2026年高三数学上学期专题突破练：圆锥曲线与方程（含解析）
文档属性
| 名称 | 2026年高三数学上学期专题突破练：圆锥曲线与方程（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 951.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-11 11:25:48 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2026年高三数学上学期专题突破练：圆锥曲线与方程
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 河南月考）椭圆的焦距为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
2．（2025 长春校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是E的渐近线上的一点，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025 金水区校级四模）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P是左支上一点，且△PF1F2的面积为b2，若△PF1F2的内切圆与y轴相切，则双曲线的离心率e＝（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2025春 兴宁区校级期中）设抛物线y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M，过点M作x轴的平行线交抛物线于点N．已知△NAB的面积为，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．±2
5．（2025秋 丽江月考）已知椭圆C：的上顶点为A，直线l：9x﹣10y﹣57＝0与椭圆C相交于P，Q两点，线段PQ的中点为B，直线AB恰好经过椭圆C的右焦点F，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．（2025春 深圳月考）已知A1，A2为双曲线C：的左，右顶点，点P在双曲线C上，△PA1A2为等腰三角形，且底角为30°，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2025 永州二模）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过点F2作x轴的垂线交C于A，B两点，其中点A在第一象限，且|AF1|＝2|AF2|．若P是C上的动点，则满足△PF1F2是直角三角形的点P的个数为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
8．（2024秋 保定期末）已知点在抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线上，过点A的直线与抛物线在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则|BF|＝（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 东西湖区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．已知曲线C：，点P（x0，y0）为曲线C上的任意一点，下列结论正确的是（ ）
A．曲线C关于x轴对称
B．曲线C围成的封闭图形的面积大于π
C．过原点O的直线与曲线C有且仅有两个交点
D．点P到原点O的距离不超过3
（多选）10．（2025 山东模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线l交椭圆于P，Q两点，则（ ）
A．△PQF2的周长为8
B．若直线l经过点F1，则|PQ|的最小值是1
C．若线段PQ中点坐标为（1，1），则直线l的方程为x+4y﹣5＝0
D．若点M是椭圆C上的任意一点，点N是圆D：x2+（y﹣2）2＝1上的任意一点，则|MN|的最大值为
（多选）11．（2024秋 西安校级期末）法国数学家加斯帕 蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则（ ）
A．椭圆Γ的离心率为
B．△MPQ面积的最大值为
C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为
D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 普陀区校级期中）若双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝ ．
13．（2025春 柳州月考）直线y＝x与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为﹣8，则双曲线的离心率为 ．
14．（2025春 安徽月考）如图，雷达接收器的工作原理是将接收信号汇集到同一焦点，从而获取信息；已知雷达接收器的截面曲线可看作抛物线y2＝6x，则水平光信号入射到抛物线上点A，经抛物线反射到点B，反射光线与x轴的交点为F，则AF BF的最小值为 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 湖南期中）已知抛物线M：y2＝2px（p＞0）的焦点F为椭圆的右焦点，且N的右顶点为D．
（1）求M的方程；
（2）设过点D且倾斜角为135°的直线l与M交于A，B两点，求|AB|．
16．（2025春 顺义区校级期中）椭圆的左、右顶点分别为A，B过右焦点F的直线l与椭圆交于C，D两点（与A，B重合），设kAC＝k1，kBD＝k2．
（1）求椭圆的离心率e与右焦点F的坐标．
（2）求证：为定值．
17．（2025春 柳州月考）圆心在x轴上移动的圆经过点A（﹣4，0），且与x轴，y轴分别交于B（x，0），C（0，y）两个动点．
（1）求点T（x，y）的轨迹E的方程；
