10.1.1 平方根（第1课时）教案 2025-2026学年数学人教版八年级上册
文档属性
| 名称 | 10.1.1 平方根（第1课时）教案 2025-2026学年数学人教版八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 298.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-10 22:54:27 | ||
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文档简介
1 平方根
第1课时 平方根
课题 第1课时 平方根 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P2-5
教学目标 1.了解平方根的概念,会求一个简单的数的平方根. 2.了解平方根的性质. 3.在概念形成过程中,让学生体会知识的来源与发展,提高学生的思维能力.在合作交流等活动中,培养他们的合作精神和创新意识. 4.能用平方根的概念及性质解决有关问题. 5.让学生积极参与教学活动,培养他们对数学的好奇心和求知欲.
教学重难点 重点：1.了解平方根、开平方的概念。 2.了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根。 3.了解平方根与算术平方根的区别与联系。 难点：利用平方根的定义和性质求解一些问题.
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 师生活动：教师提出问题，学生思考回答，解决下列问题。 教师展示课件。 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得成功。4月26日，在轨执行任务的神舟十七号航天员乘组打开舱门，迎接神舟十八号航天员乘组入驻“天宫”。5月28日，神舟十八号航天员乘组圆满完成第一次出舱活动。 其飞行速度大于第一宇宙速度v1，而小于第二宇宙速度v2,v1,v2满足v12=gR，v22=2gR。 教师提问：同学们思考，如何求v1,v2呢？ （教师板书：第1课时 平方根） 通过熟悉的问题情境,求正方形的边长,这是小学问题的引申,后面的追问涉及本节的重要内容,由此引出本课时知识较为自然.
2.实践探究，学习新知 【探究1】平方根的概念及表示 教师提问： 问题1：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 学生：3或3 师生活动：学生可能很快回答出这个数是3，教师提示学生注意本题中没有限制所求的数是正数。 问题2：平方等于的数有几个？平方等于0的数呢？ 学生：平方等于的数有和-，平方等于0的数是0. 教师提问：如果我们把3、、0分别叫做9，，0的平方根，你能总结出平方根的概念吗？ 教师展示课件，导入概念并强调（加黑）： 概念导入：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根。例如，3和3是9的平方根，即9的平方根是3。 教师追问：根据上面的概念，思考一下，正数a的平方根怎么表示？ 师生活动：简单思考交流后，学生一般能正确表达出来，教师进行总结概括，并引出下面的问题。 教师总结：正数a的平方根可表达式为：若x=a，那么x叫做a的平方根，记作，读作“正、负根号a”。 （可将下图简单板书） 【探究2】平方根的性质 教师提问：3和-3，和-有什么特征？ 学生回答：互为相反数。 教师追问：（1）一个正数有几个平方根？ （2）0的平方根是多少？ （3）负数有平方根吗？ 师生活动：学生讨论、交流，重点讨论负数为什么没有平方根，师补充总结。 学生讨论得出：正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。 【归纳总结】 1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。 注意：一个正数有两个平方根，不要丢掉负的平方根。 2.正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。 【探究3】开平方运算 教师提问：已知一个数，求它的平方的运算，叫做平方运算。反之，已知一个数的平方，求这个数的运算叫什么？ 结论：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算。 通过学生的自主学习及回答问题,引导学生形成“平方根”的概念,并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化,教师应关注学生能否准确地用语言表达平方根的概念;以此培养学生自学、观察、分析的能力及归纳总结的能力. 要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达，能熟练地求出一个数的平方根，然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数。
【教材例题】 例 求下列各数的平方根： （1）64；（2）；（3）0.000 4；（4）；（5）11。 师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后再小组交流探讨。教师板书一道例题书写过程，其余题目可由学生代表板书完成，最终教师展示答题过程。 解：（1）因为=64，所以64的平方根是，； （2）因为，所以的平方根是，； （3）因为， 所以的平方根是，即； （4）因为，所以，； （5）。 例2 根据平方根的意义,求下列各式中的x值. (1)x2=0.25;(2)x2-144=0;(3)4x2=49;(4)25x2-36=0. 分析:(1)∵(±0.5)2=0.25,∴x=±0.5; （2）可以转化为x2=144; (3)可以转化为x2=; (4)可以转化为x2=. 然后依照(1)的形式进行计算,在变形的时候可以参照类比解一元一次方程的变形. 通过对例题的讲解，使学生能准确地书写表达，掌握正确的符号化语言。运用理论知识,结合实践进行解题训练.利用两者的结合,指导学生学以致用. 使学生通过所学的这部分的知识,在原来的基础上拓宽、提升,并结合已学的知识,达到综合应用的目的.
