2026年高三数学上学期专题突破练：直线与圆的方程（含解析）
文档属性
| 名称 | 2026年高三数学上学期专题突破练：直线与圆的方程（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 649.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-11 11:28:14 | ||
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文档简介
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2026年高三数学上学期专题突破练：直线与圆的方程
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 玉溪校级期中）若点A（3，4），B（5，3）到直线l：2x+ay+1＝0的距离相等，则a＝（ ）
A．4 B．﹣4 C．4或 D．﹣4或
2．（2025 桂林模拟）已知直线l的一个方向向量为（2，1），则过点A（1，﹣1）且与l垂直的直线方程为（ ）
A．x﹣2y﹣3＝0 B．x﹣2y+1＝0 C．2x+y﹣3＝0 D．2x+y﹣1＝0
3．（2025春 长宁区校级期中）经过A（0，3），B（﹣1，0）两点的直线的方向向量为（1，k），则k的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
4．（2025春 宜春校级期末）已知平面向量，是不共线的两个向量，2，44，2，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
5．（2025春 陆良县期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025 海淀区校级模拟）若两条直线l1：y＝2x+m，l2：y＝2x+n与圆x2+y2＝4的四个交点能构成正方形，则|m﹣n|＝（ ）
A． B． C． D．4
7．（2025 济宁校级二模）定义：到定点（a，b）的距离为定值d的直线系方程为（x﹣a）cosθ+（y﹣b）sinθ＝d（θ∈R），此方程也是以（a，b）为圆心，d为半径的圆的切线方程．则当θ变动时，动直线xcos2θ+ysin2θ＝2cos2θ（θ∈R）围成的封闭图形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．π D．4π
8．（2025 上海校级开学）定义：定点A与⊙O上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与⊙O之间的距离，现有一矩形ABCD，如图，AB＝14cm，BC＝12cm，⊙K与矩形的边AB，BC，CD分崩相切于点E，F，G，则点A与⊙K的距离为（ ）
A．4cm B．8cm C．10cm D．12cm
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 东坡区校级期末）已知点A（2，3），B（4，﹣5）到直线l的距离相等，且l过点P（1，2），则l的方程可能是（ ）
A．x+4y﹣6＝0 B．4x+y﹣6＝0 C．2x+3y﹣7＝0 D．3x+2y﹣7＝0
（多选）10．（2025春 双峰县校级月考）已知O（0，0），A（1，3），B（3，1），C（2025，﹣2021），则下列说法正确的是（ ）
A．A，B，C三点共线
B．△OAB的重心不在直线y＝x上
C．△OAB的周长是
D．△OAB外接圆的半径与内切圆的半径之比为
（多选）11．（2025 云南模拟）下列结论中正确的是（ ）
A．已知直线l过点P（2，3），且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y﹣5＝0
B．已知圆O：x2+y2＝4和圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，则圆O和圆C有4条公切线
C．若直线l：x﹣y+m＝0上存在点P，过点P作圆O：x2+y2＝4的切线PA，PB，切点分别为A，B，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围为[﹣4，4]
D．已知圆C：（x﹣6）2+y2＝9，点M的坐标为（2，4），过点N（4，0）作直线l交圆C于A，B两点，则的取值范围是[8，12]
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 宝山区校级期中）直线l过点A（1，0）和B（﹣1，2），则l的斜率为 ．
13．（2025秋 丽江月考）已知点A（0，1），C（0，5），动点M在函数的图像上，动点N在以C为圆心半径为2的圆上，则的最小值为 ．
14．（2025春 琼山区校级月考）已知圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0与圆C2：x2+y2﹣2x+2y﹣7＝0相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 桥西区校级月考）已知直线l1：（m+4）x+（m+6）y﹣16＝0与直线l2：6x+（m﹣1）y﹣8＝0．
（1）当m为何值时，l1与l2相交；
（2）当m为何值时，l1与l2平行，并求l1与l2的距离．
