2026年高三数学上学期专题突破练：集合与常用逻辑用语（含解析）
文档属性
| 名称 | 2026年高三数学上学期专题突破练：集合与常用逻辑用语（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 393.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-11 11:31:44 | ||
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文档简介
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2026年高三数学上学期专题突破练：集合与常用逻辑用语
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 湖南期中）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1} B．{0} C．{0，1} D．{﹣1，1}
2．（2025春 云南月考）已知集合M＝{x|x≥2}，N＝{x|x＞a}，若M N，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
3．（2025 五华区模拟）已知集合A，B满足：A＝{x∈N*|x2﹣2≤0}，A∪B＝A，则满足条件的集合B的个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．（2025 东西湖区校级模拟）图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A．A∩B∩C B．A∩B∩（ UC） C．A∩（ UB）∩C D．（ UA）∩B∩C
5．（2025 新宁县校级模拟）已知集合M满足{1，2} M {1，2，3，4，5，6}，则所有满足条件的集合M的个数是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
6．（2025春 立山区校级期中）f′（x）为f（x）的一阶导数，且f（x）在R上可导，则“f（x）是奇函数”是“f′（x）是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（2025春 辽宁月考）命题p：﹣5≤x≤3，q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣5，+∞） B．[﹣5，+∞） C．（3，+∞） D．[3，+∞）
8．（2025 和平区校级模拟）已知x∈R，若，q：|1﹣x|≤x，则p是q的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 衡南县期末）若集合A＝{1，n}，B＝{n2，2}，且A∩B≠ ，则n的值可以是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
（多选）10．（2025 武汉模拟）已知n∈N*，记|A|为集合A中元素的个数，min（A）为集合A中的最小元素．若非空数集A {1，2，…，n}，且满足|A|≤min（A），则称集合A为“n阶完美集”．记an为全部n阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ）
A．a4＝7
B．将n阶完美集A的元素全部加1，得到的新集合，是n+1阶完美集
C．若A为（n+2）阶完美集，|A|＞1且n+2∈A，满足条件的集合A的个数为an+1﹣n
D．若A为（n+2）阶完美集，|A|＞1且n+2 A，满足条件的集合A的个数为an+1﹣n﹣1
（多选）11．（2025春 船营区校级期末）下列命题正确的是（ ）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若不等式ax2+bx+3＞0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，则a+b＝1
C．设a∈R，则“a＜1”是“”的充要条件
D．已知函数，若f（a）＝﹣2，则f（﹣a）＝4
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 永宁县校级期中）已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为 ．
13．（2025春 临泉县校级月考）若f（n）＝（）n+（）n+1（n∈N*），则集合{x|x＝f（n）}中共有 个元素．
14．（2025春 南关区校级期末）设p：|x| 1，，则p是q的 条件．（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 广东期中）已知集合A＝{x|1﹣a≤x≤1+a}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}．
（1）当a＝2时，求A∪（ RB）；
（2）若a＞0，且“x∈A”是“x∈ RB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
16．（2025春 龙岗区校级期末）设全集U＝R，集合，集合B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1＜0}，其中a∈R．
