2026年高三数学上学期专题突破练：函数概念与性质（含解析）

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2026年高三数学上学期专题突破练：函数概念与性质
一．选择题（共8小题）
1．（2026春 山东校级期末）函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 邹城市校级月考）已知函数f（x）的定义域为R，且f（1+x）﹣f（x）＝0，当0≤x＜1时，，则（　　）
A． B．1 C． D．
3．（2025 合肥模拟）已知函数，对 x∈R满足f（﹣x）＝f（x）恒成立，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
4．（2025 肇庆一模）已知定义在R上的函数g（x）＝ex﹣e﹣x+f（x），其中g（x）是奇函数且在R上单调递减，的解集为（　　）
A． B． C． D．（4，+∞）
5．（2025 东西湖区校级模拟）已知函数g（x）的定义域为R，且满足下列性质：
① m，n∈R，mg（n）﹣ng（m）＝mn（n﹣m）；
② m，n∈[1，2]，g（mn）≥g（m）g（n）．
则下列说法一定正确的为（　　）
A．g（x）在（﹣1，1）上无最小值
B．g（x）在上单调递减
C．g（x）在（﹣1，1）上有最小值
D．g（x）在上单调递增
6．（2025春 九龙坡区校级月考）函数的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2025春 立山区校级期中）已知函数，则函数y＝f（x）的图像对称中心是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025春 个旧市校级期中）已知函数f（x）的定义域为R，f（1）＝0，且f（0）≠0， x，y∈R都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），则下列说法正确的命题是（　　）
①f（0）＝1；
② x∈R，f（﹣x）+f（x）＝0；
③f（x）关于点（1，0）对称；
④．
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 湖北期中）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0，且当x≥0时，f（x）＝2ex﹣x﹣a．若f（k（a+cosx））+f（﹣cosx）≤0在R上恒成立，则k的可能取值为（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
（多选）10．（2024秋 聊城期末）已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f′（x），满足f（x+y）＝f（x）+f（y）+4xy，f（1）＝2，f′（0）＝0，则（　　）
A．f（0）＝﹣2 B．f（﹣2）＝8
C．f′（1）＝4 D．
（多选）11．（2025春 鄞州区校级期中）已知函数f（x）定义域为R，则下列选项中的等式不可能在x∈R时恒成立的有（　　）
A．f（2x﹣x2）＝|x+1|
B．
C．f（ex+2 e﹣x）＝ex+e2﹣x
D．f（f（x））＝x2﹣2
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 长沙校级期末）已知函数f（x+1）为偶函数，且f（x）在[1，+∞）单调递减，f（2）＝0．若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是 　 　 ．
13．（2025春 白山期末）已知f（x+1）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）＝f（2﹣x），当x∈（1，3]时，f（x）＝ex﹣2x，则f（2025）+f（2026）＝ 　 　 ．
14．（2025春 海城区校级期中）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足f（x+3）＝﹣f（x），当0＜x＜3时，f（x）＝ax+2b（a＞0，b＞0），若f（2024）＝2，则的最小值为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 雁江区校级期中）已知函数f（x）＝lnx﹣mx+1，g（x）＝x（ex﹣1）．
（1）若f（x）的最大值是0，求m的值；
（2）若对任意x＞0，f（x）≤g（x）恒成立，求m的取值范围．
16．（2024秋 吉林期末）已知函数，且f（1）＝10．
（1）求a；
（2）判断函数f（x）在[3，+∞）上的单调性，并用定义法证明；
（3）求函数f（x）在区间[3，6]上的最大值和最小值．
17．（2024秋 沧州期末）已知函数．
