2024-2025学年上海交大附中高一下学期数学期末试卷（含答案）

交大附中2024-2025学年第二学期高一年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.若直线：与直线：垂直，则实数的值等于 .
2.已知．若为偶函数，则 .
3.函数的最小正周期为 .
4.函数的定义域为 .
5.已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则 .（结果用数值表示）
6.*等差数列的前项和为，已知，，当最大时，的值是 .
7.已知函数有零点，但不能用二分法求解，则实数c的值是 .
8.*在区间上，函数与图像的公共点个数为 .
9.*若直线（常数）与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是 .
10.设无穷等比数列所有奇数项之和为，则等比数列所有项的和的取值范围是 .
11.已知向量与满足，且对一切，满足，则的最大值为 .
12.平面上有三点到直线（、不全为）距离之和的最小值为________．
二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．）
13.“为锐角”是“”的（ ）.
A.充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件
14.*已知是圆：（）外一点，则直线与圆的位置关系是（ ）.
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
15.*复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（ ）.
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形
16.已知．有下列三个结论：①存在在第一象限，在第三象限．
②存在在第二象限，在第四象限．③存在在第一象限，在第四象限．则（ ）.
A．①②均正确 B．①③均正确
C．②③均正确 D．①②③均不正确
三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）
17.（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）
*已知单位向量、满足，．
（1）将、的数量积表示为关于的函数；
（2）求函数的最大值及取得最大值时与的夹角．
18.（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）
已知，关于的实系数一元二次方程．
（1）若方程的一个根大于，另一个根小于，求实数的取值范围；
（2）方程的两根模均小于，求实数的取值范围．
19.（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）
最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，、、是三个军事基地，为一个军事要塞，在线段上．已知，千米，到、的距离分别为千米、千米．以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，位于第一象限．
（1）求两个军事基地间的距离；
（2）若要塞正北方向距离要塞千米处有一处正在进行爆破试验，爆炸波生成小时时的半径为千米（参数为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以每小时千米的速度自基地飞往基地，问参数控制在什么范围内，爆炸波不会波及到飞行器的飞行．
20.（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）
已知，其中为正整数．
（1）当时，求方程的解集；
（2）若是偶函数，当取最小值时，求的取值范围；
（3）若是常数函数，求的值．
21.（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）
无穷数列．定义集合存在正整数，使得且，集合存在正整数，使得且．
（1）已知，请直接写出集合、；
（2）已知，，若，求的取值范围；
（3）已知为无限集，求证：“是增数列”的充要条件是“且”．
交大附中2024-2025学年第二学期高一年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.若直线：与直线：垂直，则实数的值等于 .
【答案】
2.已知．若为偶函数，则 .
【答案】
3.函数的最小正周期为 .
【答案】
4.函数的定义域为 .
【答案】
【解析】要使函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为．
5.已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则 .（结果用数值表示）
【答案】
6.*等差数列的前项和为，已知，，当最大时，的值是 .
【答案】
7.已知函数有零点，但不能用二分法求解，则实数c的值是 .
【答案】
【解析】由题意知函数在零点两侧同号，所以，解得．
8.*在区间上，函数与图像的公共点个数为 .
【答案】
9.*若直线（常数）与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是 .
【答案】
10.设无穷等比数列所有奇数项之和为，则等比数列所有项的和的取值范围是 .
【答案】
11.已知向量与满足，且对一切，满足，则的最大值为 .
【答案】
【解析】已知，几何意义可知，
故，，在以为直径的圆上，记（），
则，
当时，取到等号，所以，的最大值为．
12.平面上有三点到直线（、不全为）距离之和的最小值为________．
【答案】
【解析】调整法，先平移，证明直线必定过其中一点．再绕一点旋转，证明必定经过另外一点．从而必定与三角形最长边重合．
二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．）
13.“为锐角”是“”的（ ）.
A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
14.*已知是圆：（）外一点，则直线与圆的位置关系是（ ）.
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】A
15.*复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（ ）.
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形
【答案】C
16.已知．有下列三个结论：①存在在第一象限，在第三象限．
②存在在第二象限，在第四象限．③存在在第一象限，在第四象限．则（ ）.