16．（2024秋 庐江县期末）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC的边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线BC的方程．
17．（2024秋 琅琊区校级期末）已知圆C的圆心在直线yx，且过圆C上一点M（1，3）的切线方程为y＝3x．
（1）求圆C的方程；
（2）设过点M的直线l与圆交于另一点N，求S△CMN的最大值及此时的直线l的方程．
18．（2025春 唐山期末）某小区拟在一个圆形的空地上，规划一个形状为四边形的花园．如图，四边形ABCD内接于圆O，△ABD为草坪区，△BCD为花卉区，根据规划已知AB＝120米，AD＝80米，∠BAD＝60°．
（1）当∠BDC＝45°时，求边BC的长；
（2）取BD的中点E，连接AE，求小径AE的长；
（3）若小径从A点直通C点，当线段AC最长时，求花卉区△BCD的面积．
19．（2025春 宝山区校级期中）如图，过点E（1，0）的直线与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，过点C（2，0）且与AB垂直的直线与圆O的另一交点为D．
（1）当点B坐标为（0，﹣2）时，求直线CD的方程；
（2）记点A关于x轴的对称点为F（异于点A，B），求证：直线BF恒过定点；
（3）求四边形ACBD面积S的取值范围．
2026年高三数学上学期专题突破练：直线与圆的方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A D B B C A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BD ACD BCD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 玉溪校级期中）若点A（3，4），B（5，3）到直线l：2x+ay+1＝0的距离相等，则a＝（ ）
A．4 B．﹣4 C．4或 D．﹣4或
【解答】解：由题意点A（3，4），B（5，3）到直线l：2x+ay+1＝0的距离相等，
可分两种情况分析：
若A，B在直线l的同侧，则，解得a＝4；
若A，B分别在直线l的两侧，则直线l经过AB的中点，
则，解得．
故选：C．
2．（2025 桂林模拟）已知直线l的一个方向向量为（2，1），则过点A（1，﹣1）且与l垂直的直线方程为（ ）
A．x﹣2y﹣3＝0 B．x﹣2y+1＝0 C．2x+y﹣3＝0 D．2x+y﹣1＝0
【解答】解：因为直线l的一个方向向量为（2，1），
所以直线l的斜率k，
所以与直线l垂直的直线斜率为﹣2，
所以所求直线方程为y﹣（﹣1）＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣1＝0．
故选：D．
3．（2025春 长宁区校级期中）经过A（0，3），B（﹣1，0）两点的直线的方向向量为（1，k），则k的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【解答】解：因为A（0，3），B（﹣1，0）
可得直线AB的斜率为3，
再由直线的方向向量为（1，k），可得直线的斜率k，
所以k＝3．
故选：A．
4．（2025春 宜春校级期末）已知平面向量，是不共线的两个向量，2，44，2，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
【解答】解：2，44，
则（﹣3）＝3，二者有公共点C，
故B，C，D三点共线．
由选项ABC不满足共线向量定理，故ABC错误，D正确．
故选：D．
5．（2025春 陆良县期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：圆的圆心为C（0，2a），半径，
因为直线与圆C相离，
所以点C到直线的距离，解得，
结合，a≠0，可得．
故选：B．
6．（2025 海淀区校级模拟）若两条直线l1：y＝2x+m，l2：y＝2x+n与圆x2+y2＝4的四个交点能构成正方形，则|m﹣n|＝（ ）
A． B． C． D．4
【解答】解：∵x2+y2＝4，∴圆心C（0，0），半径为2，
由题意直线l1，l2平行，且与圆的四个交点构成正方形，则可知圆心到两直线的距离相等且为，
圆心C到l：y＝2x+m的距离为：d1，
∴m，
同理可得n，
又m≠n，可得|m﹣n|＝2．
故选：B．
7．（2025 济宁校级二模）定义：到定点（a，b）的距离为定值d的直线系方程为（x﹣a）cosθ+（y﹣b）sinθ＝d（θ∈R），此方程也是以（a，b）为圆心，d为半径的圆的切线方程．则当θ变动时，动直线xcos2θ+ysin2θ＝2cos2θ（θ∈R）围成的封闭图形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．π D．4π
【解答】解：由xcos2θ+ysin2θ＝2cos2θ（θ∈R） （x﹣1）cos2θ+ysin2θ＝1．
根据条件中的定义：到定点（a，b）的距离为定值d的直线系方程为（x﹣a）cosθ+（y﹣b）sinθ＝d（θ∈R），此方程也是以（a，b）为圆心，d为半径的圆的切线方程，
可得：动直线是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的切线．