（1）当a＝4时，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
17．（2025 盐城模拟）对于有限集合A，B，定义A*B＝{（x，y）|x∈A∩B，y∈A∪B}，用|A|表示集合A的元素个数．
（1）若A＝{﹣1，1}，B＝{0，1，2}，求|A*B|；
（2）求证：|A*B|≤|A||B|；
（3）设A B M＝{a1，a2，a3，…，an}，且|A|＝2，记Sn|A*B|，求Sn．
18．（2025 河北模拟）若集合M，N满足： x∈M，﹣x∈N，且 x∈N，﹣x∈M，则称M，N互为对偶集．已知函数，定义At＝{x|f（x）＞t}，Bt＝{x|f（x）＜t}．
（1）b＝0，时，证明： p＜q，Af（p） Af（q）；
（2）证明：存在s∈R，使得无论t取何值，At与Bs﹣t均互为对偶集；
（3）若（0，+∞），求b的取值范围．
19．（2025春 天津校级月考）已知集合，B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，x∈R}．
（1）当a＝0时，求A∩B；
（2）若x∈A成立的一个充分不必要的条件是x∈B，求实数a的取值范围．
2026年高三数学上学期专题突破练：集合与常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B B D A D B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD ABD BD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 湖南期中）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1} B．{0} C．{0，1} D．{﹣1，1}
【解答】解：因为A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，
根据集合交集运算可得，A∩B＝{﹣1，1}．
故选：D．
2．（2025春 云南月考）已知集合M＝{x|x≥2}，N＝{x|x＞a}，若M N，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【解答】解：∵集合M＝{x|x≥2}，N＝{x|x＞a}，M N，
∴a＜2，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，2）．
故选：A．
3．（2025 五华区模拟）已知集合A，B满足：A＝{x∈N*|x2﹣2≤0}，A∪B＝A，则满足条件的集合B的个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解答】解：A＝{x∈N*|x2﹣2≤0}＝{1}，
A∪B＝A，则满足条件的集合B为 ，{1}，共2个．
故选：B．
4．（2025 东西湖区校级模拟）图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A．A∩B∩C B．A∩B∩（ UC） C．A∩（ UB）∩C D．（ UA）∩B∩C
【解答】解：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足“是B的元素，也是A的元素，不是C的元素”，
故阴影部分所表示的集合是A∩B∩（ UC）．
故选：B．
5．（2025 新宁县校级模拟）已知集合M满足{1，2} M {1，2，3，4，5，6}，则所有满足条件的集合M的个数是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【解答】解：由已知可得，1和2一定是集合M的元素，所以只需要考虑剩余元素3，4，5，6的情况即可．
又集合{3，4，5，6}的子集个数为24＝16，所以所有满足条件的集合M的个数是16．
故选：D．
6．（2025春 立山区校级期中）f′（x）为f（x）的一阶导数，且f（x）在R上可导，则“f（x）是奇函数”是“f′（x）是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当f（x）为奇函数时，则f（x）与f′（x）的定义域都为R，且f（﹣x）＝﹣f（x），
两边同时求导，即（f（﹣x））′＝（﹣f（x））′，
得﹣f′（﹣x）＝﹣f′（x），即f′（﹣x）＝f′（x），所以f′（x）为偶函数，即充分性成立；
反之，当f′（x）为偶函数时，取f（x）＝x3+1，
则f′（x）＝x2，显然满足条件，但f（x）显然不是奇函数，即必要性不成立．
故选：A．
7．（2025春 辽宁月考）命题p：﹣5≤x≤3，q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣5，+∞） B．[﹣5，+∞） C．（3，+∞） D．[3，+∞）
【解答】解：命题p：﹣5≤x≤3，q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，
可知集合{x|﹣5≤x≤3}是集合{x|x≤a}的真子集，
所以a≥3．
故选：D．
8．（2025 和平区校级模拟）已知x∈R，若，q：|1﹣x|≤x，则p是q的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由得，
由|1﹣x|≤x得，
所以若成立，则成立，
但成立，但不一定成立，
