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第3课时 有理数减法法则
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1.有理数减法法则
减去一个数,等于 这个数的 ,即a-b=a+(-b).
2.有理数减法的运算步骤
(1)改变运算符号: 变加号;
(2)改变性质符号:把 变为它的相反数;
(3)按照有理数 法则进行计算.
加上
相反数
减号
减数
加法
精讲练 新知探究
探究点一 有理数的减法法则
[典例1]计算下列各题:
(1)2-7= ;
(2)9-(-7)= ;
(3)(-4)-(-6)= ;
(4)(-7.3)-(+7.3)= .
[变式1]下列各式中,计算正确的是( )
A.6-(-11)=-5 B.-6-11=-17
C.6-11=5 D.(-6)-(-11)=17
-5
16
2
-14.6
B
[变式2]计算:
(1)16-(-12)-24-(-18);
解:(1)16-(-12)-24-(-18)
=16+12+(-24)+18
=28+(-24)+18
=4+18
=22.
点睛
有理数减法的方法指引
(1)在进行减法运算时,首先弄清减数的符号.
(2)转化为加法时,要同时改变两个符号:一是运算符号(减号变加号); 二是减数的性质符号(减数变相反数).
探究点二 有理数减法的应用
[典例2]如果有理数a,b满足|a|=9,|b|=5,且a+b<0,那么a-b的值是( )
A.-4或14 B.4或-14
C.4或14 D.-4或-14
D
易错
没有分类讨论导致漏解.
[典例3]某地气象站测得某天的四个时刻气温分别为:早晨6时为零下
3 ℃,中午12时为零上1 ℃,下午4时为0 ℃,晚上12时为零下9 ℃.(规
定:零上为“+”,零下为“-”)
(1)早晨6时比晚上12时高多少
(2)下午4时比晚上12时高多少
解:(1)-3-(-9)=6(℃),
所以早晨6时比晚上12时高6 ℃.
(2)0-(-9)=9(℃),
所以下午4时比晚上12时高9 ℃.
[变式3]数轴上线段的长度可以将线段端点表示的数进行减法运算得到.如图,线段AB=0-(-1)=1;线段BC=2-0=2;线段AC=2-(-1)=3.
(1)数轴上点M,N表示的数分别为-9和1,求线段MN的长;
(2)数轴上点E,F表示的数分别为-6和-3,求线段EF的长;
(3)数轴上的两个点之间的距离为5,其中一个点表示的数为2,求另一个点表示的数m.
解:(1)由题意,得线段MN=1-(-9)=1+9=10.
(2)由题意,得线段EF=-3-(-6)=-3+6=3.
(3)由题意得m-2=5或2-m=5,
解得m=7或m=-3.
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第2课时 有理数的乘法运算律
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1.乘法交换律
两个数相乘,交换因数的位置,积 ,即a×b= .
2.乘法结合律
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积 ,即(a×b)×c=a×(b×c).
不变
b×a
不变
3.乘法对加法的分配律
一个数与两个数的和相乘,等于把这个数分别与这两个加数 ,再把积 ,即a×(b+c)=a×b+a×c.
4.几个非零数相乘,积的符号取决于 因数的个数.当负因数的个数为奇数时,积为 ;当负因数的个数为偶数时,积为 .几个有理数相乘,如果其中有一个因数为0,积就为 .
相乘
相加
负
负
正
0
精讲练 新知探究
探究点一 多个因数相乘时积的符号的确定
[典例1]确定下列积的符号:
(1)(-5)×4×(-1)×3,答: 号;
(2)(-4)×6×(-7)×(-3),答: 号;
(3)(-1)×(-1)×(-1),答: 号;
(4)(-2)×(-2)×(-2)×(-2),答: 号.
正
负
负
正
[变式1]下列各式中积为正数的是( )
A.2×3×5×(-4)
B.2×(-3)×(-4)×(-3)
C.(-2)×0×(-4)×(-5)
D.(-2)×(-3)×(-4)×(-5)
D
A
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第2课时 科学记数法与近似数
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1.把一个绝对值大于 的数记作a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n是
,这种记数方法叫作科学记数法.
2.与实际完全符合的数是 ;由四舍五入得到的与实际相近的数是 .
3.一个近似数 到哪一位 ,就说这个近似数 到哪
一位.