所以动直线围成的封闭图形为：以（1，0）为圆心，以1为半径的圆．
其面积为：π．
故选：C．
8．（2025 上海校级开学）定义：定点A与⊙O上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与⊙O之间的距离，现有一矩形ABCD，如图，AB＝14cm，BC＝12cm，⊙K与矩形的边AB，BC，CD分崩相切于点E，F，G，则点A与⊙K的距离为（ ）
A．4cm B．8cm C．10cm D．12cm
【解答】解：如图，连接KE，KF，KG，AK，设AK交⊙K于H点，
∵四边形ABCD是矩形，⊙K与矩形的边AB，BC，CD分崩相切于点E，F，G，
∴KE＝KF＝KG，
∴四边形BEKF、四边形FKGC均为正方形，
又AB＝14cm，BC＝12cm，
∴BF＝FC＝EK＝BE＝KH＝6cm，
AE＝AB﹣BE＝8cm，
在Rt△AEK中，，
∴点A与⊙K的距离为：AH＝AK﹣HK＝10﹣6＝4cm．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 东坡区校级期末）已知点A（2，3），B（4，﹣5）到直线l的距离相等，且l过点P（1，2），则l的方程可能是（ ）
A．x+4y﹣6＝0 B．4x+y﹣6＝0 C．2x+3y﹣7＝0 D．3x+2y﹣7＝0
【解答】解：当直线l∥AB时，
∵kAB4，直线l过点P（1，2），
∴l的方程为y﹣2＝﹣4（x﹣1），即4x+y﹣6＝0；
当直线l经过AB的中点（3，﹣1）时，l的斜率为，
l的方程为y﹣2（x﹣1），即3x+2y﹣7＝0．
故选：BD．
（多选）10．（2025春 双峰县校级月考）已知O（0，0），A（1，3），B（3，1），C（2025，﹣2021），则下列说法正确的是（ ）
A．A，B，C三点共线
B．△OAB的重心不在直线y＝x上
C．△OAB的周长是
D．△OAB外接圆的半径与内切圆的半径之比为
【解答】解：对于选项A，由题意O（0，0），A（1，3），B（3，1），C（2025，﹣2021），
可得，，所以A，B，C三点共线，故选项A正确；
对于选项B，由题意O（0，0），A（1，3），B（3，1），C（2025，﹣2021），结合重心坐标公式可得△OAB的重心坐标为满足，故选项B错误；
对于选项C，因为，，，所以△OAB的周长为，故选项C正确；
对于选项D，由等腰三角形三线合一可知，AB边上的高为，故，
而△OAB的周长为，
故△OAB内切圆的半径，
又因为，所以，设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理得：，
故，故选项D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（2025 云南模拟）下列结论中正确的是（ ）
A．已知直线l过点P（2，3），且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y﹣5＝0
B．已知圆O：x2+y2＝4和圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，则圆O和圆C有4条公切线
C．若直线l：x﹣y+m＝0上存在点P，过点P作圆O：x2+y2＝4的切线PA，PB，切点分别为A，B，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围为[﹣4，4]
D．已知圆C：（x﹣6）2+y2＝9，点M的坐标为（2，4），过点N（4，0）作直线l交圆C于A，B两点，则的取值范围是[8，12]
【解答】解：对于A，当直线过原点时，直线方程为，满足条件，∴A错误；
对于B，圆O：x2+y2＝4的圆心为O（0，0），半径r1＝2，
圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1的圆心为C（2，3），半径r2＝1，
则圆心距，又r1+r2＝3，
由，可知|OC|＞r1+r2，
∴两圆相离，∴圆O与圆C共有4条公切线，∴B正确；
对于C，连接OA，OB，OP，如图，
则易知四边形OAPB为正方形，
∴，∴点P的轨迹是圆心为O，半径为的圆，
又点P在直线l上，故直线l与该圆有公共点，
∴圆心O到直线l的距离，∴﹣4≤m≤4，
∴实数m的取值范围为[﹣4，4]，∴C正确；
对于D，取AB中点D，连接CD，如图所示：
则CD⊥ND，
∴点D的轨迹是以NC为直径的圆，圆心为G（5，0），半径r＝1，
∵，
∴|MG|﹣r≤|MD|≤|MG|+r，即4≤|MD|≤6，
∴，
∴的取值范围是[8，12]，∴D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 宝山区校级期中）直线l过点A（1，0）和B（﹣1，2），则l的斜率为 ﹣1 ．
【解答】解：直线l过点A（1，0）和B（﹣1，2），
则．
故答案为：﹣1．
13．（2025秋 丽江月考）已知点A（0，1），C（0，5），动点M在函数的图像上，动点N在以C为圆心半径为2的圆上，则的最小值为 2 ．
【解答】解：根据题意画出图像，
动点N满足|NC|＝2，设N（x，y），
可得N的轨迹为圆x2+y2﹣10y+21＝0，
设Q（m，n），且，
可得，
化简可得3x2+3y2﹣8mx+（2﹣8m）y+4m2+4n2﹣1＝0，
∵N的方程又为3x2+3y2﹣30y+63＝0
可得m＝0，n＝4，即Q（0，4），