则p是q的充分不必要条件．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 衡南县期末）若集合A＝{1，n}，B＝{n2，2}，且A∩B≠ ，则n的值可以是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：因为A＝{1，n}，B＝{n2，2}，且A∩B≠ ，
则n＝2或n＝n2或n2＝1，
由元素的互异性，可得n≠1，
所以n的值可以是﹣1，0，2．
故选：ABD．
（多选）10．（2025 武汉模拟）已知n∈N*，记|A|为集合A中元素的个数，min（A）为集合A中的最小元素．若非空数集A {1，2，…，n}，且满足|A|≤min（A），则称集合A为“n阶完美集”．记an为全部n阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ）
A．a4＝7
B．将n阶完美集A的元素全部加1，得到的新集合，是n+1阶完美集
C．若A为（n+2）阶完美集，|A|＞1且n+2∈A，满足条件的集合A的个数为an+1﹣n
D．若A为（n+2）阶完美集，|A|＞1且n+2 A，满足条件的集合A的个数为an+1﹣n﹣1
【解答】解：由题意n∈N*，记|A|为集合A中元素的个数，min（A）为集合A中的最小元素．若非空数集A {1，2，…，n}，且满足|A|≤min（A），则称集合A为“n阶完美集”．
可得当非空数集A是{1，2，3，4}，子集中含1个元素的子集时，|A|＝1，
根据“n阶完美集”的定义，{1，2，3，4}中大于等于1的数有1、2、3、4共4个，
所以此时A可以是{1}、{2}、{3}、[4}，
当非空数集A是{1，2，3，4}，子集中含2个元素的子集时，|A|＝2，{1，2，3，4}中大于等于2的数有2、3、4共3个，
所以此时A可以是{2，3}、{2，4}、{3，4}，
当非空数集A是|1，2，3，4}，子集中含3个元素的子集时，|A|＝3，
{1，2，3，4}中大于等于3的数有3、4共2个，不满足“n阶完美集”的定义，
所以{1，2，3，4}中3个元素的子集不满足．
同理，{1，2，3，4}中含4个元素的子集也不满足．
综上，4阶完美集有{1}、{2}、{3}、{4}、{2，3}、{2，4}、{3，4}，所以a4＝7，故A正确；
若将“n阶完美集”A中元素全部加1，A中元素个数不变，但min（A）加1变大，
均不违背“n+1阶完美集”的定义，所以得到的新集合是一个“n+1阶完美集”，故B正确；
对于满足“n+2阶完美集”的所有A，n+2属于所有A或不属于所有A，均可视为同一情形，
即退化为“n+1阶完美集”的情况，总个数为an+1，又因为|A|＞1，
所以满足条件的集合A要排除掉“n+1阶完美集”中只含有1个元素的情形（排除n+1个单元素集合），
因此满足条件的集合，A的个数均为an+1﹣（n+1）＝an+1﹣n﹣1，故C错误，D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（2025春 船营区校级期末）下列命题正确的是（ ）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若不等式ax2+bx+3＞0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，则a+b＝1
C．设a∈R，则“a＜1”是“”的充要条件
D．已知函数，若f（a）＝﹣2，则f（﹣a）＝4
【解答】解：对于A，取a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3，d＝﹣4，则ac＝3＜8＝bd，故A错误；
对于B，由题可得：a＜0，ax2+bx+3＝0的根为﹣1或3，由韦达定理，，．
则a＝﹣1，b＝2，从而a+b＝1，故B正确；
对于C，取a＝﹣1＜1，则，则“a＜1”不是“”的充要条件，故C错误；
对于D，易得f（x）定义域为R，
注意到，
则f（a）+f（﹣a）＝2，又f（a）＝﹣2，则f（﹣a）＝4，故D正确．
故选：BD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 永宁县校级期中）已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为 [2，+∞） ．
【解答】解：由题意集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，
根据A∪B＝A，可得B A，
即a≥2，故实数a的取值范围为[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
13．（2025春 临泉县校级月考）若f（n）＝（）n+（）n+1（n∈N*），则集合{x|x＝f（n）}中共有 2 个元素．
【解答】解：根据分母实数化可得：i，i，
将上述化简的结果代入f（n）可得f（n）＝in+（﹣i）n+1，
根据i的周期性可以求出x＝﹣1+i或1﹣i，
所以共有2个元素．
故答案为：2．
14．（2025春 南关区校级期末）设p：|x| 1，，则p是q的 必要不充分 条件．（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）
【解答】解：因为，p：|x|≥1 x≤﹣1或x≥1，
所以由q可以推出p，由p不能推出q，
故p是q的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 广东期中）已知集合A＝{x|1﹣a≤x≤1+a}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}．
