二次函数解析式的确定
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课件16张PPT。1.3二次函数的解析式的确定2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x+m)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)求抛物线解析式的三种方法复习引入： 1、已知抛物线的图象经过点(4，5)、 (2，– 3) 、 (0，– 3)，设抛物线解析式为________________,
y=ax2+bx+c(a≠0)解：根据题意得y = x2 – 2x – 3 求此函数图像的开口方向，对称轴和顶点坐标及图像的变化趋势y = (x – 1)2– 4 2、已知抛物线的顶点坐标(2，– 3) ，设抛物线解析式为___________________, 若图象还过点(3，– 1) ，可得______________.y=a(x– 2)2 – 3(a≠0)– 1 =a(3 – 2)2– 3y=2(x– 2)2 – 3求此函数图像的开口方向，对称轴和顶点坐标及图像的变化趋势，与坐标轴交点坐标是什么？已知一个二次函数的图象经过三个点
（0，1）,(1,3),(–1,1),
求这个函数的关系式。 例1解：设所求函数的解析式为
y = ax2 + bx + c（a≠0）由题意得解得所以，二次函数的解析式为 y = x2 + x + 1思索要知道几个点才能用一般式求解二次函数的关系式呢？已知一个二次函数的图象经过点（0,1），
它的顶点坐标是(8,9),求这个函数的关系式。 解：由题意可知，该函数的顶点的坐标是(8，9） 所以，设 y=a(x-8)2＋9又抛物线经过点（0，1），得 1=a(0-8)2＋9 例2思索要知道几个点才能用顶点式求解二次函数的关系式呢？已知：二次函数的图像经过点A(-1,0)、
B（3，0）、C（0，3）求这个函数的关系式。解：设所求函数关系式为y=ax2+bx+c （a≠0） 由已知函数图象过(-1,0),(3,0),(0,3)三点得
解这个方程组得a=-1，b=2, c=3 ∴所求得的函数关系式为y=-x2+2x+3
例3此题还有其它的解法吗？解：由题意得：抛物线与x轴交点的
横坐标为－1和3
设所求函数关系式为y=a(x＋1)(x－3)∵过点（0，3）
∴3=a(0＋1)(0－3) ∴a=－1
∴所求得的函数关系式为y=－(x＋1)(x－3) 即y=-x2+2x+3例3此题还有其它的解法吗？已知二次函数的图像经过点A(-1,0)、B（3，0）、C（0，3）求这个函数的关系式。 思索要知道哪些点才能用交点式求解二次函数的关系式呢？例4、已知二次函数 y = x2 +2(m – 3)x +9的图像的顶点在坐标轴上，求这个函数的解析式，并求出函数值的增减变化。解：(1)当顶点在x轴上4(m – 3)2 – 36 = 0解得：m = 0或m = 6 (2)当顶点在y轴上2(m – 3) = 0解得：m = 3m=0时，y = x2 – 6x + 9y = (x – 3)2m=6时，y = x2 + 6x + 9y = (x + 3)2m=3时，y = x2 + 91、已知：抛物线y=ax2+bx+c过直线 与x轴、y轴的交点，且过（1，1），求抛物线的解析式；习题精练：分析：∵直线 与x轴、y轴的交点为（2，0），（0，3）则：2、已知：一次函数的图象交y轴于点（0，-1），交抛物线y=x2+bx+c于顶点和另一点（2，5），试求这个一次函数的解析式和b、c的值。试一试：点拔：设一次函数的解析式为y=kx+n∴y=3x-1∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为 3、已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（-5，0）、（0， ）（1，6）三点，直线l的解析式为y=2x-3，（1）求抛物线的解析式；（2）求证：抛物线与直线无交点；（3）若与直线l平行的直线与抛物线只有一个交点P，求P点的坐标。试一试：点拔：（1）（2）证抛物线和直线的解析式组成的方程组无解（3）设与l平行的直线的解析式为y=2x+n则：此直线和抛物线的解析式组成的方程组只有一个解。即△=04、已知：二次函数y=ax2+bx+c有最大值，它与直线 y=3x-1交于A（m，2）、B（n，5），且其中一个交点为该抛物线的顶点，求（1）此二次函数的解析式；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大。分析：先求出A、B两点的坐标：A（1，2）、B（2，5）①若A（1，2）为顶点：设解析式为y=a(x-1)2+2∵5=a+2 ∴a=3又∵函数有最大值,
∴a=3不合,舍去.②若B（2，5）为顶点：设解析式为y=a(x-2)2+5∵2=a+5 ∴a=-3则解析式为y=-3(x-2)2+5 5、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为P（-2，9），且与x轴有两个交点A、B（A左B右），S△ABP=27，求：（1）二次函数的解析式；（2）A、B两点的坐标；（3）画出草图；（4）若抛物线与y轴交于C点，求四边形ABCP的面积。试一试：(1)y=-x2-4x+5(2)A(-5,0),B(1,0)(4)S=30 6、把抛物线y=ax2+bx+c向下平移1个单位，再向左平移5个单位时的顶点坐标为（-2，0），且a+b+c=0，求a、b、c的值。试一试：点拔：设原抛物线的解析式为y=a（x+m）2+n则平移后抛物线的解析式为y=a（x+m+5）2+n-1根据题意得：∴y=a（x-3）2+1=ax2-6ax+9a+1∴a-6a+9a+1=0……二次函数关系式的确定（1）过任意三点的二次函数关系式的确定（2）过顶点和一普通点的二次函数关系式确定（3）过二个与x轴的交点和一普通点的二次函