A．①②均正确 B．①③均正确
C．②③均正确 D．①②③均不正确
【答案】C
三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）
17.（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）
*已知单位向量、满足，．
（1）将、的数量积表示为关于的函数；
（2）求函数的最大值及取得最大值时与的夹角．
【答案】（1），．
（2）的最大值为，．
【解析】（1）平方得．
，．（得6分，不写或写错定义域扣1分）
（2），所以．
当且仅当时取到等号，所以的最大值为．（得4分）
此时，．（得4分）
18.（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）
已知，关于的实系数一元二次方程．
（1）若方程的一个根大于，另一个根小于，求实数的取值范围；
（2）方程的两根模均小于，求实数的取值范围．
【答案】（1）． （2）．
【解析】（1）由题意知两个根均为实根，故，（后面错给2分）
（后面错给3分），解得．
故实数的取值范围为．（得6分）
（2）．
情况一：，，方程有两个实根．对称轴为，
故只需满足，故．（得4分）
情况二：，．方程有两个共轭虚根，，
故．（得4分）
综上，故实数的取值范围为．（不并扣1分）
19.（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）
最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，、、是三个军事基地，为一个军事要塞，在线段上．已知，千米，到、的距离分别为千米、千米．以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，位于第一象限．
（1）求两个军事基地间的距离；
（2）若要塞正北方向距离要塞千米处有一处正在进行爆破试验，爆炸波生成小时时的半径为千米（参数为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以每小时千米的速度自基地飞往基地，问参数控制在什么范围内，爆炸波不会波及到飞行器的飞行．
【答案】（1）千米．
（2）当参数控制在时，爆炸波不会波及飞行器的飞行．
【解析】（1）由题设得，直线方程为，（），
由，且，解得，所以．（得2分）
所以直线的方程为，即，
联立方程，解得，即，（得2分）
所以，
即基地间的距离为千米．（得2分）
（2）设爆炸产生的爆炸波圆，
由题意可得，爆炸波生成小时后，飞行在线段上的点处，
则，，所以，（得2分）
爆炸波不会波及飞行器的通行，即对恒成立．
所以，（得2分）
当时，上式恒成立；当时，整理得，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，（得3分）
所以在时，恒成立，亦即爆炸波不会波及飞行的通行．
当参数控制在时，爆炸波不会波及飞行器的飞行.（得1分）
20.（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）
已知，其中为正整数．
（1）当时，求方程的解集；
（2）若是偶函数，当取最小值时，求的取值范围；
（3）若是常数函数，求的值．
【答案】（1）或 （2）
（3）
【解析】（1）当时，，（得2分）
由得：，解得，或，
即或，，故所求方程的解集为
或．（得2分，未写解集扣1分）
（2）的定义域为，
由是偶函数得：任取，有且，
即
，
所以
，
从而，进而，所以为正奇数，
当取最小值即时，，（得2分）
所以，（），
令，（），
则，且，
所以函数的值域转化为，且的值域（得2分）
对称轴，所以在及上单调递减，在及上单调递增，所以当时，取得最小值；
当时，取得最大值；
又当时，，当时，；
故函数的取值范围为．
（得2分，未挖点扣1分）
（3）因为任取且，，
所以若是常数函数，则．（得1分）
①当时，由（1）知，，不是常数函数；（得1分）
②当时，，
此时，，不是常数函数；（得1分）
③当时，
，所以是常数函数；（得3分）
④当时，，不是常数函数；（得2分）
综上所述：．
21.（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）
无穷数列．定义集合存在正整数，使得且，集合存在正整数，使得且．
（1）已知，请直接写出集合、；
（2）已知，，若，求的取值范围；
（3）已知为无限集，求证：“是增数列”的充要条件是“且”．
【答案】（1）见解析 （2） （3）证明见解析
【解析】（1），（得2分）
．（得2分）
（2）由于，故，从而为数列最大项．反之，为数列最大项．
任取，则存在，必然不是数列最大项，
故必有，从而，即．（证明得2分）
所以的充要条件是为数列最大项．（出现得2分）
由周期性，只需考虑的情况，利用单位圆可知，
故的取值范围．（得2分，开闭问题扣1分）
（3）必要性：是增数列，任取且，下证，．
由单调性，一切，有，，故．（得1分）
假设，则一切，有，由增数列，，从而．
此时，为有限集，矛盾．
故，从而．（得2分，共3分）
充分性：任取且，则或．从而必不是数列最大项．（得2分）
同理可知，，，…，均不是数列最大项，记这前项中最大项为，
因为不是数列最大项，故存在，使得，从而．
因为是任取的，从而，而，从而．
所以对任意，，所以，从而是增数列．（得5分）