（2）过点D（3，2）作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与曲线E相交于P1，Q1两点，l2与曲线E相交于P2，Q2两点，线段P1Q1，P2Q2的中点分别为M，N．
（ⅰ）试问直线MN是否经过定点？若是，请求出该定点的坐标，若不是，请说明理由；
（ⅱ）求△AMN面积的最小值．
18．（2026 杭州校级开学）已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y＝﹣1的相切；
（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM＝∠QNM．
19．（2025春 长沙校级期末）如图，双曲线的一个焦点F（4，0），且双曲线的一条渐近线方程为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若AB为垂直于x轴的动弦，点N（1，0），直线AF与BN交于点G．
（i）求证：点G恒在双曲线C上；
（ii）若A和G在双曲线的同一支上，请直接写出△AGN面积的最小值，无需书写过程．
2026年高三数学上学期专题突破练：圆锥曲线与方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D A D A C C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD BCD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 河南月考）椭圆的焦距为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
【解答】解：在椭圆中，，b＝2，则，
因此，椭圆的焦距为2c＝2．
故选：C．
2．（2025 长春校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是E的渐近线上的一点，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为双曲线的渐近线方程为，
因为PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，
所以|F1O|＝|OP|，∠PF1F2＝∠F1PO，所以∠POF2＝2∠PF1F2，
又，
所以，
即，
所以．
故选：C．
3．（2025 金水区校级四模）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P是左支上一点，且△PF1F2的面积为b2，若△PF1F2的内切圆与y轴相切，则双曲线的离心率e＝（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：设内切圆圆心为I，三个切点分别为D、E、M，
则|F2M|＝|F2E|，
即c﹣xM＝|PF2|﹣|PE|＝|PF2|﹣|PD|＝|PF2|﹣|PF1|+|DF1|＝2a+|F1M|
＝2a+（c+xM），
即xM＝﹣a，
即xI＝xM，
则圆I与x轴切于左端点．内切圆半径r＝a．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则n﹣m＝2a，4c2＝m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，
即4b2＝4c2﹣4a2＝2mn（1﹣cos∠F1PF2），
又 ，
则∠F1PF2＝90°，
即|PD|＝|PE|＝r＝a，
即|PF1|＝c，|PF2|＝2a+c，
由勾股定理4c2＝c2+（2a+c）2，
整理得﹣2c2+4a2+4ac＝0，
所以c2﹣2ac﹣2a2＝0，
解得，
所以．
故选：D．
4．（2025春 兴宁区校级期中）设抛物线y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M，过点M作x轴的平行线交抛物线于点N．已知△NAB的面积为，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．±2
【解答】解：设p＝2，
此时K（﹣1，0），
设直线l的方程为x＝ty﹣1（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x并整理得y2﹣4ty+4＝0．
此时Δ＝（﹣4t）2﹣4×4＝16t2﹣16＞0，
解得t2＞1，
由韦达定理得y1+y2＝4t，y1y2＝4，
所以．
因为点M是线段AB的中点，
所以M（2t2﹣1，2t），
易知N（t2，2t），
所以|MN|＝t2﹣1，
又，
所以△NAB的面积2，
解得t2＝2，
此时满足Δ＞0，
所以，
则直线l的斜率为．
故选：A．
5．（2025秋 丽江月考）已知椭圆C：的上顶点为A，直线l：9x﹣10y﹣57＝0与椭圆C相交于P，Q两点，线段PQ的中点为B，直线AB恰好经过椭圆C的右焦点F，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解答】解：设F（c，0），A（0，b），P（x1，y1），Q（x2，y2），B（x0，y0），
∵，∴，即（c，﹣b）＝2（x0﹣c，y0），
∴，，即．
∵B为线段PQ的中点，∴x1+x2＝3c，y1+y2＝﹣b，又P，Q为椭圆上两点，
∴两式相减得，
∴，化简得2a2＝10bc，
又∵a2＝b2+c2，∴2（b2+c2）＝10bc，即（b﹣3c）（3b﹣c）＝0，
∴或，
∴离心率或．
故选：D．
6．（2025春 深圳月考）已知A1，A2为双曲线C：的左，右顶点，点P在双曲线C上，△PA1A2为等腰三角形，且底角为30°，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：A1，A2为双曲线C：的左，右顶点，
点P在双曲线C上，△PA1A2为等腰三角形，且底角为30°，
不妨取P在双曲线右支上，
则|PA2|＝|A1A2|＝2a，，
过P作PD⊥x轴于D，∠PA2D＝60°，
∴|A2D|＝a，，
∴，∴，整理得到a＝b，即，
∴．
故选：A．