10
正整数
准确数
近似数
精确
四舍五入
精讲练 新知探究
探究点一 用科学记数法表示绝对值较大的数
[典例1]据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报显示,截至2022年12月底,全国共有共青团员7 358万.数据7 358万用科学记数法表示为( )
A.7.358×107 B.7.358×103
C.7.358×104 D.7.358×106
A
[变式1](2024淄博)我国大力发展新质生产力,推动了新能源汽车产业
的快速发展.据中国汽车工业协会发布的消息显示,2024年1月至3月,我国新能源汽车完成出口30.7万辆.将30.7万用科学记数法表示为3.07×
10n,则n的值是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
[变式2]数据“41.5亿”用科学记数法表示为( )
A.415×107 B.41.5×108
C.4.15×109 D.4.15×1010
B
C
点睛
(1)科学记数法的书写形式:a×10n,其中1≤|a|<10,n为正整数.
(2)指数n比原来的整数位数小1.
(3)绝对值大于10的负数同样可用此法表示,只是前面多一个负号.
探究点二 准确数与近似数
[典例2](潍坊中考)第七次全国人口普查数据显示,山东省常住人口约为10 152.7万人.将101 527 000用科学记数法(精确到十万位)表示为( )
A.1.02×108
B.0.102×109
C.1.015×108
D.0.101 5×109
C
[变式3]用四舍五入法得到的近似数0.13万精确到了( )
A.十分位
B.百分位
C.十位
D.百位
[变式4]近似数3.06×105精确到了 位.
D
千
易错
没把数还原,直接确定精确到的数位导致出错.
[变式5]将640 000精确到十万位为 ,4.10×106精确到了 位.
6×105
万
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第4课时 有理数的加减混合运算
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有理数的加减混合运算的基本步骤
(1)将有理数加减混合运算统一成 运算;
(2)根据需要写成省略 和 的和的形式;
(3)恰当运用 和 简化计算.
加法
加号
括号
加法结合律
加法交换律
精讲练 新知探究
探究点一 有理数的加减混合运算
[典例1]将6-(+3)-(-7)+(-2)改写成省略加号和括号的和的形式是( )
A.-6-3+7-2 B.6-3-7-2
C.6-3+7-2 D.6+3-7-2
C
[变式1]式子-2-1+6-9有下面两种读法:
读法一:负2、负1、正6、负9的和;
读法二:负2减1加6减9.
关于这两种读法,下列说法正确的是( )
A.只有读法一正确
B.只有读法二正确
C.两种读法都不正确
D.两种读法都正确
D
[变式2]计算:
(1)-18+(-14)-(-18)-13;
(2)-17.2+(-33.8)-(-8)+42;
解:(1)原式=-18-14+18-13
=(-18+18)-14-13
=-27.
(2)原式=-17.2-33.8+8+42
=-51+8+42
=-1.
点睛
有理数加减混合运算的方法指引
(1)在一个式子里,有加法也有减法,根据有理数减法法则,把减法都转化成加法,并写成省略括号和加号的和的形式.
(2)适当运用加法交换律和结合律,使计算简化.
探究点二 有理数加减混合运算的应用
[典例2]一天早晨的气温是-7 ℃,中午上升了12 ℃,半夜又下降了8 ℃,则半夜的气温是 ℃.
-3
[变式3]某口罩加工厂计划每天生产5 000个口罩,但实际每天生产量与计划相比有出入,下表是某一周的生产情况.(超产为正,减产为负,单位:个)
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划 量相比 +100 -200 +400 -100 -100 +350 +150
(1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个口罩
解:(1)(+400)-(-200)=600(个).
故产量最多的一天比产量最少的一天多生产600个口罩.
(2)该口罩加工厂实行计件工资制,每生产一个口罩工人可获得0.2元,本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元
解:(2)5 000×7+(100-200+400-100-100+350+150)=35 600(个),
0.2×35 600=7 120(元).
故本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是7 120元.
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2.4 有理数的混合运算
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有理数的混合运算
先算 ,再算乘除,最后算 ;同级运算,按从 到 的顺序进行;如果有括号,先算 里面的,并按 括号、 括号、
括号的顺序进行.
乘方
加减
左
右
括号
小
中
大
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点睛
在进行有理数的混合运算时,一要注意乘方运算中括号的作用,二要注意运算顺序和符号的确定,三要注意运算律的合理使用.
探究点二 有理数混合运算的应用
[典例2]按照如图的操作步骤,若输入x的值为-5,则输出的值为( )
A.26.5 B.23.5
C.14 D.-11
C
[变式2]小夏和爸爸玩“24点”游戏:爸爸从一副扑克牌(去掉大王、小王)中抽取了黑桃Q、红桃Q、梅花3(黑色)、方块A(红色)四张牌(A代表1,J,Q,K分别代表11,12,13),若规定黑色代表正数,红色代表负数,用加、减、乘、除、乘方把牌面上的数凑成24,每张牌必须且只能用一次.请列出一个含有乘方运算的算式,将该牌面上的数凑成24: .
.
