2024-2025学年上海崇明区高二下学期数学区统考试卷（含答案）

崇明区2024-2025学年第二学期高二年级数学期末统考
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．双曲线的渐近线方程为_______．
2．以为圆心，为半径的圆的方程是_______．
3．椭圆的两个焦点之间的距离为_______．
4．直线与直线的夹角的大小是_______．
5．某地市场上，某商品主要有甲、乙两种品牌，已知甲的市场占有率为45%，乙的市场占有率为55%．已知甲品牌一等品比例为90%，乙品牌一等品的比例为95%．现在该地市场上任取一件该商品，它是一等品的概率是_______．
6．已知点，则线段的垂直平分线方程为_______．
7．已知随机变量服从正态分布，且，则_______．
8．某班级有40名学生，其中男生21名，女生19名，男生中有10名团员，女生中有9名团员，在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则_______．
9．曲线与直线交于A、B两点，则线段AB的长度为_______．
10．已知曲线在处的切线方程为，则_______．
11．已知，若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 ．
12．已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表：
＋ 0 － 0 ＋
设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数最多为_______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每题5分）
13．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
14．方程可以化简为
A． B． C． D．
15．已知函数的图像是连绵不断的曲线，其导函数为．有如下两个命题：
①若为奇函数，则为偶函数；
②存在函数，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调．则
A．①②都是真命题 B．①②都是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题
16．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取1球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A． 增加，增加 B． 增加，减小
C． 减小，增加 D． 减小，减小
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分．本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）
求经过点，且满足下列条件的直线的方程：
（1）经过点；
（2）与直线平行．
18．（本题满分14分．本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
已知圆，直线．
（1）若直线与圆相切，求实数的值；
（2）直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径．
19．（本题满分14分．本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）
甲、乙、丙三人进行篮球投篮比赛，共比赛8场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
场次 1 2 3 4 5 6 7 8
甲 9 10 11 8 12 10 9 13
乙 8 12 9 11 10 13 8 11
丙 10 9 12 10 9 8 11 12
（1）从上述8场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
（2）在上述8场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场次数，求的分布列和数学期望；
（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述8场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行5场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由．
20．（本题满分18分．本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
如图，已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M, N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足且，线段PN交x轴于点Q．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若四边形为矩形，求点的坐标；
（3）求证：为定值．
21．（本题满分18分．本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
已知，．
（1）求曲线在处的切线；
（2）设R，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数；
（3）与曲线均相切的直线是否存在？若存在，有几条？请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8. ; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知，若函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵二次函数开口向下，是极大值，
一次函数，当时，函数时单调函数，没有极值点，
要想函数有两个极值点，则这两个极值点为和，
又∵函数在上单调递减，∴在上递增，
∴，∴．故答案为：．
12．已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表：
＋ 0 － 0 ＋
设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数最多为_______．
【答案】
【解析】∵由的值，可得的大致图像如右图所示，一个函数值，可以对应的自变量的值的个数可能为，欲使的个数最多，则应在两个极值之间取值，此时，一个函数值对应个个自变量，可能的情况种数为种，则共有种
二、选择题
13.C 14.B 15.A 16.C
16．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取1球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A． 增加，增加 B． 增加，减小
C． 减小，增加 D． 减小，减小
【答案】C
【解析】依题意，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，
即，其中，其中且，
故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为个，
故，随机变量服从两点分布，
所以，随着的增大，减小；
，随着的增大，增大；
故选：．
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
（3）二项分布，分别计算即可
20．（本题满分18分．本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
如图，已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M, N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足且，线段PN交x轴于点Q．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若四边形为矩形，求点的坐标；
（3）求证：为定值．
【答案】（1） （2） （3）证明见解析，
【解析】（1）由题可知，则，
所以椭圆的离心率为
（2）连结，交于点，则为中点，且为中点，
所以，设，则，
又，所以，故点M的坐标是，
（3）由（2）知，，所以，
由题意,
又，所以，所以或（舍去），
所以，为定值
21．21．（本题满分18分．本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
已知，．
（1）求曲线在处的切线；
（2）设R，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数；
（3）与曲线均相切的直线是否存在？若存在，有几条？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）当时无解，当时有一个解，当时有两个解；
（3）存在，有两条.
解析】（1），则
故所求切线为，即（或）
（2）设，则
令，得
利用单调性可有当时无解，当时有一个解，当时有两个解
（3）
假设存在这样的直线满足条件，且直线与的切点为，与的切点为，则有
，消整理可有
由（2）的结论知，该方程有两个正根，从而满足条件的切线有两条.