（1）当a＝2时，求A∪（ RB）；
（2）若a＞0，且“x∈A”是“x∈ RB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥3}，
则 RB＝{x|﹣2＜x＜3}，故A∪（ RB）＝{x|﹣2＜x≤3}；
（2）a＞0，且“x∈A”是“x∈ RB”的充分不必要条件，
故A RB，
故，解得0＜a＜2，
即实数a的取值范围（0，2）．
16．（2025春 龙岗区校级期末）设全集U＝R，集合，集合B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1＜0}，其中a∈R．
（1）当a＝4时，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）全集U＝R，
集合{x|（x﹣4）（x+1）＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}＝（﹣1，4），
集合B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1＜0}，其中a∈R，
当a＝4时，x2﹣2ax+a2﹣1＝x2﹣8x+15＝（x﹣3）（x﹣5）＜0，
解得3＜x＜5，∴B＝（3，5），
∴A∩B＝（3，4）；
（2）由（1）知A＝（﹣1，4），
由x2﹣2ax+a2﹣1＝[x﹣（a﹣1）][x﹣（a+1）]＜0，
得a﹣1＜x＜a+1，
∴B＝（a﹣1，a+1），
∵“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，∴B为A的真子集．
∴或，解得0≤a≤3，
即实数a的取值范围为[0，3]．
17．（2025 盐城模拟）对于有限集合A，B，定义A*B＝{（x，y）|x∈A∩B，y∈A∪B}，用|A|表示集合A的元素个数．
（1）若A＝{﹣1，1}，B＝{0，1，2}，求|A*B|；
（2）求证：|A*B|≤|A||B|；
（3）设A B M＝{a1，a2，a3，…，an}，且|A|＝2，记Sn|A*B|，求Sn．
【解答】（1）解：因为A∩B＝{1}，A∪B＝{﹣1，0，1，2}，
所以A*B＝{（1，﹣1），（1，0），（1，1），（1，2）}，
于是|A*B|＝4．
（2）证明：因为|A*B|＝|A∪B||A∩B|，|A∪B|+|A∩B|＝|A|+|B|，
所以|A||B|﹣|A*B|＝|A||B|﹣|A∪B|（|A|+|B|﹣|A∪B|）
＝|A∪B|2﹣|A∪B||A|﹣|A∪B||B|+|A||B|
＝（|A∪B|﹣|A|）（|A∪B|﹣|B|）≥0，
综上，|A||B|≥|A*B|．
（3）解：当|A∩B|＝2，|A∪B|＝2时，，
所以|A∩B|＝2，|A∪B|＝k时，，
所以，
又因为，
，
所以，
所以．
当n＝2时结论也成立．
18．（2025 河北模拟）若集合M，N满足： x∈M，﹣x∈N，且 x∈N，﹣x∈M，则称M，N互为对偶集．已知函数，定义At＝{x|f（x）＞t}，Bt＝{x|f（x）＜t}．
（1）b＝0，时，证明： p＜q，Af（p） Af（q）；
（2）证明：存在s∈R，使得无论t取何值，At与Bs﹣t均互为对偶集；
（3）若（0，+∞），求b的取值范围．
【解答】（1）证明：由题意知，f（x）（x+1），
则f′（x）0，因此f（x）在R上单调递减，
Af（p）＝{x|f（x）＞f（p）}＝{x|x＜p}，Af（q）＝{x|f（x）＞f（q）}＝{x|x＜q}，又p＜q，所以Af（p） Af（q）．
（2）证明：观察发现，f（x）+f（﹣x）a（x+1）+bx3a（﹣x+1）﹣bx3＝2a+1，
取s＝2a+1，现证At与B2a+1﹣t互为对偶集，
x∈At，f（x）＞t，则2a+1﹣f（﹣x）＞t，即f（﹣x）＜2a+1﹣t，由定义知，﹣x∈B2a+1﹣t，
同理可知， x∈B2a+1﹣t，﹣x∈At，
所以当s＝2a+1时，Ai与Bs﹣t互为对偶集．
（3）解：构造函数，则，即g（x）＞0的充分必要条件为x∈（0，+∞），
若g（0）＜0，又g（1）＞0，由于g（x）的图象在[0，1]上连续不断，
故 x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，则与矛盾，
因此g（0）＝0，代入解得a＝0．
若b＜0，则，不符合题意，舍去．
若b≥0，此时在R上恒成立，
此时f（x）在（0，+∞）上单调递增，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又g（0）＝0，所以g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，符合题意．
综上，b的取值范围是[0，+∞）．
19．（2025春 天津校级月考）已知集合，B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，x∈R}．
（1）当a＝0时，求A∩B；
（2）若x∈A成立的一个充分不必要的条件是x∈B，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由可得，
化简得，解得﹣3≤x＜1，则A＝{x|﹣3≤x＜1}，
B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0}＝{x|a≤x≤a+1}，
