2026年高三数学上学期专题突破练：指对幂函数（含解析）

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2026年高三数学上学期专题突破练：指对幂函数
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 江阳区校级月考）已知，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
2．（2025 肇庆一模）log318﹣log32＝（　　）
A．4 B．2log32 C．log32 D．2
3．（2025春 辽宁期末）“m＝﹣3或m＝2”是“幂函数为偶函数”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2025春 衡南县期末）函数y＝loga（2x﹣3）+2（a＞0且a≠1）的图象所过定点的坐标为（　　）
A．（2，2） B．（0，2） C．（1，2） D．（2，0）
5．（2025春 镇雄县月考）已知函数f（x）＝（a+2）x﹣3+2（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数g（x）＝log2（a﹣x）的图象上，则a＝（　　）
A．3 B．5 C．8 D．11
6．（2025春 龙凤区校级月考）已知函数f（x）＝ex与函数的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1＜x2，则下列结论中，不正确的是（　　）
A．y1y2＝1 B．
C． D．
7．（2025春 五华区校级月考）已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上单调递增，且，则a＝（　　）
A．3 B．4 C．9 D．16
8．（2025春 上城区校级期末）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（　　）
（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.477）
A．14 B．15 C．16 D．17
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 衢州月考）下列不等式正确的是（　　）
A． B．
C．log23＞log45 D．
（多选）10．（2025春 项城市校级期末）已知函数f（x）＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，则下列函数图象也过点A的是（　　）
A．y2 B．y＝|x﹣2|+1
C．y＝log2（2x）+1 D．y＝2x﹣1
（多选）11．（2025春 镇雄县月考）已知y与t的函数关系式为y＝at﹣1（a＞0且a≠1），部分图象如图所示，则（　　）
A．当t＝0时，
B．y＝at﹣1（a＞0且a≠1）的值域为（﹣1，+∞）
C．的单调递减区间为（﹣∞，1）
D．当y为10，20，30时，分别对应t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 辽宁期末）若a＞1，b＞1，且log3a log3b＝4，则ab的最小值为　 　 ．
13．（2025 昆明一模）已知f（x）＝x3﹣3x，点A（﹣1，f（﹣1）），B（2，f（2）），点C，D在y＝f（x）图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则ABCD的面积为 　 　 ．
14．（2025春 宝山区校级月考）若关于x，y的方程组有无数组解，则　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2026春 山东校级期末）（1）；
（2）．
16．（2025春 郑州校级期末）已知幂函数f（x）＝（3m2﹣2m）xm的定义域不为R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（a+1）+f（2a﹣3）＜0恒成立，求a的取值范围．
17．（2025春 陆良县期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m+1）xm﹣1在（0，+∞）上单调递增．
（1）求m的值；
（2）若函数，判断g（x）在[2，+∞）上的单调性并用定义法证明你的结论．
18．（2025春 临泉县期末）实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．处理生活垃圾的主要方式有填埋方式和环保方式．去年某地产生的生活垃圾为100万吨，其中80万吨垃圾以填埋的方式处理，20万吨垃圾以环保的方式处理，预计每年生活垃圾的总量依次递增10%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加10万吨．已知用填埋的方式处理生活垃圾的成本为100元/吨，用环保的方式处理生活垃圾的成本为500元/吨．
（1）为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起该地通过填埋方式处理的垃圾总量关于年数n的表达式；
（2）求从今年起，该地6年内处理生活垃圾的预算总和．（参考数据：1.16≈1.77）