7．（2025 永州二模）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过点F2作x轴的垂线交C于A，B两点，其中点A在第一象限，且|AF1|＝2|AF2|．若P是C上的动点，则满足△PF1F2是直角三角形的点P的个数为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【解答】解：由题意可得，|AF1|+|AF2|＝2a，|AF1|＝2|AF2|，
∴，即，
P取上顶点时最大．
，
∴不会为直角，∴只有当或是直角才符合题意．
则满足△PF1F2是直角三角形的点P的个数为4个．
故选：C．
8．（2024秋 保定期末）已知点在抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线上，过点A的直线与抛物线在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则|BF|＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为，
∵点在准线上，∴即p＝4，
抛物线的方程为x2＝8y，即，
故点B为抛物线上的一点，
可设点B的坐标为，m＞0，
对求导可得，，
∴直线AB的斜率为，
由，，
则，解得，m＝6或（舍负），
∴点，由抛物线的定义可知，．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 东西湖区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．已知曲线C：，点P（x0，y0）为曲线C上的任意一点，下列结论正确的是（ ）
A．曲线C关于x轴对称
B．曲线C围成的封闭图形的面积大于π
C．过原点O的直线与曲线C有且仅有两个交点
D．点P到原点O的距离不超过3
【解答】解：对曲线C：，将其中的y换为﹣y，x不变，
可得方程不变，可得曲线C关于x轴对称，故A正确；
由0，可得x2+y2﹣2x≥0，即（x﹣1）2+y2≥0，
即有曲线C上的点在圆x2+y2﹣2x＝0上或外部，可得曲线C围成的封闭图形的面积大于π，故B正确；
令x＝0，可得y2＝|y|，解得y＝0，y＝±1，即有三个交点，故C错误；
由x2+y22x23，
即有3，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（2025 山东模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线l交椭圆于P，Q两点，则（ ）
A．△PQF2的周长为8
B．若直线l经过点F1，则|PQ|的最小值是1
C．若线段PQ中点坐标为（1，1），则直线l的方程为x+4y﹣5＝0
D．若点M是椭圆C上的任意一点，点N是圆D：x2+（y﹣2）2＝1上的任意一点，则|MN|的最大值为
【解答】解：因为椭圆中，a＝2，b＝1，c，
作出示意图如下：
对于A，若直线l经过点F1，如图一，则△PF2Q的周长为4a＝4×2＝8，
若直线l不经过点F1，如图二，
则△PF2Q的周长为|PQ|+|PF2|+|QF2|＜|PF1|+|QF1|+|PF2|+|QF2|＝4a＝8，故A错误；
对于B，也过左焦点F1的椭圆焦点弦中，通径最短为，故B正确；
对于C，显然直线l的斜率存在，
所以设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣1），设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立方程，得（4k2+1）x2+8k（1﹣k）x+4k2﹣8k＝0，
则，解得，
所以直线l的方程为，即x+4y﹣5＝0，故C正确；
对于D，设M（x0，y0），圆心D（0，2），
所以，
因为﹣1≤y0≤1，所以当时，|MD|取得最大值为，
此时|MN|取得最大值为，故D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（2024秋 西安校级期末）法国数学家加斯帕 蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则（ ）
A．椭圆Γ的离心率为
B．△MPQ面积的最大值为
C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为
D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则
【解答】解：依题意，过椭圆Γ的上顶点作y轴的垂线，过椭圆Γ的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，
所以，得a2＝2b2，所以椭圆Γ的离心率，故A正确；
因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ＝90°，所以PQ为圆C的直径，所以，
所以△MPQ面积的最大值为，故B正确；
设M（x0，y0），Γ的左焦点为F（﹣c，0），连接MF，
因为，所以，
又，所以，
则M到Γ的左焦点的距离的最小值为，故C错误；
由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，
设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），，，
又，所以，
所以，所以，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 普陀区校级期中）若双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝ ﹣4 ．
【解答】解：因为双曲线的虚轴长是实轴长的2倍
所以a2＝1，b2＝﹣m；
故a＝1，b，
所以．
故答案为：﹣4．
13．（2025春 柳州月考）直线y＝x与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为﹣8，则双曲线的离心率为 ．
【解答】解：根据题意可知，A，B两点在直线y＝x上，设A（x0，x0）（x0＞0），
由对称性可知，A，B两点关于原点对称，所以B（﹣x0，﹣x0），
由A，B两点的横坐标之积为﹣8，得x0 （﹣x0）＝﹣8，解得，
所以，代入双曲线方程得，解得a＝2，
所以，
所以离心率为．