（1）判断f（x）的奇偶性，并用定义证明；
（2）判断f（x）在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明．
18．（2025春 嘉定区校级期中）已知二次函数f（x）满足f（0）＝2，函数g（x）满足g（x﹣1）＝4x﹣7，且不等式f（x）+g（x）＜0的解集为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式f（3x）≥（2m﹣1） 3x+9x对任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
19．（2025春 顺德区校级期中）设函数．
（1）写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）若，求函数f（x）的最值及对应的x的值；
（3）若不等式|f（x）﹣m|＜1在恒成立，求实数m的取值范围．
2026年高三数学上学期专题突破练：函数概念与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B B C A C D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 CD BCD ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2026春 山东校级期末）函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可得，有2x﹣3≥0且x﹣2≠0，
解得且x≠2，
所以原函数的定义域为．
故选：D．
2．（2024秋 邹城市校级月考）已知函数f（x）的定义域为R，且f（1+x）﹣f（x）＝0，当0≤x＜1时，，则（　　）
A． B．1 C． D．
【解答】解：因为f（1+x）﹣f（x）＝0，所以f（1+x）＝f（x），函数f（x）的周期为1，
因为当0≤x＜1时，，
所以．
故选：B．
3．（2025 合肥模拟）已知函数，对 x∈R满足f（﹣x）＝f（x）恒成立，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【解答】解：因为，且f（﹣x）＝f（x），
因此，
，
因此，
因此，因此，
因此﹣2x+2ax＝0，因此a＝1．
故选：B．
4．（2025 肇庆一模）已知定义在R上的函数g（x）＝ex﹣e﹣x+f（x），其中g（x）是奇函数且在R上单调递减，的解集为（　　）
A． B． C． D．（4，+∞）
【解答】解：定义在R上的函数g（x）＝ex﹣e﹣x+f（x），且g（x）是奇函数，y＝ex﹣e﹣x也是奇函数，
所以f（x）＝g（x）﹣（ex﹣e﹣x）为奇函数，
因为y＝ex﹣e﹣x是增函数，g（x）是减函数，所以f（x）在R上单调递减．
因为，所以，解得．
故选：B．
5．（2025 东西湖区校级模拟）已知函数g（x）的定义域为R，且满足下列性质：
① m，n∈R，mg（n）﹣ng（m）＝mn（n﹣m）；
② m，n∈[1，2]，g（mn）≥g（m）g（n）．
则下列说法一定正确的为（　　）
A．g（x）在（﹣1，1）上无最小值
B．g（x）在上单调递减
C．g（x）在（﹣1，1）上有最小值
D．g（x）在上单调递增
【解答】解：由于函数g（x）的定义域为R，
且mg（n）﹣ng（m）＝mn（n﹣m），
令m＝1，n＝x，
则g（x）﹣xg（1）＝x（x﹣1），
得g（x）＝x2+[g（1）﹣1]x，
对称轴为，
由g（mn）≥g（m）g（n），
令m＝n＝1，
则有g（1）≥g2（1），
可知0≤g（1）≤1，
则，
故g（x）在上不一定单调递增或单调递减，故B，D不确定；
由于g（x）＝x2+[g（1）﹣1]x表示开口向上的抛物线，
故函数g（x）必有最小值，C正确，A错误．
故选：C．
6．（2025春 九龙坡区校级月考）函数的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）f（x），
所以f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，排除选项CD；
当x＞1时，，排除选项B；
验证选项A的函数图象符合要求．
故选：A．
7．（2025春 立山区校级期中）已知函数，则函数y＝f（x）的图像对称中心是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：任意取函数f（x）上一点（a，b），则，
对于A，点（a，b）关于点成中心对成的点为点，
，故A错误；
同理BD错误；
对于C，点（a，b）关于点成中心对成的点为点（3﹣a，2﹣b），
，故C正确；
故函数y＝f（x）的图像对称中心是（，1）．
故选：C．