19．（2025春 青山湖区校级期末）已知幂函数满足f（3）＜f（5）．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数g（x）＝[f（x）]2+mf（x），x∈[4，16]，且g（x）的最小值为0，求实数m的值；
（3）若函数h（x）＝n﹣f（x+3），是否存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a，b]上的值域为[a，b]？若存在，求出实数n的取值范围，若不存在，请说明理由．
2026年高三数学上学期专题突破练：指对幂函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C A D D D C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD ABC ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 江阳区校级月考）已知，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【解答】解：a＝log42，b＝（）21，c＝sinsin，
所以a＜c＜b．
故选：D．
2．（2025 肇庆一模）log318﹣log32＝（　　）
A．4 B．2log32 C．log32 D．2
【解答】解：log318﹣log32＝log39＝log332＝2．
故选：D．
3．（2025春 辽宁期末）“m＝﹣3或m＝2”是“幂函数为偶函数”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由为幂函数，可得m2+m﹣5＝1，解得m＝﹣3或m＝2，
且m＝2时，m2+m＝6，f（x）＝x6为偶函数；当m＝﹣3时，m2+m＝6，f（x）＝x6也为偶函数，
故“m＝﹣3或m＝2”是“幂函数为偶函数”的充要条件．
故选：C．
4．（2025春 衡南县期末）函数y＝loga（2x﹣3）+2（a＞0且a≠1）的图象所过定点的坐标为（　　）
A．（2，2） B．（0，2） C．（1，2） D．（2，0）
【解答】解：函数y＝loga（2x﹣3）+2中，令2x﹣3＝1，得x＝2，
此时y＝0+2＝2，所以定点坐标为（2，2）．
故选：A．
5．（2025春 镇雄县月考）已知函数f（x）＝（a+2）x﹣3+2（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数g（x）＝log2（a﹣x）的图象上，则a＝（　　）
A．3 B．5 C．8 D．11
【解答】解：因为函数f（x）＝（a+2）x﹣3+2（a＞0）的图象恒过定点A，
令x﹣3＝0，得x＝3，所以y＝f（3）＝1+2＝3，即A＝（3，3），
又因为点A在g（x）＝log2（a﹣x）的图象上，
所以3＝log2（a﹣3），即a﹣3＝8，解得a＝11．
故选：D．
6．（2025春 龙凤区校级月考）已知函数f（x）＝ex与函数的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1＜x2，则下列结论中，不正确的是（　　）
A．y1y2＝1 B．
C． D．
【解答】解：由题意有两个不等的实数根，，
令，则，
即h（x）为奇函数；当时为增函数；而h（x1）＝h（x2）＝0，
利用对称性可得x1+x2＝0．
对于A：，选项A正确；
对于B：代入，得.令u＝﹣x1＞0，则，
函数k（u）＝ue﹣u，k′（u）＝e﹣u﹣ue﹣u＝e﹣u（1﹣u），
当u＜1时，k′（u）为正，u＞1时，k′（u）为负，
在u＝1时k（u）取最大值，故，故选项B正确；
对于C：先证明指数均值不等式.证明如下：
要证明：，不等式两边同除以，
只需证：，即证：，令得，
即证，
令h（t）＝e2t﹣2t et﹣1，求导得h′（t）＝2e2t﹣2t et﹣2et＝2et（et﹣t﹣1），
设φ（t）＝et﹣t﹣1，则φ′（t）＝et﹣1，
当t＜0时，φ′（t）＜0，函数φ（t）在（﹣∞，0）上单调递减，
当t＞0时，φ′（t）＞0，函数φ（t）在（0，+∞）上单调递增，
所以et﹣t﹣1≥φ（0）＝0，
所以et≥t+1，故h′（t）≥0对t＞0恒成立，所以h（t）在（0，+∞）上单调递增，
又h（0）＝0，所以h（t）＝e2t﹣2t et﹣1＞0，故原指数均值不等式得证．
由指数均值不等式，可得，故选项C正确；
对于D：由，得，故选项D错误．
故选：D．
7．（2025春 五华区校级月考）已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上单调递增，且，则a＝（　　）
A．3 B．4 C．9 D．16
【解答】解：因为函数f（x）＝logax在（0，+∞）上单调递增，所以a＞1，
又因为，
所以2loga4，
解得或loga4＝﹣1，
所以a＝16或a（舍）．
故选：D．
8．（2025春 上城区校级期末）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（　　）
（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.477）
A．14 B．15 C．16 D．17