12+(-12)×(-1)3
(答案不唯一)
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2.2 有理数的乘法与除法
第1课时 有理数乘法法则
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1.有理数乘法法则
两数相乘,同号得 ,异号得 ,并把 相乘;任何数与0相乘,积仍得 .
2.有理数相乘,先根据因数的符号确定 ,再根据因数的绝对值确定 的绝对值.
3.倒数
的两个数互为倒数.
正
负
绝对值
0
积的符号
积
乘积是1
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-8
4
-3
-8
-3
10
[变式1]下列计算不正确的是( )
A.-1.5×(-3)=4.5
B.(-1.2)×(-7)=-8.4
C.-8×(-1.3)=10.4
D.0×(-1.6)=0
B
探究点二 有理数乘法的应用
[典例2]规定:水位上升为正,水位下降为负;几天后为正,几天前为负.若水位每天下降3 cm,今天的水位记为0 cm,则2天前的水位用算式表示正确的是( )
A.(+3)×(+2)
B.(+3)×(-2)
C.(-3)×(+2)
D.(-3)×(-2)
D
[变式3]如图,小明有5张写着不同数的卡片,从中取出2张不同的卡片,把卡片中的数相乘,则最大的乘积是 .
24
探究点三 倒数
[典例3](1)-0.5的倒数是 .
(2)若a,b互为倒数,则-a×b-2 022的值为 .
-2
-2 023
[变式4]下列说法中,正确的是( )
A.任何数都有倒数
B.互为倒数的两个数的积为1
C.一个数的倒数一定比这个数小
D.互为倒数的两个数的和为零
B
[变式5]在-5,1,-3,5,-2中,任意两个数相乘,最大的积为m,最小的积为n.
(1)求m,n的值;
(2)若|x+n|=m,求x的值.
解:(1)最大的积为(-5)×(-3)=15,
最小的积为(-5)×5=-25,
所以m,n的值分别为15,-25.
(2)因为|x+n|=m,
所以|x-25|=15,即x-25=±15,
所以x=10或x=40.
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有理数加法法则
(1)同号两数相加,取 的符号 ,并把 相加.
(2)绝对值 的异号两数相加,取绝对值较大的加数的 ,并用较大的绝对值 较小的绝对值.互为 的两个数相加得0.
(3)一个数与 相加,仍得这个数.
2.1 有理数的加法与减法
第1课时 有理数加法法则
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第2章 有理数的运算
相同
绝对值
不相等
符号
减去
相反数
0
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76
-4
[变式1]有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图,则a+b 0.(填“>”
“<”或“=”)
<
解:(1)15+(-3)=12.
(2)(-12)+(-23)=-35.
点睛
有理数加法运算的顺序
(1)判断加数的符号是同号还是异号,是否有0;
(2)确定用哪一条法则.
探究点二 有理数加法法则的应用
[典例2]一只青蛙从某点O出发在一条直线上来回跳跃了7次,假定向右跳的路程记为正数,跳跃的各段路程(单位:cm) 依次为+5,-3,+10,-8,-6,
+12,-10.
(1)青蛙最后在哪个位置上
解:(1)+5+(-3)+10+(-8)+(-6)+12+(-10)=0(cm),
即青蛙最后在出发点O的位置上.
(2)在跳跃过程中,如果每跳跃 1 cm给青蛙记1分,那么青蛙一共得到多少分
解:(2)|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|=54(cm),
54×1=54(分).
所以青蛙一共得到54分.
[变式3]把笔尖放在数轴的原点,沿数轴先向左(负方向)移动6个单位长度,再向右移动3个单位长度,用算式表示上述过程与结果,正确的是( )
A.6+3=9 B.-6-3=-9
C.6-3=3 D.-6+3=-3
D
[变式4]已知|a|=4,|b|=3,当a,b异号时,求a+b的值.
解:因为|a|=4,|b|=3,
所以a=±4,b=±3.
因为a,b异号,所以a+b=4+(-3)=1,
或a+b=-4+3=-1,所以a+b=±1.
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第2课时 有理数的加法运算律
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1.加法交换律
两个数相加,交换加数的 ,和 ,即a+b= .
2.加法结合律
三个数相加,先把 两个数相加,或者先把 两个数相加, 不变,即(a+b)+c=a+(b+c).
位置
不变
b+a
前
后
和
3.互为相反数的两个数先相加——“ 结合法”;符号相同的数先相加——“ 结合法”;分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“ 结合法”;整数与整数、分数与分数先相加——“ 结合法”.
4.几个数相加得到整数的先相加——“ ”;带分数相加时,可先拆成整数与分数的和,再分别相加——“ ”.