可得的最小值为|MN|+|QM|的最小值，
当Q，M，N三点共线，且为抛物线的法线时，取得最小值，
设M（s，t），的导数为，可得，
解得，
即，即有．
故答案为：2．
14．（2025春 琼山区校级月考）已知圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0与圆C2：x2+y2﹣2x+2y﹣7＝0相交于两点A，B，则AB的直线方程为 x﹣y+1＝0 ．
【解答】解：根据题意，将圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0与圆C2：x2+y2﹣2x+2y﹣7＝0的方程相减，
可得6x﹣6y+6＝0，化简得x﹣y+1＝0，即为两圆的公共弦AB所在直线的方程．
故答案为：x﹣y+1＝0．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 桥西区校级月考）已知直线l1：（m+4）x+（m+6）y﹣16＝0与直线l2：6x+（m﹣1）y﹣8＝0．
（1）当m为何值时，l1与l2相交；
（2）当m为何值时，l1与l2平行，并求l1与l2的距离．
【解答】解：（1）由题意可得当直线l1与l2相交，则（m+4）（m﹣1）≠6（m+6），解得m≠﹣5且m≠8．
（2）由直线l1与l2平行，则，解得m＝﹣5，
所以此时直线l1：x﹣y+16＝0，，
所以l1与l2的距离．
16．（2024秋 庐江县期末）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC的边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线BC的方程．
【解答】解：（1）设C（m，n），
∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0．
∴，解得m＝4，n＝3，
∴C（4，3）．
（2）设B（a，b），则a﹣2b﹣5＝0①，边AB的中点M（，），
所以25＝0，②
①②联立解得b＝﹣3，a＝﹣1，
∴B（﹣1，﹣3）．
∴．
∴直线BC的方程为，化为6x﹣5y﹣9＝0．
17．（2024秋 琅琊区校级期末）已知圆C的圆心在直线yx，且过圆C上一点M（1，3）的切线方程为y＝3x．
（1）求圆C的方程；
（2）设过点M的直线l与圆交于另一点N，求S△CMN的最大值及此时的直线l的方程．
【解答】解：（1）由题意，过M点的直径所在直线方程为y﹣3（x﹣1），
即x+3y﹣10＝0．
联立，解得，∴圆心坐标为（4，2）．
半径r2＝（4﹣1）2+（2﹣3）2＝10，
∴圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣2）2＝10；
（2）M（1，3），要使S△CMN最大，则N点满足CN所在直线与CM所在直线垂直，
此时S△CMN的最大值为S；
∵，∴CN所在直线方程为y﹣2＝3（x﹣4），即y＝3x﹣10，
联立，得或，
即N的坐标为（3，﹣1）或（5，5），
当N（3，﹣1）时，MN的方程为，即2x+y﹣5＝0；
当N（5，5）时，MN的方程为，即x﹣2y+5＝0．
综上，MN所在直线方程为2x+y﹣5＝0或x﹣2y+5＝0．
18．（2025春 唐山期末）某小区拟在一个圆形的空地上，规划一个形状为四边形的花园．如图，四边形ABCD内接于圆O，△ABD为草坪区，△BCD为花卉区，根据规划已知AB＝120米，AD＝80米，∠BAD＝60°．
（1）当∠BDC＝45°时，求边BC的长；
（2）取BD的中点E，连接AE，求小径AE的长；
（3）若小径从A点直通C点，当线段AC最长时，求花卉区△BCD的面积．
【解答】解：（1）四边形ABCD内接于圆O，∠BAD＝60°，则∠BCD＝120°，
在△ABD中，用余弦定理：BD2＝AB2+AD2﹣2AB ADcos∠BAD，代入AB＝120，AD＝80，，
得，所以，
在△BCD中，用正弦定理，∠BDC＝45°，，，
则（米）．
（2）E是BD中点，，
，
，，．
代入得，所以（米）．
（3）AC最长时为圆O直径．在△ABD中，由正弦定理（R为圆半径），
，，得，
在Rt△ACD中，CD2＝AC2﹣AD2，代入得，；
在Rt△ACB中，CB2＝AC2﹣AB2，得，，
△BCD面积，代入得（平方米）．
19．（2025春 宝山区校级期中）如图，过点E（1，0）的直线与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，过点C（2，0）且与AB垂直的直线与圆O的另一交点为D．
（1）当点B坐标为（0，﹣2）时，求直线CD的方程；
（2）记点A关于x轴的对称点为F（异于点A，B），求证：直线BF恒过定点；
（3）求四边形ACBD面积S的取值范围．
【解答】解：（1）当B（0，﹣2）时，直线AB的斜率为2，
因为CD⊥AB，所以CD的斜率为，
故直线CD的方程为，即x+2y﹣2＝0．
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则F（x1，﹣y1），
直线AB的方程为x＝my+1，代入x +y ＝4，整理得（m +1）y +2my﹣3＝0，所以．
直线BF的方程为，又x2＝my2+1，x1＝my1+1
令y＝0，得x
所以直线BF恒过定点（4，0）．
（3）设直线AB的倾斜角为θ，则圆心O到直线AB的距离为|OE|sinθ＝sinθ，所以|AB|．