【解答】解：由题意知，0.3＝0.6，解得D，
所以令L＝0.60.2，得，
即0.795，
所以G＞0.795×20＝15.9，
所以迭代轮数至少为16．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 衢州月考）下列不等式正确的是（　　）
A． B．
C．log23＞log45 D．
【解答】解：由0，得0，即2332＞0，即8＞9不成立，选项A错误，B正确；
由log23＝log49＞log45，选项C正确；
由，得lnlnln，选项D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（2025春 项城市校级期末）已知函数f（x）＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，则下列函数图象也过点A的是（　　）
A．y2 B．y＝|x﹣2|+1
C．y＝log2（2x）+1 D．y＝2x﹣1
【解答】解：函数f（x）＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A（1，2），
当x＝1时，y＝2，故选项A正确；
当x＝1时，y＝|1﹣2|+1＝2，故选项B正确；
当x＝1时，y＝log2（2×1）+1＝2，故选项C正确；
当x＝1时，y＝2×2﹣1＝3，故选项D错误．
故选：ABC．
（多选）11．（2025春 镇雄县月考）已知y与t的函数关系式为y＝at﹣1（a＞0且a≠1），部分图象如图所示，则（　　）
A．当t＝0时，
B．y＝at﹣1（a＞0且a≠1）的值域为（﹣1，+∞）
C．的单调递减区间为（﹣∞，1）
D．当y为10，20，30时，分别对应t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3
【解答】解：对于A，函数f（x）＝at﹣1的图象过点（2，2），则2＝a2﹣1，解得a＝2，
所以y＝2t﹣1，当t＝0时，y，选项A正确；
对于B，因为y＝2t﹣1 2t，指数函数y＝2t的值域为（0，+∞），
所以函数y＝2t﹣1的值域为（0，+∞），选项B错误；
对于C，由题意知，y＝loga（x2﹣5x+4）＝log2（x2﹣5x+4），
令t＝x2﹣5x+4，则x2﹣5x+4＞0，解得x＜1或x＞4，
由t＝x2﹣5x+4在（﹣∞，1）上单调递减，在（4，+∞）上单调递增，
且y＝log2t在定义域上单调递增，所以y＝loga（x2﹣5x+4）的单调递减区间为（﹣∞，1），选项C正确；
对于D，依题意，令10，可得t1＝log210+1，同理t2＝log220+1，t3＝log230+1，
由t1+t3＝log2300+2，得2t2＝2log220+2＝log2400+2＞t1+t3＝log2300+2，即2t2＞t1+t3，选项D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 辽宁期末）若a＞1，b＞1，且log3a log3b＝4，则ab的最小值为　81　 ．
【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴log3a＞0，log3b＞0，且log3a log3b＝4，
∴，
当且仅当log3a＝log3b即a＝b时等号成立，
又log3a+log3b＝log3ab，∴，
∴ab≥34＝81，则ab的最小值为81．
故答案为：81．
13．（2025 昆明一模）已知f（x）＝x3﹣3x，点A（﹣1，f（﹣1）），B（2，f（2）），点C，D在y＝f（x）图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则ABCD的面积为 　12　 ．
【解答】解：函数f（x）＝x3﹣3x的定义域为R，
因为f（﹣x）＝（﹣x）3﹣3（﹣x）＝﹣x3+3x＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数，图象关于原点O成对称中心，
又因为平行四边形ABCD是中心对称图形，且点A，B，C，D都在函数f（x）的图象上，
所以平行四边形ABCD的对称中心为原点O，
因为A（﹣1，2），B（2，2），
所以，，
，
所以sin∠AOB，
所以．
故答案为：12．
14．（2025春 宝山区校级月考）若关于x，y的方程组有无数组解，则　2　 ．
【解答】解：因为有无数组解，
则直线重合，所以a＝﹣2，b＝1，
则2．
故答案为：2．
四．解答题（共5小题）
15．（2026春 山东校级期末）（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
（2）原式．
16．（2025春 郑州校级期末）已知幂函数f（x）＝（3m2﹣2m）xm的定义域不为R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（a+1）+f（2a﹣3）＜0恒成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）由幂函数的定义可得3m2﹣2m＝1，解得m＝1或m，
若m＝1，则f（x）＝x的定义域为R，不符合题意，
若m，则f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），符合题意，