故答案为：．
14．（2025春 安徽月考）如图，雷达接收器的工作原理是将接收信号汇集到同一焦点，从而获取信息；已知雷达接收器的截面曲线可看作抛物线y2＝6x，则水平光信号入射到抛物线上点A，经抛物线反射到点B，反射光线与x轴的交点为F，则AF BF的最小值为 9 ．
【解答】解：易知直线AB过抛物线的焦点F，
作AA1，BB1垂直于抛物线的准线，垂足分别为A1，B1，
设∠AFO＝θ，
易知AA1＝AF，
所以AA1+AFcosθ＝p，
即AF（1+cosθ）＝p，
可得，
同理得，
此时，
因为抛物线的方程为y2＝6x，
所以p＝3，
可得，
则AF BF的最小值为9．
故答案为：9．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 湖南期中）已知抛物线M：y2＝2px（p＞0）的焦点F为椭圆的右焦点，且N的右顶点为D．
（1）求M的方程；
（2）设过点D且倾斜角为135°的直线l与M交于A，B两点，求|AB|．
【解答】解：（1）由椭圆，可得c2＝9﹣5＝4，
所以N的右焦点坐标为（2，0），
所以抛物线M：y2＝2px（p＞0）的焦点F为（2，0），
故，即p＝4，
所以M的方程为y2＝8x．
（2）依题意可得直线l的方程为y＝﹣x+3，
由得x2﹣14x+9＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则Δ＝142﹣36＞0，x1+x2＝14，x1x2＝9，
则．
16．（2025春 顺义区校级期中）椭圆的左、右顶点分别为A，B过右焦点F的直线l与椭圆交于C，D两点（与A，B重合），设kAC＝k1，kBD＝k2．
（1）求椭圆的离心率e与右焦点F的坐标．
（2）求证：为定值．
【解答】解：（1）因为椭圆的方程为，
所以a2＝4，b2＝3，，
则椭圆的离心率．椭圆右焦点坐标为F（1，0）；
（2）证明：易知A（﹣2，0），B（2，0），
当直线l的斜率k≠0时，
设直线l的方程为x＝ty+1，C（x1，y1），D（x2，y2），
此时，，
联立，消去x并整理得（4+3t2）y2+6ty﹣9＝0，
此时Δ＝36t2+36（4+3t2）＝144t2+144＞0，
由韦达定理得，
所以，
可得
，
当直线l的斜率为0时，k1＝k2＝0，不能做比值，
所以k＝0情况不存在．
综上所述，为定值．
17．（2025春 柳州月考）圆心在x轴上移动的圆经过点A（﹣4，0），且与x轴，y轴分别交于B（x，0），C（0，y）两个动点．
（1）求点T（x，y）的轨迹E的方程；
（2）过点D（3，2）作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与曲线E相交于P1，Q1两点，l2与曲线E相交于P2，Q2两点，线段P1Q1，P2Q2的中点分别为M，N．
（ⅰ）试问直线MN是否经过定点？若是，请求出该定点的坐标，若不是，请说明理由；
（ⅱ）求△AMN面积的最小值．
【解答】解：（1）设圆心为（a，0），则半径为r＝|a+4|，因此圆的方程为：（x﹣a）2+y2＝（a+4）2，
令x＝0得y2＝（a+4）2﹣a2＝8（a+2），令y＝0得（x﹣a）2＝（a+4）2 x＝2（a+2）或x＝﹣4（舍去），
因此y2＝4x；
（2）（ⅰ）由题意有直线l1，l2的斜率存在，设直线l1的方程为y＝k（x﹣3）+2，则直线l2的方程为，
因此，因此Δ＝16﹣4k（8﹣12k）＝16（3k2﹣2k+1）＞0，
设P1（x1，y1），Q1（x2，y2），M（xM，yM），因此，，
又，因此，同理得N（2k2+2k+3，﹣2k），
因此，
因此直线MN的方程为：，
化简整理有：k（x﹣5）+（k2+k﹣1）y＝0，令x﹣5＝0，得y＝0，即x＝5，
因此直线MN过定点（5，0）；
（ⅱ）由（ⅰ）有，N（2k2+2k+3，﹣2k），直线MN的方程为k（x﹣5）+（k2+k﹣1）y＝0，
因此，
点A（﹣4，0）到直线MN的距离为，
因此△AMN面积为，
当且仅当，即k＝±1时，等号成立，
因此△AMN面积的最小值为18．
18．（2026 杭州校级开学）已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y＝﹣1的相切；
（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM＝∠QNM．
【解答】解：（1）证明：设点P的坐标为，因此；
又因为点P到直线y＝﹣1的距离为，
因此，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y＝﹣1的相切．
（2）证明：分别过点P，Q作直线y＝﹣1的垂线，垂足分别为H，R．
由（1）知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR．
因为PH，MN，QR都垂直于直线y＝﹣1，因此，PH∥MN∥QR，
因此，因此，Rt△PHN～Rt△QRN
于是∠HNP＝∠RNQ，从而∠PNM＝∠QNM．
19．（2025春 长沙校级期末）如图，双曲线的一个焦点F（4，0），且双曲线的一条渐近线方程为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若AB为垂直于x轴的动弦，点N（1，0），直线AF与BN交于点G．
（i）求证：点G恒在双曲线C上；
（ii）若A和G在双曲线的同一支上，请直接写出△AGN面积的最小值，无需书写过程．
【解答】解：（1）因为双曲线的一个焦点F（4，0），且双曲线的一条渐近线方程为，
所以c＝4，，
又b2＝c2﹣a2，
解得a2＝4，b2＝12，
则双曲线C的方程为；
（2）（i）证明：易知F（4，0），N（1，0）．
设A（m，n），m≠±2，
可得，①
当m≠4时，，，
直线AF方程为，直线BN的方程为，
因为直线AF与BN相交，
所以，
即，
联立，
解得，
即，
所以
，
此时点G恒在双曲线C上，
当m＝4时，点G与点B重合，也在双曲线C上，
综上所述：点G恒在双曲线C上；
（ii）由（i）知，，
当时，，
此时A和G不在双曲线的同一支上，
当m＜﹣2时，，
此时A和G不在双曲线的同一支上，
当时，，
此时A和G同在双曲线的右支上，
此时，
则A和G在x轴的两侧，
所以S△AGN
，
令2m﹣5＝t，