3.学以致用，应用新知 考点 平方根 例 如下列说法不正确的是（ ） A.0的平方根是0 B.的平方根是 C.非负数的平方根是互为相反数 D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数 答案：B 变式训练 已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ） A.a+1 B. C.+1 D. 答案：D 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯。
4.随堂训练，巩固新知 1.下列说法正确的个数是（ ） ① ②25的平方根是5； ③的平方根是； ④平方根等于0的数是0； ⑤64的平方根是8． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 2.关于平方根，下列说法正确的是( ) A．任何一个数都有两个平方根，并且它们互为相反数. B．负数没有平方根. C．任何一个数只有一个平方根. D．以上都不对. 答案：B 3.判断下列说法是否正确，并说明理由. (1)49的平方根是7； (2)2是4的平方根； (3)-5是25的平方根； (4)64的平方根是±8； (5)-16的平方根是-4。 答案：(1)×，一个正数有两个平方根；(2)√；(3)√；(4)√；(5)×，负数没有平方根. 4.若单项式2xmy3与3xym＋n是同类项，则的值为 。 答案：2 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？并引导学生围绕下列问题进行反思总结： （1）如何正确理解“±”？ （2）如何求平方根？ （3）平方根与算术平方根的区别与联系？ （4）平方根有哪些性质。 让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯。
6.布置作业 课本P4练习和P7习题。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第1课时 平方根 提纲掣领，重点突出。
教后反思 （1）授课流程反思 要想让学生正确、牢固地树立平方根的概念,需要由浅入深、不断深化.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.概念教学过程中要做到:讲清概念,加强训练,逐步深化. （2）讲授效果反思 这节课的重点是平方根的概念教学和用求平方的运算求平方根,在讲解概念时应注意概念的自然引导和对概念的解释,特别是在x2=a中,x是a的平方根,这一点一定要强调清楚. （3）师生互动反思 通过师生间频繁的互动,使学生深刻理解平方根的概念,准确表述,并通过练习巩固掌握. 反思，更进一步提升。
第1课时 平方根
课题 第1课时 平方根 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P2-5
教学目标 1.了解平方根的概念,会求一个简单的数的平方根. 2.了解平方根的性质. 3.在概念形成过程中,让学生体会知识的来源与发展,提高学生的思维能力.在合作交流等活动中,培养他们的合作精神和创新意识. 4.能用平方根的概念及性质解决有关问题. 5.让学生积极参与教学活动,培养他们对数学的好奇心和求知欲.
教学重难点 重点：1.了解平方根、开平方的概念。 2.了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根。 3.了解平方根与算术平方根的区别与联系。 难点：利用平方根的定义和性质求解一些问题.
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 师生活动：教师提出问题，学生思考回答，解决下列问题。 教师展示课件。 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得成功。4月26日，在轨执行任务的神舟十七号航天员乘组打开舱门，迎接神舟十八号航天员乘组入驻“天宫”。5月28日，神舟十八号航天员乘组圆满完成第一次出舱活动。 其飞行速度大于第一宇宙速度v1，而小于第二宇宙速度v2,v1,v2满足v12=gR，v22=2gR。 教师提问：同学们思考，如何求v1,v2呢？ （教师板书：第1课时 平方根） 通过熟悉的问题情境,求正方形的边长,这是小学问题的引申,后面的追问涉及本节的重要内容,由此引出本课时知识较为自然.
