2026年高三数学上学期专题突破练：平面向量及其应用（含解析）

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2026年高三数学上学期专题突破练：平面向量及其应用
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 南通月考）已知向量，，若，则x＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．4
2．（2026 杭州校级开学）用12根等长的火柴棒拼三角形（全部用上，不可折断、重叠），不可以拼成的是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3．（2026 杭州校级开学）已知△ABC的三边长为8、12、18，又知△A1B1C1也有一边长为12，且与△ABC相似而不全等，则这样的△A1B1C1个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2025 浙江二模）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（0，1） D．（0，0）
5．（2025 梅河口市校级二模）已知||＝||＝1，||，，设与的夹角为α，则α＝（　　）
A．240° B．225° C．135° D．90°
6．（2025 枣庄模拟）已知△ABC中，BC＝1，，若∠B的平分线交AC于点D，则BD的长为（　　）
A．或 B．或 C． D．
7．（2025春 云南月考）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，，，则C＝（　　）
A． B． C． D．或
8．（2025春 沙市区校级月考）如图，现有一块半径为10m的半圆形草坪，圆心记为O，AD是圆O的一条直径，现计划在草坪内修建一条步道A﹣B﹣C﹣D，B和C在弧AD上（不与A，D重合）AB＝CD，则步道长的最大值为（　　）
A．25m B．30m C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 项城市校级期末）若是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）10．（2025春 重庆校级期中）已知向量，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则m＝5
B．若∥，则m＝﹣2
C．若，则m＝﹣1
D．若m＝1，则向量，的夹角为钝角
（多选）11．（2025春 苏州校级期中）已知点M为△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则在上的投影向量为
B．若两两的夹角相等，且，则
C．若，且，则△ABC为等边三角形
D．若，且，则△MBC的面积是△ABC面积的
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 柳州月考）已知与的夹角，则 　 　 ．
13．（2025春 合江县校级期中）已知锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足：b2﹣a2﹣ac＝0，则角A的取值范围是 　 　 ．
14．（2025春 宁波校级月考）鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今已有四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔．现在在塔底共线三点A、B、C处分别测塔顶的仰角为30°、45°、60°，且m，则文星塔高为 　 　 m．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 南通月考）已知点A（1，0），B（0，2），C（2，1）．
（1）求；
（2）求cos∠BAC．
16．（2025 龙华区校级模拟）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角B的值；
（2）若，求a2+c2的取值范围．
17．（2025春 雁江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，，令．
（1）用表示；
（2）若AB＝AM＝2，且，求．
18．（2025春 项城市校级期末）在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c．向量，，且．
（1）求B的大小；
（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值；
（3）若a＝2，，求△ABC的面积．
19．（2025春 云南月考）在平面向量中，我们已经学习了两个向量，的一种乘积运算——内积（记作）运算，即我们平时所说的数量积运算，它的运算结果是一个数量．在神经网络的激活函数计算中，还会经常用到一种向量的乘积运算——哈达玛积（记作）运算，它是将两个向量的对应元素相乘的运算方法，它的运算结果是一个向量．对于任意的向量，，我们规定，的哈达玛积．
（1）若，，，求和；
（2）①若，，，证明：不等式，并指出取“＝”的条件；
②利用①的结论，解答以下问题：已知实数a，b满足a＞1，b＞1，loga3+logb81＝3，求ab的最小值．