数关系式确定（4）与坐标轴的交点，对称轴及最值有关二
次函数关系式确定
y=ax2+bx+c(a≠0)解：根据题意得y = x2 – 2x – 3 求此函数图像的开口方向，对称轴和顶点坐标及图像的变化趋势y = (x – 1)2– 4 2、已知抛物线的顶点坐标(2，– 3) ，设抛物线解析式为___________________, 若图象还过点(3，– 1) ，可得______________.y=a(x– 2)2 – 3(a≠0)– 1 =a(3 – 2)2– 3y=2(x– 2)2 – 3求此函数图像的开口方向，对称轴和顶点坐标及图像的变化趋势，与坐标轴交点坐标是什么？已知一个二次函数的图象经过三个点
（0，1）,(1,3),(–1,1),
求这个函数的关系式。 例1解：设所求函数的解析式为
y = ax2 + bx + c（a≠0）由题意得解得所以，二次函数的解析式为 y = x2 + x + 1思索要知道几个点才能用一般式求解二次函数的关系式呢？已知一个二次函数的图象经过点（0,1），
它的顶点坐标是(8,9),求这个函数的关系式。 解：由题意可知，该函数的顶点的坐标是(8，9） 所以，设 y=a(x-8)2＋9又抛物线经过点（0，1），得 1=a(0-8)2＋9 例2思索要知道几个点才能用顶点式求解二次函数的关系式呢？已知：二次函数的图像经过点A(-1,0)、
B（3，0）、C（0，3）求这个函数的关系式。解：设所求函数关系式为y=ax2+bx+c （a≠0） 由已知函数图象过(-1,0),(3,0),(0,3)三点得
解这个方程组得a=-1，b=2, c=3 ∴所求得的函数关系式为y=-x2+2x+3
例3此题还有其它的解法吗？解：由题意得：抛物线与x轴交点的
横坐标为－1和3
设所求函数关系式为y=a(x＋1)(x－3)∵过点（0，3）
∴3=a(0＋1)(0－3) ∴a=－1
∴所求得的函数关系式为y=－(x＋1)(x－3) 即y=-x2+2x+3例3此题还有其它的解法吗？已知二次函数的图像经过点A(-1,0)、B（3，0）、C（0，3）求这个函数的关系式。 思索要知道哪些点才能用交点式求解二次函数的关系式呢？例4、已知二次函数 y = x2 +2(m – 3)x +9的图像的顶点在坐标轴上，求这个函数的解析式，并求出函数值的增减变化。解：(1)当顶点在x轴上4(m – 3)2 – 36 = 0解得：m = 0或m = 6 (2)当顶点在y轴上2(m – 3) = 0解得：m = 3m=0时，y = x2 – 6x + 9y = (x – 3)2m=6时，y = x2 + 6x + 9y = (x + 3)2m=3时，y = x2 + 91、已知：抛物线y=ax2+bx+c过直线 与x轴、y轴的交点，且过（1，1），求抛物线的解析式；习题精练：分析：∵直线 与x轴、y轴的交点为（2，0），（0，3）则：2、已知：一次函数的图象交y轴于点（0，-1），交抛物线y=x2+bx+c于顶点和另一点（2，5），试求这个一次函数的解析式和b、c的值。试一试：点拔：设一次函数的解析式为y=kx+n∴y=3x-1∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为 3、已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（-5，0）、（0， ）（1，6）三点，直线l的解析式为y=2x-3，（1）求抛物线的解析式；（2）求证：抛物线与直线无交点；（3）若与直线l平行的直线与抛物线只有一个交点P，求P点的坐标。试一试：点拔：（1）（2）证抛物线和直线的解析式组成的方程组无解（3）设与l平行的直线的解析式为y=2x+n则：此直线和抛物线的解析式组成的方程组只有一个解。即△=04、已知：二次函数y=ax2+bx+c有最大值，它与直线 y=3x-1交于A（m，2）、B（n，5），且其中一个交点为该抛物线的顶点，求（1）此二次函数的解析式；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大。分析：先求出A、B两点的坐标：A（1，2）、B（2，5）①若A（1，2）为顶点：设解析式为y=a(x-1)2+2∵5=a+2 ∴a=3又∵函数有最大值,
∴a=3不合,舍去.②若B（2，5）为顶点：设解析式为y=a(x-2)2+5∵2=a+5 ∴a=-3则解析式为y=-3(x-2)2+5 5、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为P（-2，9），且与x轴有两个交点A、B（A左B右），S△ABP=27，求：（1）二次函数的解析式；（2）A、B两点的坐标；（3）画出草图；（4）若抛物线与y轴交于C点，求四边形ABCP的面积。试一试：(1)y=-x2-4x+5(2)A(-5,0),B(1,0)(4)S=30 6、把抛物线y=ax2+bx+c向下平移1个单位，再向左平移5个单位时的顶点坐标为（-2，0），且a+b+c=0，求a、b、c的值。试一试：点拔：设原抛物线的解析式为y=a（x+m）2+n则平移后抛物线的解析式为y=a（x+m+5）2+n-1根据题意得：∴y=a（x-3）2+1=ax2-6ax+9a+1∴a-6a+9a+1=0……二次函数关系式的确定（1）过任意三点的二次函数关系式的确定（2）过顶点和一普通点的二次函数关系式确定（3）过二个与x轴的交点和一普通点的二次函
数关系式确定（4）与坐标轴的交点，对称轴及最值有关二
次函数关系式确定