因为CD⊥AB，所以∠OCD或，则|CD|＝2|OC|cos∠OCD＝4sinθ．
因为CD⊥AB，所以
因为sin2θ∈（0，1]，所以当sin2θ＝1时，S有最大值，为．
故S的取值范围是．
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2026年高三数学上学期专题突破练：直线与圆的方程
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 玉溪校级期中）若点A（3，4），B（5，3）到直线l：2x+ay+1＝0的距离相等，则a＝（ ）
A．4 B．﹣4 C．4或 D．﹣4或
2．（2025 桂林模拟）已知直线l的一个方向向量为（2，1），则过点A（1，﹣1）且与l垂直的直线方程为（ ）
A．x﹣2y﹣3＝0 B．x﹣2y+1＝0 C．2x+y﹣3＝0 D．2x+y﹣1＝0
3．（2025春 长宁区校级期中）经过A（0，3），B（﹣1，0）两点的直线的方向向量为（1，k），则k的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
4．（2025春 宜春校级期末）已知平面向量，是不共线的两个向量，2，44，2，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
5．（2025春 陆良县期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025 海淀区校级模拟）若两条直线l1：y＝2x+m，l2：y＝2x+n与圆x2+y2＝4的四个交点能构成正方形，则|m﹣n|＝（ ）
A． B． C． D．4
7．（2025 济宁校级二模）定义：到定点（a，b）的距离为定值d的直线系方程为（x﹣a）cosθ+（y﹣b）sinθ＝d（θ∈R），此方程也是以（a，b）为圆心，d为半径的圆的切线方程．则当θ变动时，动直线xcos2θ+ysin2θ＝2cos2θ（θ∈R）围成的封闭图形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．π D．4π
8．（2025 上海校级开学）定义：定点A与⊙O上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与⊙O之间的距离，现有一矩形ABCD，如图，AB＝14cm，BC＝12cm，⊙K与矩形的边AB，BC，CD分崩相切于点E，F，G，则点A与⊙K的距离为（ ）
A．4cm B．8cm C．10cm D．12cm
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 东坡区校级期末）已知点A（2，3），B（4，﹣5）到直线l的距离相等，且l过点P（1，2），则l的方程可能是（ ）
A．x+4y﹣6＝0 B．4x+y﹣6＝0 C．2x+3y﹣7＝0 D．3x+2y﹣7＝0
（多选）10．（2025春 双峰县校级月考）已知O（0，0），A（1，3），B（3，1），C（2025，﹣2021），则下列说法正确的是（ ）
A．A，B，C三点共线
B．△OAB的重心不在直线y＝x上
C．△OAB的周长是
D．△OAB外接圆的半径与内切圆的半径之比为
（多选）11．（2025 云南模拟）下列结论中正确的是（ ）
A．已知直线l过点P（2，3），且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y﹣5＝0
B．已知圆O：x2+y2＝4和圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，则圆O和圆C有4条公切线
C．若直线l：x﹣y+m＝0上存在点P，过点P作圆O：x2+y2＝4的切线PA，PB，切点分别为A，B，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围为[﹣4，4]
D．已知圆C：（x﹣6）2+y2＝9，点M的坐标为（2，4），过点N（4，0）作直线l交圆C于A，B两点，则的取值范围是[8，12]
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 宝山区校级期中）直线l过点A（1，0）和B（﹣1，2），则l的斜率为 ．
13．（2025秋 丽江月考）已知点A（0，1），C（0，5），动点M在函数的图像上，动点N在以C为圆心半径为2的圆上，则的最小值为 ．
14．（2025春 琼山区校级月考）已知圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0与圆C2：x2+y2﹣2x+2y﹣7＝0相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 桥西区校级月考）已知直线l1：（m+4）x+（m+6）y﹣16＝0与直线l2：6x+（m﹣1）y﹣8＝0．
（1）当m为何值时，l1与l2相交；
（2）当m为何值时，l1与l2平行，并求l1与l2的距离．
16．（2024秋 庐江县期末）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC的边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线BC的方程．