相反数
同号
同分母
同形
凑整法
拆分法
精讲练 新知探究
C
-10
[变式2]计算:
(1)25+(-18)+4+(-10);
解:(1)25+(-18)+4+(-10)
=(25+4)+[(-18)+(-10)]
=29+(-28)=1.
探究点二 有理数加法的实际应用
[典例2]下表记录的是今年某水域某一周内的水位变化情况,这一周的上周日的水位已达到警戒水位33 m(正号表示水位比前一天上升,负号表示水位比前一天下降).
星期 一 二 三 四 五 六
水位变化/m +0.2 +0.8 -0.4 +0.2 +0.3 -0.2
(1)本周哪一天的水位最高 位于警戒水位之上还是之下
(2)与上周周日相比,本周周六水位是上升了还是下降了 请通过计算说明理由.
解:(1)周一:+0.2 m,
周二:(+0.2)+0.8=+1(m),
周三:(+1)-0.4=+0.6(m),
周四:(+0.6)+0.2=+0.8(m),
周五:(+0.8)+0.3=+1.1(m),
周六:(+1.1)-0.2=+0.9(m).
故本周五水位最高,位于警戒水位之上1.1 m.
(2)上升了.理由如下:+0.2+0.8-0.4+0.2+0.3-0.2=0.9(m),故与上周
周日相比,本周周六水位上升了0.9 m.
[变式3]某市交警驾驶汽车在一条东西方向的公路上巡逻,约定向东为正方向,从出发点A开始所走的路程如下(单位:千米):+14,-9,+8,-7,+13,-6,+12,-5.
(1)请你确定交警最后所在地相对于A地的方位.
(2)汽车每千米耗油0.2升,如果队长命令他马上返回出发点,那么这次巡逻(含返回)共耗油多少升
解:(1)+14+(-9)+(+8)+(-7)+(+13)+(-6)+(+12)+(-5)=20(千米).
答:交警最后所在地在A地的东方20千米处.
(2)14+|-9|+8+|-7|+13+|-6|+12+|-5|+20=94(千米),
94×0.2=18.8(升).
答:这次巡逻(含返回)共耗油18.8升.
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第3课时 有理数除法法则
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1.有理数除法法则
(1)两数相除,同号得 ,异号得 ,并把绝对值 .0除以任何一个 的数都得0.0 作除数.
(2)除以一个不为0的数,等于乘这个数的 .
2.有理数的乘除混合运算
有理数的乘除混合运算,先把除法转化为乘法,运用乘法法则确
定积的 ,再按照 的顺序进行计算.
正
负
相除
不等于0
不能
倒数
符号
从左到右
精讲练 新知探究
4
-3
0
[变式1]某同学在计算-16÷a时,误将“÷”看成“+”,结果是
-12,则-16÷a的正确结果是 .
-4
点睛
有理数除法的方法指引
(1)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0.
(2)有理数的除法要分情况灵活选择法则,若是整数与整数相除,一般采用“同号得正,异号得负,并把绝对值相除”;若有分数,则采用“除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数”.
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2.3 有理数的乘方
第1课时 有理数的乘方
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2.正数的任何次幂都是 ;负数的 是正数,负
数的 是负数;0的任何 次幂都是0.
相同因数
积
幂
底数
指数
幂
正数
偶次幂
奇次幂
正整数
精讲练 新知探究
探究点一 有理数的乘方
[典例1]对于算式(-3)4,正确的说法是( )
A.3是底数,4是指数
B.3是底数,4是幂
C.-3是底数,4是幂
D.-3是底数,4是指数
D
-9
8
72
[变式1]有下列各数:(-3)3,-(-3),(-3)4,-|-3|,-33.其中负数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
[变式2]下列各对数中,数值相等的是( )
A.-3×23与-32×2
B.-32与(-3)2
C.-(-3)2与-(-2)3
D. -25与(-2)5
B
D
D
[变式3]细菌是靠分裂进行繁殖的,也就是1个细菌分裂成2个细菌,分裂完的细菌长大以后又能进行分裂,例如,图中所示为某种细菌分裂的电镜照片,显示这种细菌每20 min就能分裂一次,1个这种细菌经过3 h可以分裂成 个细菌.
512
探究点三 偶次幂的非负性
[典例4]已知(b+3)2与|a-2|互为相反数,则ba等于( )
A.9 B.-9 C.-6 D.6
[变式4]若(a-3)4+|b+7|=0,则a+b的值为 .
[变式5]已知有理数a,b满足(a+1)2+|b-1|=0,求a2 025+b2 025的值.
A
-4
解:因为(a+1)2+|b-1|=0,
(a+1)2≥0,|b-1|≥0,
所以a+1=0,b-1=0,所以a=-1,b=1,
所以a2 025+b2 025=(-1)2 025+12 025=0.
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