当a＝0时，B＝{x|0≤x≤1}，A∩B＝{x|0≤x＜1}．
（2）若x∈A成立的一个充分不必要条件是x∈B，
等价于B A但A B，即B A，
结合数轴可知，得﹣3≤a＜0，
故a的范围为{a|﹣3≤a＜0}．
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2026年高三数学上学期专题突破练：集合与常用逻辑用语
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 湖南期中）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1} B．{0} C．{0，1} D．{﹣1，1}
2．（2025春 云南月考）已知集合M＝{x|x≥2}，N＝{x|x＞a}，若M N，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
3．（2025 五华区模拟）已知集合A，B满足：A＝{x∈N*|x2﹣2≤0}，A∪B＝A，则满足条件的集合B的个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．（2025 东西湖区校级模拟）图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A．A∩B∩C B．A∩B∩（ UC） C．A∩（ UB）∩C D．（ UA）∩B∩C
5．（2025 新宁县校级模拟）已知集合M满足{1，2} M {1，2，3，4，5，6}，则所有满足条件的集合M的个数是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
6．（2025春 立山区校级期中）f′（x）为f（x）的一阶导数，且f（x）在R上可导，则“f（x）是奇函数”是“f′（x）是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（2025春 辽宁月考）命题p：﹣5≤x≤3，q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣5，+∞） B．[﹣5，+∞） C．（3，+∞） D．[3，+∞）
8．（2025 和平区校级模拟）已知x∈R，若，q：|1﹣x|≤x，则p是q的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 衡南县期末）若集合A＝{1，n}，B＝{n2，2}，且A∩B≠ ，则n的值可以是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
（多选）10．（2025 武汉模拟）已知n∈N*，记|A|为集合A中元素的个数，min（A）为集合A中的最小元素．若非空数集A {1，2，…，n}，且满足|A|≤min（A），则称集合A为“n阶完美集”．记an为全部n阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ）
A．a4＝7
B．将n阶完美集A的元素全部加1，得到的新集合，是n+1阶完美集
C．若A为（n+2）阶完美集，|A|＞1且n+2∈A，满足条件的集合A的个数为an+1﹣n
D．若A为（n+2）阶完美集，|A|＞1且n+2 A，满足条件的集合A的个数为an+1﹣n﹣1
（多选）11．（2025春 船营区校级期末）下列命题正确的是（ ）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若不等式ax2+bx+3＞0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，则a+b＝1
C．设a∈R，则“a＜1”是“”的充要条件
D．已知函数，若f（a）＝﹣2，则f（﹣a）＝4
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 永宁县校级期中）已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为 ．
13．（2025春 临泉县校级月考）若f（n）＝（）n+（）n+1（n∈N*），则集合{x|x＝f（n）}中共有 个元素．
14．（2025春 南关区校级期末）设p：|x| 1，，则p是q的 条件．（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 广东期中）已知集合A＝{x|1﹣a≤x≤1+a}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}．
（1）当a＝2时，求A∪（ RB）；
（2）若a＞0，且“x∈A”是“x∈ RB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
16．（2025春 龙岗区校级期末）设全集U＝R，集合，集合B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1＜0}，其中a∈R．
（1）当a＝4时，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
17．（2025 盐城模拟）对于有限集合A，B，定义A*B＝{（x，y）|x∈A∩B，y∈A∪B}，用|A|表示集合A的元素个数．
（1）若A＝{﹣1，1}，B＝{0，1，2}，求|A*B|；
（2）求证：|A*B|≤|A||B|；