所以f（x）的解析式为f（x）．
（2）由（1）得，f（x）的定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，且f（﹣x）f（x），
所以f（x）为奇函数，
由f（a+1）+f（2a﹣3）＜0，可得f（a+1）＜﹣f（2a﹣3）＝f（3﹣2a），
因为f（x）在（﹣∞，0）上递减且恒负，在（0，+∞）上递减且恒正，
所以，或，或，
解得a＜﹣1，或a，
所以a的取值范围为{a|a＜﹣1或a}．
17．（2025春 陆良县期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m+1）xm﹣1在（0，+∞）上单调递增．
（1）求m的值；
（2）若函数，判断g（x）在[2，+∞）上的单调性并用定义法证明你的结论．
【解答】解：（1）因为幂函数f（x）＝（m2﹣2m+1）xm﹣1在（0，+∞）上单调递增，
所以m2﹣2m+1＝1，且m﹣1＞0，
所以m＝2；
（2）由（1）可知f（x）＝x，则，故g（x）在[2，+∞）上单调递增；
证明如下：
任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，
则，
因为x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，
因为x1，x2∈[2，+∞），所以x1x1＞4，所以x1x2﹣4＞0，
所以，即g（x1）﹣g（x2）＜0，
所以g（x1）＜g（x2），即g（x）在[2，+∞）上单调递增．
18．（2025春 临泉县期末）实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．处理生活垃圾的主要方式有填埋方式和环保方式．去年某地产生的生活垃圾为100万吨，其中80万吨垃圾以填埋的方式处理，20万吨垃圾以环保的方式处理，预计每年生活垃圾的总量依次递增10%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加10万吨．已知用填埋的方式处理生活垃圾的成本为100元/吨，用环保的方式处理生活垃圾的成本为500元/吨．
（1）为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起该地通过填埋方式处理的垃圾总量关于年数n的表达式；
（2）求从今年起，该地6年内处理生活垃圾的预算总和．（参考数据：1.16≈1.77）
【解答】解：（1）由题意知，从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成公比为1.1的等比数列{an}，
今年起每年用环保的方式处理的垃圾总量（单位：万吨）构成公差为10的等差数列{bn}，
今年起每年用填埋的方式处理的垃圾总量（单位：万吨）构成数列{cn}，满足cn＝an﹣bn．
则an＝100×（1+0.1）n＝100×1.1n，bn＝20+10n，cn＝an﹣bn＝100×1.1n﹣20﹣10n．
（2）设6年内处理生活垃圾的预算之和为W，数列{bn}的前n项和为Sn，
数列{cn}的前n项和为Tn，
则S66＝330，
T6S6＝1100×（1.16﹣1）﹣330≈1100×（1.77﹣1）＝517，
所以W≈330×500×104+517×100×104＝2.167×109（元）．
19．（2025春 青山湖区校级期末）已知幂函数满足f（3）＜f（5）．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数g（x）＝[f（x）]2+mf（x），x∈[4，16]，且g（x）的最小值为0，求实数m的值；
（3）若函数h（x）＝n﹣f（x+3），是否存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a，b]上的值域为[a，b]？若存在，求出实数n的取值范围，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由f（x）＝（p2+p﹣1）是幂函数，得p2+p﹣1＝1，解得p＝1或p＝﹣2；
当p＝﹣2时，f（x），不满足f（3）＜f（5）；
当p＝1时，f（x），满足f（3）＜f（5）；
所以p＝1，f（x）的解析式为f（x）；
（2）由g（x）＝[f（x）]2+mf（x），即g（x）m，
令t，由x∈[4，16]，得t∈[2，4]，
设k（t）＝t2+mt，其对称轴为t，
①当2，即m≥﹣4时，k（t）min＝k（2）＝4+2m＝0，解得m＝﹣2；
②当24时，即﹣8＜m＜﹣4，k（t）min＝k（）0，
解得m＝0，不满足题意，舍去；
③当时，即m≤﹣8时，k（t）min＝k（4）＝4m+16＝0，
解得m＝﹣4，不满足题意，舍去；
综上，存在m＝﹣2使得g（x）的最小值为0；
（3）由函数h（x）＝n﹣f（x+3）＝n在定义域内为单调递减函数，
若存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，
则，
②﹣①得，a﹣b＝（a+3）﹣（b+3）．
又1③，
将③代入②得，，
令，因为a＜b，，
即，
，
，即，
所以，，
所以n≤﹣2，即实数n的取值范围是．
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