17．（2024秋 琅琊区校级期末）已知圆C的圆心在直线yx，且过圆C上一点M（1，3）的切线方程为y＝3x．
（1）求圆C的方程；
（2）设过点M的直线l与圆交于另一点N，求S△CMN的最大值及此时的直线l的方程．
18．（2025春 唐山期末）某小区拟在一个圆形的空地上，规划一个形状为四边形的花园．如图，四边形ABCD内接于圆O，△ABD为草坪区，△BCD为花卉区，根据规划已知AB＝120米，AD＝80米，∠BAD＝60°．
（1）当∠BDC＝45°时，求边BC的长；
（2）取BD的中点E，连接AE，求小径AE的长；
（3）若小径从A点直通C点，当线段AC最长时，求花卉区△BCD的面积．
19．（2025春 宝山区校级期中）如图，过点E（1，0）的直线与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，过点C（2，0）且与AB垂直的直线与圆O的另一交点为D．
（1）当点B坐标为（0，﹣2）时，求直线CD的方程；
（2）记点A关于x轴的对称点为F（异于点A，B），求证：直线BF恒过定点；
（3）求四边形ACBD面积S的取值范围．
2026年高三数学上学期专题突破练：直线与圆的方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A D B B C A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BD ACD BCD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 玉溪校级期中）若点A（3，4），B（5，3）到直线l：2x+ay+1＝0的距离相等，则a＝（ ）
A．4 B．﹣4 C．4或 D．﹣4或
【解答】解：由题意点A（3，4），B（5，3）到直线l：2x+ay+1＝0的距离相等，
可分两种情况分析：
若A，B在直线l的同侧，则，解得a＝4；
若A，B分别在直线l的两侧，则直线l经过AB的中点，
则，解得．
故选：C．
2．（2025 桂林模拟）已知直线l的一个方向向量为（2，1），则过点A（1，﹣1）且与l垂直的直线方程为（ ）
A．x﹣2y﹣3＝0 B．x﹣2y+1＝0 C．2x+y﹣3＝0 D．2x+y﹣1＝0
【解答】解：因为直线l的一个方向向量为（2，1），
所以直线l的斜率k，
所以与直线l垂直的直线斜率为﹣2，
所以所求直线方程为y﹣（﹣1）＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣1＝0．
故选：D．
3．（2025春 长宁区校级期中）经过A（0，3），B（﹣1，0）两点的直线的方向向量为（1，k），则k的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【解答】解：因为A（0，3），B（﹣1，0）
可得直线AB的斜率为3，
再由直线的方向向量为（1，k），可得直线的斜率k，
所以k＝3．
故选：A．
4．（2025春 宜春校级期末）已知平面向量，是不共线的两个向量，2，44，2，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
【解答】解：2，44，
则（﹣3）＝3，二者有公共点C，
故B，C，D三点共线．
由选项ABC不满足共线向量定理，故ABC错误，D正确．
故选：D．
5．（2025春 陆良县期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：圆的圆心为C（0，2a），半径，
因为直线与圆C相离，
所以点C到直线的距离，解得，
结合，a≠0，可得．
故选：B．
6．（2025 海淀区校级模拟）若两条直线l1：y＝2x+m，l2：y＝2x+n与圆x2+y2＝4的四个交点能构成正方形，则|m﹣n|＝（ ）
A． B． C． D．4
【解答】解：∵x2+y2＝4，∴圆心C（0，0），半径为2，
由题意直线l1，l2平行，且与圆的四个交点构成正方形，则可知圆心到两直线的距离相等且为，
圆心C到l：y＝2x+m的距离为：d1，
∴m，
同理可得n，
又m≠n，可得|m﹣n|＝2．
故选：B．
7．（2025 济宁校级二模）定义：到定点（a，b）的距离为定值d的直线系方程为（x﹣a）cosθ+（y﹣b）sinθ＝d（θ∈R），此方程也是以（a，b）为圆心，d为半径的圆的切线方程．则当θ变动时，动直线xcos2θ+ysin2θ＝2cos2θ（θ∈R）围成的封闭图形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．π D．4π
【解答】解：由xcos2θ+ysin2θ＝2cos2θ（θ∈R） （x﹣1）cos2θ+ysin2θ＝1．
根据条件中的定义：到定点（a，b）的距离为定值d的直线系方程为（x﹣a）cosθ+（y﹣b）sinθ＝d（θ∈R），此方程也是以（a，b）为圆心，d为半径的圆的切线方程，
可得：动直线是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的切线．
所以动直线围成的封闭图形为：以（1，0）为圆心，以1为半径的圆．
其面积为：π．
故选：C．
8．（2025 上海校级开学）定义：定点A与⊙O上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与⊙O之间的距离，现有一矩形ABCD，如图，AB＝14cm，BC＝12cm，⊙K与矩形的边AB，BC，CD分崩相切于点E，F，G，则点A与⊙K的距离为（ ）