（3）设A B M＝{a1，a2，a3，…，an}，且|A|＝2，记Sn|A*B|，求Sn．
18．（2025 河北模拟）若集合M，N满足： x∈M，﹣x∈N，且 x∈N，﹣x∈M，则称M，N互为对偶集．已知函数，定义At＝{x|f（x）＞t}，Bt＝{x|f（x）＜t}．
（1）b＝0，时，证明： p＜q，Af（p） Af（q）；
（2）证明：存在s∈R，使得无论t取何值，At与Bs﹣t均互为对偶集；
（3）若（0，+∞），求b的取值范围．
19．（2025春 天津校级月考）已知集合，B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，x∈R}．
（1）当a＝0时，求A∩B；
（2）若x∈A成立的一个充分不必要的条件是x∈B，求实数a的取值范围．
2026年高三数学上学期专题突破练：集合与常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B B D A D B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD ABD BD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 湖南期中）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1} B．{0} C．{0，1} D．{﹣1，1}
【解答】解：因为A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，
根据集合交集运算可得，A∩B＝{﹣1，1}．
故选：D．
2．（2025春 云南月考）已知集合M＝{x|x≥2}，N＝{x|x＞a}，若M N，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【解答】解：∵集合M＝{x|x≥2}，N＝{x|x＞a}，M N，
∴a＜2，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，2）．
故选：A．
3．（2025 五华区模拟）已知集合A，B满足：A＝{x∈N*|x2﹣2≤0}，A∪B＝A，则满足条件的集合B的个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解答】解：A＝{x∈N*|x2﹣2≤0}＝{1}，
A∪B＝A，则满足条件的集合B为 ，{1}，共2个．
故选：B．
4．（2025 东西湖区校级模拟）图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A．A∩B∩C B．A∩B∩（ UC） C．A∩（ UB）∩C D．（ UA）∩B∩C
【解答】解：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足“是B的元素，也是A的元素，不是C的元素”，
故阴影部分所表示的集合是A∩B∩（ UC）．
故选：B．
5．（2025 新宁县校级模拟）已知集合M满足{1，2} M {1，2，3，4，5，6}，则所有满足条件的集合M的个数是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【解答】解：由已知可得，1和2一定是集合M的元素，所以只需要考虑剩余元素3，4，5，6的情况即可．
又集合{3，4，5，6}的子集个数为24＝16，所以所有满足条件的集合M的个数是16．
故选：D．
6．（2025春 立山区校级期中）f′（x）为f（x）的一阶导数，且f（x）在R上可导，则“f（x）是奇函数”是“f′（x）是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当f（x）为奇函数时，则f（x）与f′（x）的定义域都为R，且f（﹣x）＝﹣f（x），
两边同时求导，即（f（﹣x））′＝（﹣f（x））′，
得﹣f′（﹣x）＝﹣f′（x），即f′（﹣x）＝f′（x），所以f′（x）为偶函数，即充分性成立；
反之，当f′（x）为偶函数时，取f（x）＝x3+1，
则f′（x）＝x2，显然满足条件，但f（x）显然不是奇函数，即必要性不成立．
故选：A．
7．（2025春 辽宁月考）命题p：﹣5≤x≤3，q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣5，+∞） B．[﹣5，+∞） C．（3，+∞） D．[3，+∞）
【解答】解：命题p：﹣5≤x≤3，q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，
可知集合{x|﹣5≤x≤3}是集合{x|x≤a}的真子集，
所以a≥3．
故选：D．
8．（2025 和平区校级模拟）已知x∈R，若，q：|1﹣x|≤x，则p是q的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由得，
由|1﹣x|≤x得，
所以若成立，则成立，
但成立，但不一定成立，
则p是q的充分不必要条件．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 衡南县期末）若集合A＝{1，n}，B＝{n2，2}，且A∩B≠ ，则n的值可以是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：因为A＝{1，n}，B＝{n2，2}，且A∩B≠ ，
则n＝2或n＝n2或n2＝1，