8．（2025春 个旧市校级期中）已知函数f（x）的定义域为R，f（1）＝0，且f（0）≠0， x，y∈R都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），则下列说法正确的命题是（　　）
①f（0）＝1；
② x∈R，f（﹣x）+f（x）＝0；
③f（x）关于点（1，0）对称；
④．
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
【解答】解：对于①，由于 x，y∈R都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），
所以令x＝y＝0，则f（0）+f（0）＝2f（0）f（0），即f（0）＝f2（0），
因为f（0）≠0，所以f（0）＝1，所以①正确；
对于②，令x＝0，则f（y）+f（﹣y）＝2f（0）f（y）＝2f（y），
所以f（y）＝f（﹣y），即f（x）＝f（﹣x），
所以 x∈R，f（﹣x）﹣f（x）＝0，所以②错误；
对于③，令x＝1，则f（1+y）+f（1﹣y）＝2f（1）f（y）＝0，所以f（1+y）＝﹣f（1﹣y），
即f（1+x）＝﹣f（1﹣x），所以f（x）关于点（1，0）对称，所以③正确；
对于④，因为f（1+x）＝﹣f（1﹣x），所以f（2+x）＝﹣f（﹣x），
因为f（x）＝f（﹣x），所以f（2+x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝﹣f（2+x），
所以f（4+x）＝f（x），所以f（x）的周期为4，
在f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y）中，令x＝y＝1，则
f（2）+f（0）＝2f（1）f（1）＝0，因为f（0）＝1，所以f（2）＝﹣1，
f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝0，f（4）＝f（0）＝1，
所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0+（﹣1）+0+1＝0，
所以，所以④正确．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 湖北期中）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0，且当x≥0时，f（x）＝2ex﹣x﹣a．若f（k（a+cosx））+f（﹣cosx）≤0在R上恒成立，则k的可能取值为（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0，则f（x）为奇函数，
因此f（0）＝2e0﹣0﹣a＝0，因此a＝2，
则当x≥0时，f（x）＝2ex﹣x﹣a，则f′（x）＝2ex﹣1＞0恒成立，
因此函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
因此f（x）在R上递增，
不等式f（k（2+cosx））+f（﹣cosx）≤0转化为：f（k（2+cosx））≤f（cosx），
因此k（2+cosx）≤cosx，即，
因为x∈R，因此cosx∈[﹣1，1]，则，故k≤﹣1．
故选：CD．
（多选）10．（2024秋 聊城期末）已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f′（x），满足f（x+y）＝f（x）+f（y）+4xy，f（1）＝2，f′（0）＝0，则（　　）
A．f（0）＝﹣2 B．f（﹣2）＝8
C．f′（1）＝4 D．
【解答】解：对于选项A，令x＝y＝0，那么f（0）＝2f（0），因此f（0）＝0，所以选项A错误；
对于选项B，令x＝1，y＝﹣1，得f（0）＝f（1）+f（﹣1）﹣4，因此f（﹣1）＝2，
令x＝y＝﹣1，那么f（﹣2）＝2f（﹣1）+4＝8，所以选项B正确；
对于选项C，令y＝1，那么f（x+1）＝f（x）+f（1）+4x＝f（x）+4x+2，
那么f′（x+1）＝f′（x）+4，
令x＝0，所以f′（1）＝f′（0）+4＝4，所以选项C正确；
对于选项D，根据f′（x+1）＝f′（x）+4，得f′（x+1）﹣f′（x）＝4，
因此{f′（n）}是以4为首项，4为公差的等差数列，
因此，所以选项D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（2025春 鄞州区校级期中）已知函数f（x）定义域为R，则下列选项中的等式不可能在x∈R时恒成立的有（　　）
A．f（2x﹣x2）＝|x+1|
B．
C．f（ex+2 e﹣x）＝ex+e2﹣x
D．f（f（x））＝x2﹣2
【解答】解：对于A选项，当x＝0时，f（0）＝1，当x＝2时，f（0）＝3，与函数的定义矛盾，
因此f（2x﹣x2）＝|x+1|不可能在x∈R时恒成立，故A选项正确；
对于B选项，令，
因此，因此g（x）为R上的偶函数，