A．4cm B．8cm C．10cm D．12cm
【解答】解：如图，连接KE，KF，KG，AK，设AK交⊙K于H点，
∵四边形ABCD是矩形，⊙K与矩形的边AB，BC，CD分崩相切于点E，F，G，
∴KE＝KF＝KG，
∴四边形BEKF、四边形FKGC均为正方形，
又AB＝14cm，BC＝12cm，
∴BF＝FC＝EK＝BE＝KH＝6cm，
AE＝AB﹣BE＝8cm，
在Rt△AEK中，，
∴点A与⊙K的距离为：AH＝AK﹣HK＝10﹣6＝4cm．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 东坡区校级期末）已知点A（2，3），B（4，﹣5）到直线l的距离相等，且l过点P（1，2），则l的方程可能是（ ）
A．x+4y﹣6＝0 B．4x+y﹣6＝0 C．2x+3y﹣7＝0 D．3x+2y﹣7＝0
【解答】解：当直线l∥AB时，
∵kAB4，直线l过点P（1，2），
∴l的方程为y﹣2＝﹣4（x﹣1），即4x+y﹣6＝0；
当直线l经过AB的中点（3，﹣1）时，l的斜率为，
l的方程为y﹣2（x﹣1），即3x+2y﹣7＝0．
故选：BD．
（多选）10．（2025春 双峰县校级月考）已知O（0，0），A（1，3），B（3，1），C（2025，﹣2021），则下列说法正确的是（ ）
A．A，B，C三点共线
B．△OAB的重心不在直线y＝x上
C．△OAB的周长是
D．△OAB外接圆的半径与内切圆的半径之比为
【解答】解：对于选项A，由题意O（0，0），A（1，3），B（3，1），C（2025，﹣2021），
可得，，所以A，B，C三点共线，故选项A正确；
对于选项B，由题意O（0，0），A（1，3），B（3，1），C（2025，﹣2021），结合重心坐标公式可得△OAB的重心坐标为满足，故选项B错误；
对于选项C，因为，，，所以△OAB的周长为，故选项C正确；
对于选项D，由等腰三角形三线合一可知，AB边上的高为，故，
而△OAB的周长为，
故△OAB内切圆的半径，
又因为，所以，设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理得：，
故，故选项D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（2025 云南模拟）下列结论中正确的是（ ）
A．已知直线l过点P（2，3），且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y﹣5＝0
B．已知圆O：x2+y2＝4和圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，则圆O和圆C有4条公切线
C．若直线l：x﹣y+m＝0上存在点P，过点P作圆O：x2+y2＝4的切线PA，PB，切点分别为A，B，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围为[﹣4，4]
D．已知圆C：（x﹣6）2+y2＝9，点M的坐标为（2，4），过点N（4，0）作直线l交圆C于A，B两点，则的取值范围是[8，12]
【解答】解：对于A，当直线过原点时，直线方程为，满足条件，∴A错误；
对于B，圆O：x2+y2＝4的圆心为O（0，0），半径r1＝2，
圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1的圆心为C（2，3），半径r2＝1，
则圆心距，又r1+r2＝3，
由，可知|OC|＞r1+r2，
∴两圆相离，∴圆O与圆C共有4条公切线，∴B正确；
对于C，连接OA，OB，OP，如图，
则易知四边形OAPB为正方形，
∴，∴点P的轨迹是圆心为O，半径为的圆，
又点P在直线l上，故直线l与该圆有公共点，
∴圆心O到直线l的距离，∴﹣4≤m≤4，
∴实数m的取值范围为[﹣4，4]，∴C正确；
对于D，取AB中点D，连接CD，如图所示：
则CD⊥ND，
∴点D的轨迹是以NC为直径的圆，圆心为G（5，0），半径r＝1，
∵，
∴|MG|﹣r≤|MD|≤|MG|+r，即4≤|MD|≤6，
∴，
∴的取值范围是[8，12]，∴D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 宝山区校级期中）直线l过点A（1，0）和B（﹣1，2），则l的斜率为 ﹣1 ．
【解答】解：直线l过点A（1，0）和B（﹣1，2），
则．
故答案为：﹣1．
13．（2025秋 丽江月考）已知点A（0，1），C（0，5），动点M在函数的图像上，动点N在以C为圆心半径为2的圆上，则的最小值为 2 ．
【解答】解：根据题意画出图像，
动点N满足|NC|＝2，设N（x，y），
可得N的轨迹为圆x2+y2﹣10y+21＝0，
设Q（m，n），且，
可得，
化简可得3x2+3y2﹣8mx+（2﹣8m）y+4m2+4n2﹣1＝0，
∵N的方程又为3x2+3y2﹣30y+63＝0
可得m＝0，n＝4，即Q（0，4），
可得的最小值为|MN|+|QM|的最小值，
当Q，M，N三点共线，且为抛物线的法线时，取得最小值，
设M（s，t），的导数为，可得，
解得，
即，即有．
故答案为：2．
14．（2025春 琼山区校级月考）已知圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0与圆C2：x2+y2﹣2x+2y﹣7＝0相交于两点A，B，则AB的直线方程为 x﹣y+1＝0 ．