2026年高三数学上学期专题突破练：平面向量及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C B C C D B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABC BD BCD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 南通月考）已知向量，，若，则x＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．4
【解答】解：向量，，，则有2×2﹣x×1＝0，解得x＝4．
故选：D．
2．（2026 杭州校级开学）用12根等长的火柴棒拼三角形（全部用上，不可折断、重叠），不可以拼成的是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解：不妨设一根火柴为一个单位长度，所以12根火柴可以拼成的三角形有，
（4，4，4），（2，5，5），（3，4，5）分别为等边三角形，等腰三角形，直角三角形．
故选：D．
3．（2026 杭州校级开学）已知△ABC的三边长为8、12、18，又知△A1B1C1也有一边长为12，且与△ABC相似而不全等，则这样的△A1B1C1个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：根据题意可知，△ABC的三边长为8、12、18，
根据相似三角形的性质，对应边成比例可得，
12可以是最小边，与8成比例；也可以是最大边，与18成比例，所以有两个三角形．
故选：C．
4．（2025 浙江二模）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（0，1） D．（0，0）
【解答】解：向量，，
则，
，，
故向量在向量上的投影向量为（﹣1，1）．
故选：B．
5．（2025 梅河口市校级二模）已知||＝||＝1，||，，设与的夹角为α，则α＝（　　）
A．240° B．225° C．135° D．90°
【解答】解：由，可得，
即，
因为，，则有，
解得，
因为，
所以135°．
故选：C．
6．（2025 枣庄模拟）已知△ABC中，BC＝1，，若∠B的平分线交AC于点D，则BD的长为（　　）
A．或 B．或 C． D．
【解答】解：根据sin（B）＝sin（B），可得sin（B）＝﹣cos[（B）]，
即sin（B）＝﹣cos（B），可得tan（B），
结合B∈（，），可知B，所以B．
因为BD平分角ABC，所以∠DBA＝∠DBC，
根据S△ABD+S△BCD＝S△ABC，可得AB BDsinBC BDsinAB BCsin，
即2×BD1×BD2×1，化简得2BD+BD＝2，解得BD．
故选：C．
7．（2025春 云南月考）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，，，则C＝（　　）
A． B． C． D．或
【解答】解：若a＝3，，，
由正弦定理可得，，即，
因为b＞a，所以B＞A，即或，经检验均符合题意，
所以或．
故选：D．
8．（2025春 沙市区校级月考）如图，现有一块半径为10m的半圆形草坪，圆心记为O，AD是圆O的一条直径，现计划在草坪内修建一条步道A﹣B﹣C﹣D，B和C在弧AD上（不与A，D重合）AB＝CD，则步道长的最大值为（　　）
A．25m B．30m C． D．
【解答】解：取BC、CD的中点M、N，连接OM、ON、OB、OC，则OM⊥BC，ON⊥CD，
因为AB＝CD，所以，∠DOC＝∠AOB，
因为∠DOC+∠AOB+∠BOC＝∠OCB+∠OBC+∠BOC＝π，∠OCB＝∠OBC，
所以∠OCB＝∠OBC＝∠DOC＝∠AOB，可得AB∥CD，故OM⊥AD．
设∠COD＝θ，0＜θ，则∠DON＝∠CON，∠COMθ，
故，，
故，
因为θ∈（0，]，所以，即，
因此当，即时，取得最大值，最大值为30，故步道长的最大值为30m．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 项城市校级期末）若是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于A，，不能作为平面向量的基底；
对于B，，不能作为平面向量的基底；
对于C，，不能作为平面向量的基底；
对于D，由于与不共线，可以作为平面向量的基底；
故选：ABC．
（多选）10．（2025春 重庆校级期中）已知向量，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则m＝5
B．若∥，则m＝﹣2
C．若，则m＝﹣1
D．若m＝1，则向量，的夹角为钝角
【解答】解：对于A，因为，，所以，，解得m＝5或m＝3，故A错误；
对于B，因为∥，所以2m＝﹣4，解得m＝﹣2，故B正确；
对于C，因为，所以，解得，故C错误；
对于D，当m＝1时，，，又因为此时，不共线，所以向量，的夹角为钝角，故D正确．
故选：BD．
（多选）11．（2025春 苏州校级期中）已知点M为△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则在上的投影向量为
B．若两两的夹角相等，且，则
C．若，且，则△ABC为等边三角形
D．若，且，则△MBC的面积是△ABC面积的
【解答】解：已知点M为△ABC所在平面内一点，
对于A选项，若，
∵，∴，
∴在上的投影向量为，故A选项错误；
对于B选项，若两两的夹角相等，且，
记向量分别为，
它们之间的夹角不可能都为0，故夹角为，
则
，故B选项正确；
对于C选项，若，且，
∵
，
∴cosB＝cosC，又B，C∈（0，π），
y＝cosx在区间（0，π）上单调递减，则B＝C，
又∵，
∴，∴为等边三角形，故C选项正确；
对于D选项，若，且，
令，∵，
∴3x+3y＝1，∴D，B，C三点共线，
又∵，∴M是线段AD上靠近点A的三等分点，