令h（x）＝10086x+10086﹣x，因此h（﹣x）＝10086﹣x+10086x＝h（x），
因此h（x）为R上的偶函数，
任取0＜x1＜x2，因此
，
因0＜x1＜x2，因此，因此h（x1）﹣h（x2）＜0，
因此h（x）在（0，+∞）上单调递增，
不妨设h（x3）＝h（x4），因此有x3＝x4或x3＝﹣x4，因此g（x3）＝g（x4），因此f（x）符合函数定义，
因此可能在x∈R时恒成立，故B选项错误；
对于C选项，令x＝0，因此f（3）＝1+e2，
令x＝ln2，因此，与函数的定义矛盾，
因此f（ex+2 e﹣x）＝ex+e2﹣x不可能在x∈R时恒成立，故C选项正确；
对于D选项，假设存在函数f（x）使得f（f（x））＝x2﹣2成立，
令g（x）＝x2﹣2，因此g（g（x））＝x的根为，
令A＝{x7，x8，x9，x10}，因此f（f（x））＝x2﹣2可变形为g（x）＝f（f（x）），
因此g（g（x7））＝x7，g（g（x8））＝x8，g（g（x8））＝x8，g（g（x9））＝x9，
因此，
，
因此f（x7）≠f（x8）（否因此会有x8＝f（f（x7））＝f（f（x8））＝x7），
g（f（x7））＝f（f（f（x7）））＝f（x8），g（f（x8））＝f（f（f（x8）））＝f（x7），
因此g（g（f（x7）））＝g（f（x8））＝f（x7），因此f（x7）∈A，同理f（x8）∈A，
若f（x7）＝﹣1，因此，矛盾；
若f（x7）＝2，因此，矛盾；
若f（x7）＝x7，因此f（x7）＝x7＝f（f（x7））＝x8，矛盾；
若f（x7）＝x8，因此x8＝f（f（x7））＝f（x8），与f（x7）＝x7同理推出矛盾；
综上可知，f（x7） A，推出矛盾，故满足f（f（x））＝x2﹣2的函数不存在，故D选项正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 长沙校级期末）已知函数f（x+1）为偶函数，且f（x）在[1，+∞）单调递减，f（2）＝0．若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是 　（1，3）　 ．
【解答】解：根据题意，因为f（x+1）为偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称；
又f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以在（﹣∞，1]上单调递增；
又f（2）＝0，所以f（0）＝0．
综上，f（x）的草图可以如下：
所以f（x﹣1）＞0 0＜x﹣1＜2 1＜x＜3．
故答案为：（1，3）．
13．（2025春 白山期末）已知f（x+1）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）＝f（2﹣x），当x∈（1，3]时，f（x）＝ex﹣2x，则f（2025）+f（2026）＝ 　e2﹣4　 ．
【解答】解：由f（x+1）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）＝f（2﹣x），
得f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），即f（2﹣x）＝﹣f（x），
故f（x+4）＝﹣f（x），f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），
因此函数f（x）的周期为8，
当x∈（1，3]时，f（x）＝ex﹣2x，则f（2）＝e2﹣4，结合f（1）＝0，
所以f（2025）+f（2026）＝f（1）+f（2）＝e2﹣4．
故答案为：e2﹣4．
14．（2025春 海城区校级期中）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足f（x+3）＝﹣f（x），当0＜x＜3时，f（x）＝ax+2b（a＞0，b＞0），若f（2024）＝2，则的最小值为 　4　 ．
【解答】解：因为f（x+3）＝﹣f（x），令x+3＝x代入可得f（x+6）＝﹣f（x+3）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），即函数f（x）的周期是6，则f（2024）＝ f（6×337+2）＝ f（2）＝2．
因为当0＜x＜3时，f（x）＝ax+2b，所以f（2）＝2a+2b＝2，即a+b＝1．
因为a＞0，b＞0，所以时等号成立．
故的最小值为4．
故答案为：4．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 雁江区校级期中）已知函数f（x）＝lnx﹣mx+1，g（x）＝x（ex﹣1）．
（1）若f（x）的最大值是0，求m的值；
（2）若对任意x＞0，f（x）≤g（x）恒成立，求m的取值范围．
【解答】解：（1），
若m≤0，则f′（x）＞0，f（x）在定义域内单调递增，无最大值，不符合题意，舍去；