因为，
所以t＞0，
所以
，
因为t＞0，
所以，
当且仅当，即t＝3时，等号成立，
所以．
则△AGN面积的最小值为18．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2026年高三数学上学期专题突破练：圆锥曲线与方程
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 河南月考）椭圆的焦距为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
2．（2025 长春校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是E的渐近线上的一点，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025 金水区校级四模）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P是左支上一点，且△PF1F2的面积为b2，若△PF1F2的内切圆与y轴相切，则双曲线的离心率e＝（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2025春 兴宁区校级期中）设抛物线y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M，过点M作x轴的平行线交抛物线于点N．已知△NAB的面积为，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．±2
5．（2025秋 丽江月考）已知椭圆C：的上顶点为A，直线l：9x﹣10y﹣57＝0与椭圆C相交于P，Q两点，线段PQ的中点为B，直线AB恰好经过椭圆C的右焦点F，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．（2025春 深圳月考）已知A1，A2为双曲线C：的左，右顶点，点P在双曲线C上，△PA1A2为等腰三角形，且底角为30°，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2025 永州二模）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过点F2作x轴的垂线交C于A，B两点，其中点A在第一象限，且|AF1|＝2|AF2|．若P是C上的动点，则满足△PF1F2是直角三角形的点P的个数为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
8．（2024秋 保定期末）已知点在抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线上，过点A的直线与抛物线在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则|BF|＝（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 东西湖区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．已知曲线C：，点P（x0，y0）为曲线C上的任意一点，下列结论正确的是（ ）
A．曲线C关于x轴对称
B．曲线C围成的封闭图形的面积大于π
C．过原点O的直线与曲线C有且仅有两个交点
D．点P到原点O的距离不超过3
（多选）10．（2025 山东模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线l交椭圆于P，Q两点，则（ ）
A．△PQF2的周长为8
B．若直线l经过点F1，则|PQ|的最小值是1
C．若线段PQ中点坐标为（1，1），则直线l的方程为x+4y﹣5＝0
D．若点M是椭圆C上的任意一点，点N是圆D：x2+（y﹣2）2＝1上的任意一点，则|MN|的最大值为
（多选）11．（2024秋 西安校级期末）法国数学家加斯帕 蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则（ ）
A．椭圆Γ的离心率为
B．△MPQ面积的最大值为
C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为
D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 普陀区校级期中）若双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝ ．
13．（2025春 柳州月考）直线y＝x与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为﹣8，则双曲线的离心率为 ．
14．（2025春 安徽月考）如图，雷达接收器的工作原理是将接收信号汇集到同一焦点，从而获取信息；已知雷达接收器的截面曲线可看作抛物线y2＝6x，则水平光信号入射到抛物线上点A，经抛物线反射到点B，反射光线与x轴的交点为F，则AF BF的最小值为 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 湖南期中）已知抛物线M：y2＝2px（p＞0）的焦点F为椭圆的右焦点，且N的右顶点为D．
（1）求M的方程；
（2）设过点D且倾斜角为135°的直线l与M交于A，B两点，求|AB|．
16．（2025春 顺义区校级期中）椭圆的左、右顶点分别为A，B过右焦点F的直线l与椭圆交于C，D两点（与A，B重合），设kAC＝k1，kBD＝k2．
（1）求椭圆的离心率e与右焦点F的坐标．
（2）求证：为定值．
17．（2025春 柳州月考）圆心在x轴上移动的圆经过点A（﹣4，0），且与x轴，y轴分别交于B（x，0），C（0，y）两个动点．
（1）求点T（x，y）的轨迹E的方程；
（2）过点D（3，2）作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与曲线E相交于P1，Q1两点，l2与曲线E相交于P2，Q2两点，线段P1Q1，P2Q2的中点分别为M，N．
（ⅰ）试问直线MN是否经过定点？若是，请求出该定点的坐标，若不是，请说明理由；