由元素的互异性，可得n≠1，
所以n的值可以是﹣1，0，2．
故选：ABD．
（多选）10．（2025 武汉模拟）已知n∈N*，记|A|为集合A中元素的个数，min（A）为集合A中的最小元素．若非空数集A {1，2，…，n}，且满足|A|≤min（A），则称集合A为“n阶完美集”．记an为全部n阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ）
A．a4＝7
B．将n阶完美集A的元素全部加1，得到的新集合，是n+1阶完美集
C．若A为（n+2）阶完美集，|A|＞1且n+2∈A，满足条件的集合A的个数为an+1﹣n
D．若A为（n+2）阶完美集，|A|＞1且n+2 A，满足条件的集合A的个数为an+1﹣n﹣1
【解答】解：由题意n∈N*，记|A|为集合A中元素的个数，min（A）为集合A中的最小元素．若非空数集A {1，2，…，n}，且满足|A|≤min（A），则称集合A为“n阶完美集”．
可得当非空数集A是{1，2，3，4}，子集中含1个元素的子集时，|A|＝1，
根据“n阶完美集”的定义，{1，2，3，4}中大于等于1的数有1、2、3、4共4个，
所以此时A可以是{1}、{2}、{3}、[4}，
当非空数集A是{1，2，3，4}，子集中含2个元素的子集时，|A|＝2，{1，2，3，4}中大于等于2的数有2、3、4共3个，
所以此时A可以是{2，3}、{2，4}、{3，4}，
当非空数集A是|1，2，3，4}，子集中含3个元素的子集时，|A|＝3，
{1，2，3，4}中大于等于3的数有3、4共2个，不满足“n阶完美集”的定义，
所以{1，2，3，4}中3个元素的子集不满足．
同理，{1，2，3，4}中含4个元素的子集也不满足．
综上，4阶完美集有{1}、{2}、{3}、{4}、{2，3}、{2，4}、{3，4}，所以a4＝7，故A正确；
若将“n阶完美集”A中元素全部加1，A中元素个数不变，但min（A）加1变大，
均不违背“n+1阶完美集”的定义，所以得到的新集合是一个“n+1阶完美集”，故B正确；
对于满足“n+2阶完美集”的所有A，n+2属于所有A或不属于所有A，均可视为同一情形，
即退化为“n+1阶完美集”的情况，总个数为an+1，又因为|A|＞1，
所以满足条件的集合A要排除掉“n+1阶完美集”中只含有1个元素的情形（排除n+1个单元素集合），
因此满足条件的集合，A的个数均为an+1﹣（n+1）＝an+1﹣n﹣1，故C错误，D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（2025春 船营区校级期末）下列命题正确的是（ ）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若不等式ax2+bx+3＞0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，则a+b＝1
C．设a∈R，则“a＜1”是“”的充要条件
D．已知函数，若f（a）＝﹣2，则f（﹣a）＝4
【解答】解：对于A，取a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3，d＝﹣4，则ac＝3＜8＝bd，故A错误；
对于B，由题可得：a＜0，ax2+bx+3＝0的根为﹣1或3，由韦达定理，，．
则a＝﹣1，b＝2，从而a+b＝1，故B正确；
对于C，取a＝﹣1＜1，则，则“a＜1”不是“”的充要条件，故C错误；
对于D，易得f（x）定义域为R，
注意到，
则f（a）+f（﹣a）＝2，又f（a）＝﹣2，则f（﹣a）＝4，故D正确．
故选：BD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 永宁县校级期中）已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为 [2，+∞） ．
【解答】解：由题意集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，
根据A∪B＝A，可得B A，
即a≥2，故实数a的取值范围为[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
13．（2025春 临泉县校级月考）若f（n）＝（）n+（）n+1（n∈N*），则集合{x|x＝f（n）}中共有 2 个元素．
【解答】解：根据分母实数化可得：i，i，
将上述化简的结果代入f（n）可得f（n）＝in+（﹣i）n+1，
根据i的周期性可以求出x＝﹣1+i或1﹣i，
所以共有2个元素．
故答案为：2．
14．（2025春 南关区校级期末）设p：|x| 1，，则p是q的 必要不充分 条件．（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）
【解答】解：因为，p：|x|≥1 x≤﹣1或x≥1，
所以由q可以推出p，由p不能推出q，
故p是q的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 广东期中）已知集合A＝{x|1﹣a≤x≤1+a}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}．
（1）当a＝2时，求A∪（ RB）；
（2）若a＞0，且“x∈A”是“x∈ RB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥3}，