即点M到BC边的距离是点A到BC边的距离的，
且两三角形的底相同，高之比等于，
∴，
则△MBC的面积是△ABC面积的，故D选项正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 柳州月考）已知与的夹角，则 　6　 ．
【解答】解：由题意，与的夹角为，，
则
．
故答案为：6．
13．（2025春 合江县校级期中）已知锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足：b2﹣a2﹣ac＝0，则角A的取值范围是 　　 ．
【解答】解：根据b2﹣a2﹣ac＝0，可得b2＝a2+ac，
结合正弦定理得sin2B＝sin2A+sinAsinC＝sinA（sinA+sinC），
因为，
所以2sinBcosA＝sinA+sinC，
可得2sinAcosA＝sinB，即sin2A＝sinB，
因为是锐角三角形，，所以B＝2A，或B+2A＝π，
①当B+2A＝π时，结合B+A+C＝π，可得A＝C，即a＝c，
结合b2＝a2+c2，此时B为直角，矛盾，不符合题意；
②当B＝2A时，可得，即，
结合，可得，所以．
综上角A的取值范围是．
故答案为：．
14．（2025春 宁波校级月考）鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今已有四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔．现在在塔底共线三点A、B、C处分别测塔顶的仰角为30°、45°、60°，且m，则文星塔高为 　　 m．
【解答】解：如图所示，设建筑物的高为PO＝hm，
由题意可得∠PAO＝30°，∠PBO＝45°，∠PCO＝60°，m，
则PA2h，同理可得PBh，PCh，
在△ABP中，由余弦定理可得，
在△PBC中，，
因为∠PBA+∠PBC＝π，故cos∠PBA+cos∠PBC＝0，
即，
可得．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 南通月考）已知点A（1，0），B（0，2），C（2，1）．
（1）求；
（2）求cos∠BAC．
【解答】解：（1）由题意得，，所以，
可得3；
（2）因为（﹣1，2），（1，1），所以．
16．（2025 龙华区校级模拟）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角B的值；
（2）若，求a2+c2的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理边化角可得，
所以，又sinB≠0，
所以，又B为锐角，则；
（2）由正弦定理，
则a＝4sinA，c＝4sinC，
所以a2+c2＝16sin2A+16sin2C＝8（1﹣cos2A）+8（1﹣cos2C），
，
因为在锐角△ABC中，得，
所以，
则，
所以a2+c2的取值范围为（20，24]．
17．（2025春 雁江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，，令．
（1）用表示；
（2）若AB＝AM＝2，且，求．
【解答】解：（1）因为，，且ABCD是平行四边形，
所以，
所以（），
所以，
（2）由（1）知，，
又，
所以，，，
即，，
解得 1，||，
所以cos，．
18．（2025春 项城市校级期末）在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c．向量，，且．
（1）求B的大小；
（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值；
（3）若a＝2，，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）因为，，且，
所以，
由正弦定理得，
又A∈（0，π），sinA≠0，
所以，所以，
因为0＜B＜π，所以．
（2）因为sinC＝2sinA，则由正弦定理得c＝2a，
又由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，所以a2+c2﹣ac＝9，
即3a2＝9，解得，所以．
（3）因为a＝2，，，
则由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，即7＝4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣3＝0，
因为c＞0，所以c＝3，
故△ABC的面积．
19．（2025春 云南月考）在平面向量中，我们已经学习了两个向量，的一种乘积运算——内积（记作）运算，即我们平时所说的数量积运算，它的运算结果是一个数量．在神经网络的激活函数计算中，还会经常用到一种向量的乘积运算——哈达玛积（记作）运算，它是将两个向量的对应元素相乘的运算方法，它的运算结果是一个向量．对于任意的向量，，我们规定，的哈达玛积．
（1）若，，，求和；
（2）①若，，，证明：不等式，并指出取“＝”的条件；
②利用①的结论，解答以下问题：已知实数a，b满足a＞1，b＞1，loga3+logb81＝3，求ab的最小值．
【解答】解：（1）由题易知，同理可得，
所以；
（2）①根据向量的模长公式可以得：，，
而，
不等式的左右两边作差可得：
，
所以证得，并且x1y2＝x2y1取得等号；
②原式整理可得：，进而整理得到，
取，，，
所以
，
当且仅当，时等号成立，
故log3a+log3b≥3即ab≥27，
故ab的最小值为27．
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