（ⅱ）求△AMN面积的最小值．
18．（2026 杭州校级开学）已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y＝﹣1的相切；
（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM＝∠QNM．
19．（2025春 长沙校级期末）如图，双曲线的一个焦点F（4，0），且双曲线的一条渐近线方程为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若AB为垂直于x轴的动弦，点N（1，0），直线AF与BN交于点G．
（i）求证：点G恒在双曲线C上；
（ii）若A和G在双曲线的同一支上，请直接写出△AGN面积的最小值，无需书写过程．
2026年高三数学上学期专题突破练：圆锥曲线与方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D A D A C C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD BCD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 河南月考）椭圆的焦距为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
【解答】解：在椭圆中，，b＝2，则，
因此，椭圆的焦距为2c＝2．
故选：C．
2．（2025 长春校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是E的渐近线上的一点，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为双曲线的渐近线方程为，
因为PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，
所以|F1O|＝|OP|，∠PF1F2＝∠F1PO，所以∠POF2＝2∠PF1F2，
又，
所以，
即，
所以．
故选：C．
3．（2025 金水区校级四模）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P是左支上一点，且△PF1F2的面积为b2，若△PF1F2的内切圆与y轴相切，则双曲线的离心率e＝（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：设内切圆圆心为I，三个切点分别为D、E、M，
则|F2M|＝|F2E|，
即c﹣xM＝|PF2|﹣|PE|＝|PF2|﹣|PD|＝|PF2|﹣|PF1|+|DF1|＝2a+|F1M|
＝2a+（c+xM），
即xM＝﹣a，
即xI＝xM，
则圆I与x轴切于左端点．内切圆半径r＝a．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则n﹣m＝2a，4c2＝m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，
即4b2＝4c2﹣4a2＝2mn（1﹣cos∠F1PF2），
又 ，
则∠F1PF2＝90°，
即|PD|＝|PE|＝r＝a，
即|PF1|＝c，|PF2|＝2a+c，
由勾股定理4c2＝c2+（2a+c）2，
整理得﹣2c2+4a2+4ac＝0，
所以c2﹣2ac﹣2a2＝0，
解得，
所以．
故选：D．
4．（2025春 兴宁区校级期中）设抛物线y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M，过点M作x轴的平行线交抛物线于点N．已知△NAB的面积为，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．±2
【解答】解：设p＝2，
此时K（﹣1，0），
设直线l的方程为x＝ty﹣1（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x并整理得y2﹣4ty+4＝0．
此时Δ＝（﹣4t）2﹣4×4＝16t2﹣16＞0，
解得t2＞1，
由韦达定理得y1+y2＝4t，y1y2＝4，
所以．
因为点M是线段AB的中点，
所以M（2t2﹣1，2t），
易知N（t2，2t），
所以|MN|＝t2﹣1，
又，
所以△NAB的面积2，
解得t2＝2，
此时满足Δ＞0，
所以，
则直线l的斜率为．
故选：A．
5．（2025秋 丽江月考）已知椭圆C：的上顶点为A，直线l：9x﹣10y﹣57＝0与椭圆C相交于P，Q两点，线段PQ的中点为B，直线AB恰好经过椭圆C的右焦点F，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解答】解：设F（c，0），A（0，b），P（x1，y1），Q（x2，y2），B（x0，y0），
∵，∴，即（c，﹣b）＝2（x0﹣c，y0），
∴，，即．
∵B为线段PQ的中点，∴x1+x2＝3c，y1+y2＝﹣b，又P，Q为椭圆上两点，
∴两式相减得，
∴，化简得2a2＝10bc，
又∵a2＝b2+c2，∴2（b2+c2）＝10bc，即（b﹣3c）（3b﹣c）＝0，
∴或，
∴离心率或．
故选：D．
6．（2025春 深圳月考）已知A1，A2为双曲线C：的左，右顶点，点P在双曲线C上，△PA1A2为等腰三角形，且底角为30°，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：A1，A2为双曲线C：的左，右顶点，
点P在双曲线C上，△PA1A2为等腰三角形，且底角为30°，
不妨取P在双曲线右支上，
则|PA2|＝|A1A2|＝2a，，
过P作PD⊥x轴于D，∠PA2D＝60°，
∴|A2D|＝a，，
∴，∴，整理得到a＝b，即，
∴．
故选：A．
7．（2025 永州二模）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过点F2作x轴的垂线交C于A，B两点，其中点A在第一象限，且|AF1|＝2|AF2|．若P是C上的动点，则满足△PF1F2是直角三角形的点P的个数为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【解答】解：由题意可得，|AF1|+|AF2|＝2a，|AF1|＝2|AF2|，
