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3.4 生活中的常量与变量
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1.在某一变化过程中,数值保持不变的量叫作 ,可以取不同数值的量,叫作 .判断一个量是不是变量,关键是看在某个变化过程中,这个量是否可以取不同的数值,即要抓住一个“变”字.
2.变量之间的关系的三种表示方法: 法、 法、 法.
常量
关系式
变量
列表
图象
精讲练 新知探究
探究点一 常量与变量
[典例1]在圆周长公式C=2πr(其中r表示半径,C表示周长)中,常量与变量分别是( )
A.常量是2,变量是π,r
B.常量是2,变量是C,r
C.常量是2,π,变量是C,r
D.常量是2,π,变量是r
C
[变式1]指出下列问题中的常量和变量:
(1)正方形的周长l与它的边长a之间的关系是l=4a;
(2)一台机器上的轮子的转速为60转/分,轮子旋转的转数n(单位:转)与时间t(单位:分)之间的关系为n=60t;
解:(1)在l=4a中,l,a为变量,4为常量.
(2)在n=60t中,n,t为变量,60为常量.
点睛
常量与变量
(1)判断一个量是常量还是变量,需要看两个方面:一是它是否在一个变化过程中;二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化.
(2)不要认为字母就是变量,例如π是常量.
探究点二 变量之间关系的表示方法
[典例2]在弹性限度内,一根弹簧挂上物体后,弹簧长度与所挂物体质量的关系如表:
所挂物体 的质量/kg 1 2 3 4 5
弹簧长度/cm 12 14 16 18 20
根据表中信息回答:
(1)当挂上6 kg物体时,弹簧长度为 cm.
(2)未挂物体时,弹簧长度为 cm.
(3)当挂上x kg物体时,弹簧长度为 cm(用含x的代数式
表示).
22
10
(2x+10)
[变式2]一汽车油箱里有40 L油,在行驶过程中,每小时耗油2.5 L,回答下列问题:
(1)汽车行驶1 h后油箱里还有油 L,汽车行驶6 h后油箱里还有油 L;
(2)这一变化过程中, 是变量,
是常量;
(3)设汽车行驶的时间为x h,油箱里剩下的油为Q L,用含x的式子表示Q为 .
37.5
25
油箱里剩下的油量和行驶的时间
每小时耗油量
Q=40-2.5x
[变式3]某商店销售一批玩具时,其收入y(元)与销售数量x(个)之间有如下关系:
销售数量x/个 1 2 3 4 …
收入y/元 8+0.3 16+0.6 24+0.9 32+1.2 …
则收入y(元)与销售数量x(个)之间的关系式为( )
A.y=8.3x
B.y=8x+0.3
C.y=8+0.3x
D.y=8.3+x
A
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3.1 用字母表示数
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第3章 代数式
用字母表示数的书写要求
(1)当数与字母相乘或字母与字母相乘时,通常省略“ ”号或将“ × ”号用“ ”表示,如a×b写成ab或a·b;(2)当数与字母相乘时, 写在字母的前面,如4×a应写作4a;(3)当数字因数是1或-1时,“ ”常省略不写;(4)当带分数与字母相乘时,应把带分数化成 分数;(5)含有字
母的除法通常写成 的形式;(6)当式子后有单位且式子是和
或差的形式时,应把式子用 括起来.
×
·
数字因数
1
假
分数
括号
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B
探究点二 用字母表示数的应用
[典例2]用含字母的式子表示:
(1)若正方形的边长为a,则正方形的面积是 ,周长是 ;
(2)三个连续偶数的中间一个数为2n,则其余两个数分别为 ,
;
(3)一件羊毛衫的标价为a元,若按标价的八折出售,则这件羊毛衫的售价是 元.
a2
4a
2n-2
2n+2
0.8a
[变式2]用含字母的式子表示:
(1)某市区人口为a万人,市区绿化面积为m万平方米,则平均每人拥有绿
地 平方米;
(2)某商店上月收入a元,本月收入比上月的2倍多10元,则本月收入
元.
(2a+10)
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3.3 代数式的值
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1.用数代替代数式中的 ,按照代数式中的 计算出的结果,叫作代数式的值.
2.代数式的值的大小是由代数式中 的取值来决定的,代数式的值一般随 的变化而变化.
字母
运算关系
字母
字母取值
3.求代数式的值的步骤
第一步,用具体数值代替代数式里的 ,简称“ ”;
第二步,按照代数式中的 计算出结果,简称“ ”.
即一 ,二 .
字母
代入
运算关系
计算
代入
计算
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(2)若3x2+4x+1=0,求代数式6x2+8x+2 024的值.
解:(2)因为3x2+4x+1=0,
所以3x2+4x=-1,
所以6x2+8x+2 024=2(3x2+4x)+2 024=2×(-1)+2 024=2 022.
[变式1]当m=-3时,代数式m2+2m+1的值是( )
A.-14 B.4
C.-4 D.16
[变式2]已知m2-2m-1=0,则代数式m2-2m+3的值为 .
探究点二 列代数式求值的应用
[典例2]某轮船出租公司规定,所出租的轮船行驶第1千米的费用是25元,以后每增加1千米,费用增加5元,现在某人租船行驶s千米(s为整数,s≥
1),所需费用可表示为 元;当s=6时,所需费用为 元.
B
4
(5s+20)
50
[变式3]如图是一个长为a,宽为b的长方形,涂色部分的图形都是底边长为2,且底边在长方形对边上的平行四边形.
(1)用含a,b的式子表示长方形中空白部分的面积;
解:(1)ab-2a-2b+2×2=ab-2a-2b+4,
即长方形中空白部分的面积为ab-2a-2b+4.
(2)当a=8,b=6时,求长方形中空白部分的面积.
解:(2)当a=8,b=6时,
ab-2a-2b+4
=8×6-2×8-2×6+4
=48-16-12+4
=24,
即长方形中空白部分的面积为24.
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3.2 代数式
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1.用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫作代数式.特别地,单独一个 或一个表示数的 也是代数式.
2.列代数式就是把问题中的文字语言(或自然语言)转化为符号语言,把与数量有关的语句用含有 、 、 及表示运算顺序的符号的式子表示出来.
数
字母
数
字母
运算符号
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①②③④⑤
B
探究点二 列代数式
[典例2]用代数式表示:
(1)m的3倍与n的差;
(2)a的平方与5的和的倒数;
(3)x,y两数的和与它们的差的乘积.
[变式2]用代数式表示:
(1)a的平方与5的差;
(2)比a的倒数与b的倒数的和大1的数;
(3)a,b两数的平方差除以a,b两数的和的平方所得的商.
探究点三 代数式的意义
[典例3]用文字语言表示下列代数式:
(1)(4x+2)2表示为 ;
(2)3x+5y表示 .
x的3倍与y的5倍的和
x的4倍与2的和的平方
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