【解答】解：根据题意，将圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0与圆C2：x2+y2﹣2x+2y﹣7＝0的方程相减，
可得6x﹣6y+6＝0，化简得x﹣y+1＝0，即为两圆的公共弦AB所在直线的方程．
故答案为：x﹣y+1＝0．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 桥西区校级月考）已知直线l1：（m+4）x+（m+6）y﹣16＝0与直线l2：6x+（m﹣1）y﹣8＝0．
（1）当m为何值时，l1与l2相交；
（2）当m为何值时，l1与l2平行，并求l1与l2的距离．
【解答】解：（1）由题意可得当直线l1与l2相交，则（m+4）（m﹣1）≠6（m+6），解得m≠﹣5且m≠8．
（2）由直线l1与l2平行，则，解得m＝﹣5，
所以此时直线l1：x﹣y+16＝0，，
所以l1与l2的距离．
16．（2024秋 庐江县期末）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC的边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线BC的方程．
【解答】解：（1）设C（m，n），
∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0．
∴，解得m＝4，n＝3，
∴C（4，3）．
（2）设B（a，b），则a﹣2b﹣5＝0①，边AB的中点M（，），
所以25＝0，②
①②联立解得b＝﹣3，a＝﹣1，
∴B（﹣1，﹣3）．
∴．
∴直线BC的方程为，化为6x﹣5y﹣9＝0．
17．（2024秋 琅琊区校级期末）已知圆C的圆心在直线yx，且过圆C上一点M（1，3）的切线方程为y＝3x．
（1）求圆C的方程；
（2）设过点M的直线l与圆交于另一点N，求S△CMN的最大值及此时的直线l的方程．
【解答】解：（1）由题意，过M点的直径所在直线方程为y﹣3（x﹣1），
即x+3y﹣10＝0．
联立，解得，∴圆心坐标为（4，2）．
半径r2＝（4﹣1）2+（2﹣3）2＝10，
∴圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣2）2＝10；
（2）M（1，3），要使S△CMN最大，则N点满足CN所在直线与CM所在直线垂直，
此时S△CMN的最大值为S；
∵，∴CN所在直线方程为y﹣2＝3（x﹣4），即y＝3x﹣10，
联立，得或，
即N的坐标为（3，﹣1）或（5，5），
当N（3，﹣1）时，MN的方程为，即2x+y﹣5＝0；
当N（5，5）时，MN的方程为，即x﹣2y+5＝0．
综上，MN所在直线方程为2x+y﹣5＝0或x﹣2y+5＝0．
18．（2025春 唐山期末）某小区拟在一个圆形的空地上，规划一个形状为四边形的花园．如图，四边形ABCD内接于圆O，△ABD为草坪区，△BCD为花卉区，根据规划已知AB＝120米，AD＝80米，∠BAD＝60°．
（1）当∠BDC＝45°时，求边BC的长；
（2）取BD的中点E，连接AE，求小径AE的长；
（3）若小径从A点直通C点，当线段AC最长时，求花卉区△BCD的面积．
【解答】解：（1）四边形ABCD内接于圆O，∠BAD＝60°，则∠BCD＝120°，
在△ABD中，用余弦定理：BD2＝AB2+AD2﹣2AB ADcos∠BAD，代入AB＝120，AD＝80，，
得，所以，
在△BCD中，用正弦定理，∠BDC＝45°，，，
则（米）．
（2）E是BD中点，，
，
，，．
代入得，所以（米）．
（3）AC最长时为圆O直径．在△ABD中，由正弦定理（R为圆半径），
，，得，
在Rt△ACD中，CD2＝AC2﹣AD2，代入得，；
在Rt△ACB中，CB2＝AC2﹣AB2，得，，
△BCD面积，代入得（平方米）．
19．（2025春 宝山区校级期中）如图，过点E（1，0）的直线与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，过点C（2，0）且与AB垂直的直线与圆O的另一交点为D．
（1）当点B坐标为（0，﹣2）时，求直线CD的方程；
（2）记点A关于x轴的对称点为F（异于点A，B），求证：直线BF恒过定点；
（3）求四边形ACBD面积S的取值范围．
【解答】解：（1）当B（0，﹣2）时，直线AB的斜率为2，
因为CD⊥AB，所以CD的斜率为，
故直线CD的方程为，即x+2y﹣2＝0．
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则F（x1，﹣y1），
直线AB的方程为x＝my+1，代入x +y ＝4，整理得（m +1）y +2my﹣3＝0，所以．
直线BF的方程为，又x2＝my2+1，x1＝my1+1
令y＝0，得x
所以直线BF恒过定点（4，0）．
（3）设直线AB的倾斜角为θ，则圆心O到直线AB的距离为|OE|sinθ＝sinθ，所以|AB|．
因为CD⊥AB，所以∠OCD或，则|CD|＝2|OC|cos∠OCD＝4sinθ．
因为CD⊥AB，所以
因为sin2θ∈（0，1]，所以当sin2θ＝1时，S有最大值，为．
故S的取值范围是．
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