∴，即，
P取上顶点时最大．
，
∴不会为直角，∴只有当或是直角才符合题意．
则满足△PF1F2是直角三角形的点P的个数为4个．
故选：C．
8．（2024秋 保定期末）已知点在抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线上，过点A的直线与抛物线在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则|BF|＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为，
∵点在准线上，∴即p＝4，
抛物线的方程为x2＝8y，即，
故点B为抛物线上的一点，
可设点B的坐标为，m＞0，
对求导可得，，
∴直线AB的斜率为，
由，，
则，解得，m＝6或（舍负），
∴点，由抛物线的定义可知，．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 东西湖区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．已知曲线C：，点P（x0，y0）为曲线C上的任意一点，下列结论正确的是（ ）
A．曲线C关于x轴对称
B．曲线C围成的封闭图形的面积大于π
C．过原点O的直线与曲线C有且仅有两个交点
D．点P到原点O的距离不超过3
【解答】解：对曲线C：，将其中的y换为﹣y，x不变，
可得方程不变，可得曲线C关于x轴对称，故A正确；
由0，可得x2+y2﹣2x≥0，即（x﹣1）2+y2≥0，
即有曲线C上的点在圆x2+y2﹣2x＝0上或外部，可得曲线C围成的封闭图形的面积大于π，故B正确；
令x＝0，可得y2＝|y|，解得y＝0，y＝±1，即有三个交点，故C错误；
由x2+y22x23，
即有3，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（2025 山东模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线l交椭圆于P，Q两点，则（ ）
A．△PQF2的周长为8
B．若直线l经过点F1，则|PQ|的最小值是1
C．若线段PQ中点坐标为（1，1），则直线l的方程为x+4y﹣5＝0
D．若点M是椭圆C上的任意一点，点N是圆D：x2+（y﹣2）2＝1上的任意一点，则|MN|的最大值为
【解答】解：因为椭圆中，a＝2，b＝1，c，
作出示意图如下：
对于A，若直线l经过点F1，如图一，则△PF2Q的周长为4a＝4×2＝8，
若直线l不经过点F1，如图二，
则△PF2Q的周长为|PQ|+|PF2|+|QF2|＜|PF1|+|QF1|+|PF2|+|QF2|＝4a＝8，故A错误；
对于B，也过左焦点F1的椭圆焦点弦中，通径最短为，故B正确；
对于C，显然直线l的斜率存在，
所以设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣1），设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立方程，得（4k2+1）x2+8k（1﹣k）x+4k2﹣8k＝0，
则，解得，
所以直线l的方程为，即x+4y﹣5＝0，故C正确；
对于D，设M（x0，y0），圆心D（0，2），
所以，
因为﹣1≤y0≤1，所以当时，|MD|取得最大值为，
此时|MN|取得最大值为，故D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（2024秋 西安校级期末）法国数学家加斯帕 蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则（ ）
A．椭圆Γ的离心率为
B．△MPQ面积的最大值为
C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为
D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则
【解答】解：依题意，过椭圆Γ的上顶点作y轴的垂线，过椭圆Γ的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，
所以，得a2＝2b2，所以椭圆Γ的离心率，故A正确；
因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ＝90°，所以PQ为圆C的直径，所以，
所以△MPQ面积的最大值为，故B正确；
设M（x0，y0），Γ的左焦点为F（﹣c，0），连接MF，
因为，所以，
又，所以，
则M到Γ的左焦点的距离的最小值为，故C错误；
由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，
设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），，，
又，所以，
所以，所以，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 普陀区校级期中）若双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝ ﹣4 ．
【解答】解：因为双曲线的虚轴长是实轴长的2倍
所以a2＝1，b2＝﹣m；
故a＝1，b，
所以．
故答案为：﹣4．
13．（2025春 柳州月考）直线y＝x与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为﹣8，则双曲线的离心率为 ．
【解答】解：根据题意可知，A，B两点在直线y＝x上，设A（x0，x0）（x0＞0），
由对称性可知，A，B两点关于原点对称，所以B（﹣x0，﹣x0），
由A，B两点的横坐标之积为﹣8，得x0 （﹣x0）＝﹣8，解得，
所以，代入双曲线方程得，解得a＝2，
所以，
所以离心率为．
故答案为：．
14．（2025春 安徽月考）如图，雷达接收器的工作原理是将接收信号汇集到同一焦点，从而获取信息；已知雷达接收器的截面曲线可看作抛物线y2＝6x，则水平光信号入射到抛物线上点A，经抛物线反射到点B，反射光线与x轴的交点为F，则AF BF的最小值为 9 ．