若m＞0，则当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
因此当时，f（x）取得极大值，也是最大值，
其最大值为，解得m＝1，
显然m＝1＞0符合题意，因此m的值为1．
（2）对任意x＞0，f（x）≤g（x）恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，
设，可得，
设q（x）＝x2ex+lnx，可得，
因此q（x）在（0，+∞）上单调递增，且，q（1）＞0，
因此q（x）有唯一零点，且，
因此，
构造函数h（x）＝xex，则h（x0）＝h（﹣lnx0），
又由函数h（x）＝xex在（0，+∞）上是增函数，因此x0＝﹣lnx0，
由φ（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
可得，
因此﹣m+1≤1，解得m≥0，因此m的取值范围是[0，+∞）．
16．（2024秋 吉林期末）已知函数，且f（1）＝10．
（1）求a；
（2）判断函数f（x）在[3，+∞）上的单调性，并用定义法证明；
（3）求函数f（x）在区间[3，6]上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）根据题意，函数，且f（1）＝10，
则有，解可得a＝9．
（2）根据题意，函数f（x）在[3，+∞）上单调递增，
证明如下：
由（1）知，，
设3≤x1＜x2，则，
由3≤x1＜x2，则x1x2﹣9＞0，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，
所以，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在[3，+∞）上单调递增．
（3）由（2）可知f（x）在[3，6]上单调递增，
所以，
则函数f（x）在[3，6]上的最大值为，最小值为6．
17．（2024秋 沧州期末）已知函数．
（1）判断f（x）的奇偶性，并用定义证明；
（2）判断f（x）在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明．
【解答】解：（1）函数f（x）是偶函数，证明如下：
由函数，可得其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
且，即f（﹣x）＝f（x），
所以f（x）是定义域上的偶函数．
（2）函数f（x）在区间上单调递减，证明如下：
设，
则
．
因为，可得，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以在区间上是单调递减函数．
18．（2025春 嘉定区校级期中）已知二次函数f（x）满足f（0）＝2，函数g（x）满足g（x﹣1）＝4x﹣7，且不等式f（x）+g（x）＜0的解集为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式f（3x）≥（2m﹣1） 3x+9x对任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）根据题目所给：已知二次函数f（x）满足f（0）＝2，
函数g（x）满足g（x﹣1）＝4x﹣7，且不等式f（x）+g（x）＜0的解集为．
由g（x﹣1）＝4x﹣7，得g（x﹣1）＝4（x﹣1）﹣3，则g（x）＝4x﹣3，
由二次函数f（x）满足f（0）＝2，设f（x）＝ax2+bx+2（a≠0），
不等式f（x）+g（x）＜0，即ax2+（b+4）x﹣1＜0，
依题意，是方程ax2+（b+4）x﹣1＝0的二实根，且a＞0，
于是，解得a＝2，b＝﹣3，
所以f（x）的解析式为f（x）＝2x2﹣3x+2．
（2）由（1）知，f（x）＝2x2﹣3x+2，
不等式，
依题意，不等式对任意的x∈R恒成立，
而3x＞0，，当且仅当，即时取等号，
因此，解得，
所以实数m的取值范围是．
19．（2025春 顺德区校级期中）设函数．
（1）写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）若，求函数f（x）的最值及对应的x的值；
（3）若不等式|f（x）﹣m|＜1在恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）依题意，，
由，得，
所以f（x）的单调递增区间为．
（2）由（1）知，当时，，
则当，因此时，；
当，因此时，，
所以函数f（x）的最小值为，对应，最大值为0，对应．
（3）不等式|f（x）﹣m|＜1 m﹣1＜f（x）＜m+1，
由（2）知，当时，，f（x）max＝0，
依题意，当时，m﹣1＜f（x）＜m+1恒成立，
因此且m+1＞0，解得m的取值范围为．
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