2.实践探究，学习新知 【探究1】平方根的概念及表示 教师提问： 问题1：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 学生：3或3 师生活动：学生可能很快回答出这个数是3，教师提示学生注意本题中没有限制所求的数是正数。 问题2：平方等于的数有几个？平方等于0的数呢？ 学生：平方等于的数有和-，平方等于0的数是0. 教师提问：如果我们把3、、0分别叫做9，，0的平方根，你能总结出平方根的概念吗？ 教师展示课件，导入概念并强调（加黑）： 概念导入：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根。例如，3和3是9的平方根，即9的平方根是3。 教师追问：根据上面的概念，思考一下，正数a的平方根怎么表示？ 师生活动：简单思考交流后，学生一般能正确表达出来，教师进行总结概括，并引出下面的问题。 教师总结：正数a的平方根可表达式为：若x=a，那么x叫做a的平方根，记作，读作“正、负根号a”。 （可将下图简单板书） 【探究2】平方根的性质 教师提问：3和-3，和-有什么特征？ 学生回答：互为相反数。 教师追问：（1）一个正数有几个平方根？ （2）0的平方根是多少？ （3）负数有平方根吗？ 师生活动：学生讨论、交流，重点讨论负数为什么没有平方根，师补充总结。 学生讨论得出：正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。 【归纳总结】 1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。 注意：一个正数有两个平方根，不要丢掉负的平方根。 2.正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。 【探究3】开平方运算 教师提问：已知一个数，求它的平方的运算，叫做平方运算。反之，已知一个数的平方，求这个数的运算叫什么？ 结论：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算。 通过学生的自主学习及回答问题,引导学生形成“平方根”的概念,并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化,教师应关注学生能否准确地用语言表达平方根的概念;以此培养学生自学、观察、分析的能力及归纳总结的能力. 要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达，能熟练地求出一个数的平方根，然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数。
【教材例题】 例 求下列各数的平方根： （1）64；（2）；（3）0.000 4；（4）；（5）11。 师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后再小组交流探讨。教师板书一道例题书写过程，其余题目可由学生代表板书完成，最终教师展示答题过程。 解：（1）因为=64，所以64的平方根是，； （2）因为，所以的平方根是，； （3）因为， 所以的平方根是，即； （4）因为，所以，； （5）。 例2 根据平方根的意义,求下列各式中的x值. (1)x2=0.25;(2)x2-144=0;(3)4x2=49;(4)25x2-36=0. 分析:(1)∵(±0.5)2=0.25,∴x=±0.5; （2）可以转化为x2=144; (3)可以转化为x2=; (4)可以转化为x2=. 然后依照(1)的形式进行计算,在变形的时候可以参照类比解一元一次方程的变形. 通过对例题的讲解，使学生能准确地书写表达，掌握正确的符号化语言。运用理论知识,结合实践进行解题训练.利用两者的结合,指导学生学以致用. 使学生通过所学的这部分的知识,在原来的基础上拓宽、提升,并结合已学的知识,达到综合应用的目的.
3.学以致用，应用新知 考点 平方根 例 如下列说法不正确的是（ ） A.0的平方根是0 B.的平方根是 C.非负数的平方根是互为相反数 D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数 答案：B 变式训练 已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ） A.a+1 B. C.+1 D. 答案：D 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯。
4.随堂训练，巩固新知 1.下列说法正确的个数是（ ） ① ②25的平方根是5； ③的平方根是； ④平方根等于0的数是0； ⑤64的平方根是8． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 2.关于平方根，下列说法正确的是( ) A．任何一个数都有两个平方根，并且它们互为相反数. B．负数没有平方根. C．任何一个数只有一个平方根. D．以上都不对. 答案：B 3.判断下列说法是否正确，并说明理由. (1)49的平方根是7； (2)2是4的平方根； (3)-5是25的平方根； (4)64的平方根是±8； (5)-16的平方根是-4。 答案：(1)×，一个正数有两个平方根；(2)√；(3)√；(4)√；(5)×，负数没有平方根. 4.若单项式2xmy3与3xym＋n是同类项，则的值为 。 答案：2 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？并引导学生围绕下列问题进行反思总结： （1）如何正确理解“±”？ （2）如何求平方根？ （3）平方根与算术平方根的区别与联系？ （4）平方根有哪些性质。 让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯。
6.布置作业 课本P4练习和P7习题。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第1课时 平方根 提纲掣领，重点突出。
教后反思 （1）授课流程反思 要想让学生正确、牢固地树立平方根的概念,需要由浅入深、不断深化.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.概念教学过程中要做到:讲清概念,加强训练,逐步深化. （2）讲授效果反思 这节课的重点是平方根的概念教学和用求平方的运算求平方根,在讲解概念时应注意概念的自然引导和对概念的解释,特别是在x2=a中,x是a的平方根,这一点一定要强调清楚. （3）师生互动反思 通过师生间频繁的互动,使学生深刻理解平方根的概念,准确表述,并通过练习巩固掌握. 反思，更进一步提升。