则 RB＝{x|﹣2＜x＜3}，故A∪（ RB）＝{x|﹣2＜x≤3}；
（2）a＞0，且“x∈A”是“x∈ RB”的充分不必要条件，
故A RB，
故，解得0＜a＜2，
即实数a的取值范围（0，2）．
16．（2025春 龙岗区校级期末）设全集U＝R，集合，集合B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1＜0}，其中a∈R．
（1）当a＝4时，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）全集U＝R，
集合{x|（x﹣4）（x+1）＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}＝（﹣1，4），
集合B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1＜0}，其中a∈R，
当a＝4时，x2﹣2ax+a2﹣1＝x2﹣8x+15＝（x﹣3）（x﹣5）＜0，
解得3＜x＜5，∴B＝（3，5），
∴A∩B＝（3，4）；
（2）由（1）知A＝（﹣1，4），
由x2﹣2ax+a2﹣1＝[x﹣（a﹣1）][x﹣（a+1）]＜0，
得a﹣1＜x＜a+1，
∴B＝（a﹣1，a+1），
∵“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，∴B为A的真子集．
∴或，解得0≤a≤3，
即实数a的取值范围为[0，3]．
17．（2025 盐城模拟）对于有限集合A，B，定义A*B＝{（x，y）|x∈A∩B，y∈A∪B}，用|A|表示集合A的元素个数．
（1）若A＝{﹣1，1}，B＝{0，1，2}，求|A*B|；
（2）求证：|A*B|≤|A||B|；
（3）设A B M＝{a1，a2，a3，…，an}，且|A|＝2，记Sn|A*B|，求Sn．
【解答】（1）解：因为A∩B＝{1}，A∪B＝{﹣1，0，1，2}，
所以A*B＝{（1，﹣1），（1，0），（1，1），（1，2）}，
于是|A*B|＝4．
（2）证明：因为|A*B|＝|A∪B||A∩B|，|A∪B|+|A∩B|＝|A|+|B|，
所以|A||B|﹣|A*B|＝|A||B|﹣|A∪B|（|A|+|B|﹣|A∪B|）
＝|A∪B|2﹣|A∪B||A|﹣|A∪B||B|+|A||B|
＝（|A∪B|﹣|A|）（|A∪B|﹣|B|）≥0，
综上，|A||B|≥|A*B|．
（3）解：当|A∩B|＝2，|A∪B|＝2时，，
所以|A∩B|＝2，|A∪B|＝k时，，
所以，
又因为，
，
所以，
所以．
当n＝2时结论也成立．
18．（2025 河北模拟）若集合M，N满足： x∈M，﹣x∈N，且 x∈N，﹣x∈M，则称M，N互为对偶集．已知函数，定义At＝{x|f（x）＞t}，Bt＝{x|f（x）＜t}．
（1）b＝0，时，证明： p＜q，Af（p） Af（q）；
（2）证明：存在s∈R，使得无论t取何值，At与Bs﹣t均互为对偶集；
（3）若（0，+∞），求b的取值范围．
【解答】（1）证明：由题意知，f（x）（x+1），
则f′（x）0，因此f（x）在R上单调递减，
Af（p）＝{x|f（x）＞f（p）}＝{x|x＜p}，Af（q）＝{x|f（x）＞f（q）}＝{x|x＜q}，又p＜q，所以Af（p） Af（q）．
（2）证明：观察发现，f（x）+f（﹣x）a（x+1）+bx3a（﹣x+1）﹣bx3＝2a+1，
取s＝2a+1，现证At与B2a+1﹣t互为对偶集，
x∈At，f（x）＞t，则2a+1﹣f（﹣x）＞t，即f（﹣x）＜2a+1﹣t，由定义知，﹣x∈B2a+1﹣t，
同理可知， x∈B2a+1﹣t，﹣x∈At，
所以当s＝2a+1时，Ai与Bs﹣t互为对偶集．
（3）解：构造函数，则，即g（x）＞0的充分必要条件为x∈（0，+∞），
若g（0）＜0，又g（1）＞0，由于g（x）的图象在[0，1]上连续不断，
故 x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，则与矛盾，
因此g（0）＝0，代入解得a＝0．
若b＜0，则，不符合题意，舍去．
若b≥0，此时在R上恒成立，
此时f（x）在（0，+∞）上单调递增，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又g（0）＝0，所以g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，符合题意．
综上，b的取值范围是[0，+∞）．
19．（2025春 天津校级月考）已知集合，B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，x∈R}．
（1）当a＝0时，求A∩B；
（2）若x∈A成立的一个充分不必要的条件是x∈B，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由可得，
化简得，解得﹣3≤x＜1，则A＝{x|﹣3≤x＜1}，
B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0}＝{x|a≤x≤a+1}，
当a＝0时，B＝{x|0≤x≤1}，A∩B＝{x|0≤x＜1}．
（2）若x∈A成立的一个充分不必要条件是x∈B，
等价于B A但A B，即B A，
结合数轴可知，得﹣3≤a＜0，
故a的范围为{a|﹣3≤a＜0}．
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