然错误；
若a3＞b3，则a＞b一定成立，D正确．
故选：BD．
（多选）11．（2025春 米东区校级期末）已知正数x、y，满足x+y＝2，则下列说法正确的是（　　）
A．xy的最大值为1 B．x2+y2的最小值为
C．的最小值为2 D．的最小值为3
【解答】解：根据，当且仅当x＝y＝1时取等号，可知A正确；
根据，当且仅当x＝y＝1时取等号，可知B错误；
根据，当且仅当x＝y＝1时取等号，可知C正确；
根据，当且仅当x＝y＝1时取等号，可知D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025秋 罗湖区校级月考）已知正数a，b满足a+4b+ab＝12，则ab的最大值为　4　 ．
【解答】解：由均值不等式，，即，，
所以，解得ab≤4，当且仅当即时取等号，
所以ab的最大值为4．
故答案为：4．
13．（2025春 凭祥市校级月考）已知函数，则f（x）的最小值为 　2　 ．
【解答】解：因为，当且仅当，即x＝1取等号，
则f（x）的最小值为2．
故答案为：2．
14．（2026春 山东校级期末）已知a＞0，b＞0，且2a+b＝2，若恒成立，则实数t的取值范围是 　[﹣1，4]　 ．
【解答】解：根据a＞0且b＞0，可得，
当且仅当时，等号成立．
因为不等式恒成立，所以t2﹣3t≤（）min＝4，
即t2﹣3t﹣4≤0，解得﹣1≤t≤4，所以实数t的取值范围是[﹣1，4]．
故答案为：[﹣1，4]．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 保定期中）已知关于x的不等式ax2﹣2x﹣8＜0的解集为{x|﹣2＜x＜b}．
（1）求a，b的值；
（2）若x＞0，y＞﹣2，且，求x+2y的最小值．
【解答】解：（1）因为ax2﹣2x﹣8＜0解集为（﹣2，b），
所以，解得；
（2）由（1）知，a＝1，b＝4，
所以，
所以x+2y
，
当且仅当时，等号成立，
综上，x+2y最小值．
16．（2025春 廊坊期中）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝2．
（1）证明：．
（2）求的最小值．
【解答】（1）证明：由基本不等式可得，
当且仅当，即a＝2b＝1时，等号成立，
因为a＞0，b＞0，且a+2b＝2，所以，所以，
当且仅当a＝2b＝1时，等号成立，
所以，所以，
即，当且仅当a＝2b＝1时，等号成立；
（2）解：因为a+2b＝2，a＞0，b＞0，可得（a+2b）＝1，
所以（220）（12+20）＝16，
当且仅当，即，时，等号成立，
即的最小值是16．
17．（2025春 临渭区校级期末）已知正实数x，y满足x+3y＝1．
（1）求xy的最大值；
（2）若不等式有解，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，x+3y＝1，
∴，解得，
当且仅当即，时等号成立，
∴xy的最大值为．
（2）∵，
当且仅当即，时，等号成立，
∴由题意得，
∴，解得﹣4≤m＜﹣2，
∴m的取值范围是[﹣4，﹣2）．
18．（2024秋 蒲江县校级月考）（1）已知x＞2，求的最小值；
（2）已知，求x+y的最小值．
（3）已知x，y∈R+，x+y＝1，求的最小值．
【解答】解：（1）因为x＞2，
所以x﹣2＞0，
由基本不等式可得，，
当且仅当，即x﹣2＝2，此时x＝4，的最小值为6．
（2）由x＞0，y＞0，，
得，
当且仅当且1，即y＝4，x＝4时等号成立，
所以x+y的最小值为8．
（3）由x，y∈R+，x+y＝1得2x+y+y+3＝5，
则
，
当且仅当x+y＝1，，即，时取等号，
所以的最小值为．
19．（2024秋 南昌县校级期末）问题：正实数a，b满足a+b＝1，求的最小值．其中一种解法是：
，当且仅当且a+b＝1时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数x，y满足x+y＝1，求的最小值：
（2）若实数a，b，x，y满足，求证：a2﹣b2≤（x﹣y）2；
（3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值．
【解答】（1）解：若正实数x，y满足x+y＝1，
则5，当且仅当且x+y＝1，即x2，y＝3时取等号，
此时取得最小值5+2；
（2）证明：若实数a，b，x，y满足，
则a2﹣b2＝（a2﹣b2）（）＝x2+y2﹣（）≤x2+y2﹣2x2+y2﹣2|xy|≤x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2，
当且仅当且xy≥0时取等号，
所以a2﹣b2≤（x﹣y）2；
（3）令x，y，则x2﹣3y2＝1，即1，
由（2）得，x﹣y，
当且仅当且x2﹣3y2＝1，即x，y时取等号，此时m，
故M的最小值为．
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