【解答】解：易知直线AB过抛物线的焦点F，
作AA1，BB1垂直于抛物线的准线，垂足分别为A1，B1，
设∠AFO＝θ，
易知AA1＝AF，
所以AA1+AFcosθ＝p，
即AF（1+cosθ）＝p，
可得，
同理得，
此时，
因为抛物线的方程为y2＝6x，
所以p＝3，
可得，
则AF BF的最小值为9．
故答案为：9．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 湖南期中）已知抛物线M：y2＝2px（p＞0）的焦点F为椭圆的右焦点，且N的右顶点为D．
（1）求M的方程；
（2）设过点D且倾斜角为135°的直线l与M交于A，B两点，求|AB|．
【解答】解：（1）由椭圆，可得c2＝9﹣5＝4，
所以N的右焦点坐标为（2，0），
所以抛物线M：y2＝2px（p＞0）的焦点F为（2，0），
故，即p＝4，
所以M的方程为y2＝8x．
（2）依题意可得直线l的方程为y＝﹣x+3，
由得x2﹣14x+9＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则Δ＝142﹣36＞0，x1+x2＝14，x1x2＝9，
则．
16．（2025春 顺义区校级期中）椭圆的左、右顶点分别为A，B过右焦点F的直线l与椭圆交于C，D两点（与A，B重合），设kAC＝k1，kBD＝k2．
（1）求椭圆的离心率e与右焦点F的坐标．
（2）求证：为定值．
【解答】解：（1）因为椭圆的方程为，
所以a2＝4，b2＝3，，
则椭圆的离心率．椭圆右焦点坐标为F（1，0）；
（2）证明：易知A（﹣2，0），B（2，0），
当直线l的斜率k≠0时，
设直线l的方程为x＝ty+1，C（x1，y1），D（x2，y2），
此时，，
联立，消去x并整理得（4+3t2）y2+6ty﹣9＝0，
此时Δ＝36t2+36（4+3t2）＝144t2+144＞0，
由韦达定理得，
所以，
可得
，
当直线l的斜率为0时，k1＝k2＝0，不能做比值，
所以k＝0情况不存在．
综上所述，为定值．
17．（2025春 柳州月考）圆心在x轴上移动的圆经过点A（﹣4，0），且与x轴，y轴分别交于B（x，0），C（0，y）两个动点．
（1）求点T（x，y）的轨迹E的方程；
（2）过点D（3，2）作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与曲线E相交于P1，Q1两点，l2与曲线E相交于P2，Q2两点，线段P1Q1，P2Q2的中点分别为M，N．
（ⅰ）试问直线MN是否经过定点？若是，请求出该定点的坐标，若不是，请说明理由；
（ⅱ）求△AMN面积的最小值．
【解答】解：（1）设圆心为（a，0），则半径为r＝|a+4|，因此圆的方程为：（x﹣a）2+y2＝（a+4）2，
令x＝0得y2＝（a+4）2﹣a2＝8（a+2），令y＝0得（x﹣a）2＝（a+4）2 x＝2（a+2）或x＝﹣4（舍去），
因此y2＝4x；
（2）（ⅰ）由题意有直线l1，l2的斜率存在，设直线l1的方程为y＝k（x﹣3）+2，则直线l2的方程为，
因此，因此Δ＝16﹣4k（8﹣12k）＝16（3k2﹣2k+1）＞0，
设P1（x1，y1），Q1（x2，y2），M（xM，yM），因此，，
又，因此，同理得N（2k2+2k+3，﹣2k），
因此，
因此直线MN的方程为：，
化简整理有：k（x﹣5）+（k2+k﹣1）y＝0，令x﹣5＝0，得y＝0，即x＝5，
因此直线MN过定点（5，0）；
（ⅱ）由（ⅰ）有，N（2k2+2k+3，﹣2k），直线MN的方程为k（x﹣5）+（k2+k﹣1）y＝0，
因此，
点A（﹣4，0）到直线MN的距离为，
因此△AMN面积为，
当且仅当，即k＝±1时，等号成立，
因此△AMN面积的最小值为18．
18．（2026 杭州校级开学）已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y＝﹣1的相切；
（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM＝∠QNM．
【解答】解：（1）证明：设点P的坐标为，因此；
又因为点P到直线y＝﹣1的距离为，
因此，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y＝﹣1的相切．
（2）证明：分别过点P，Q作直线y＝﹣1的垂线，垂足分别为H，R．
由（1）知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR．
因为PH，MN，QR都垂直于直线y＝﹣1，因此，PH∥MN∥QR，
因此，因此，Rt△PHN～Rt△QRN
于是∠HNP＝∠RNQ，从而∠PNM＝∠QNM．
19．（2025春 长沙校级期末）如图，双曲线的一个焦点F（4，0），且双曲线的一条渐近线方程为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若AB为垂直于x轴的动弦，点N（1，0），直线AF与BN交于点G．
（i）求证：点G恒在双曲线C上；
（ii）若A和G在双曲线的同一支上，请直接写出△AGN面积的最小值，无需书写过程．
【解答】解：（1）因为双曲线的一个焦点F（4，0），且双曲线的一条渐近线方程为，
所以c＝4，，
又b2＝c2﹣a2，
解得a2＝4，b2＝12，
则双曲线C的方程为；
（2）（i）证明：易知F（4，0），N（1，0）．
设A（m，n），m≠±2，
可得，①
当m≠4时，，，
直线AF方程为，直线BN的方程为，
因为直线AF与BN相交，
所以，
即，
联立，
解得，
即，
所以
，
此时点G恒在双曲线C上，
当m＝4时，点G与点B重合，也在双曲线C上，
综上所述：点G恒在双曲线C上；
（ii）由（i）知，，
当时，，
此时A和G不在双曲线的同一支上，
当m＜﹣2时，，
此时A和G不在双曲线的同一支上，
当时，，
此时A和G同在双曲线的右支上，
此时，
则A和G在x轴的两侧，
所以S△AGN
，
令2m﹣5＝t，
因为，
所以t＞0，
所以
，
因为t＞0，
所以，
当且仅当，即t＝3时，等号成立，
所以．
则△AGN面积的最小值为18．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
同课章节目录